演示文稿第四章矩陣的標準型

演示文稿第四章矩陣的標準型現(xiàn)在是1頁\一共有87頁\編輯于星期二第四章矩陣的標準型現(xiàn)在是2頁\一共有87頁\編輯于星期二

標準型的理論源自矩陣的相似性，因為相似矩陣有許多相似不變量：特征多項式、特征值（包括代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似變換矩陣互相求出。這自然導出了尋找相似矩陣集合中的“代表矩陣”的問題?！按砭仃嚒碑斎辉胶唵卧胶谩τ诳蓪腔仃?，“代表矩陣”就是特征值組成的對角矩陣。特別地，對于正規(guī)矩陣，可逆的相似變換矩陣特殊化為酉矩陣或正交矩陣。但是令人非常遺憾的是：一般矩陣未必與對角矩陣相似?。。‖F(xiàn)在是3頁\一共有87頁\編輯于星期二§1、矩陣的Jordan標準型由于一般矩陣與對角矩陣不相似，因此我們“退而求其次”，尋找“幾乎對角的”矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標準型問題，其中Jordan標準型是最接近對角的矩陣，只在第1條對角線上取1或0。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計算上以及應用上的許多問題就容易處理了，當然花費也大了?，F(xiàn)在是4頁\一共有87頁\編輯于星期二一、Jordan標準型的概念定理1

設是復數(shù)域上的線性空間上的線性變換。令在的一組基下的矩陣表示為，如果的特征多項式可分解因式為則可分解成不變子空間的直和這里現(xiàn)在是5頁\一共有87頁\編輯于星期二適當選取每個子空間的基（稱為Jordan基），則每個子空間的Jordan基合并起來即為的Jordan基，并且在該Jordan基下的矩陣為塊對角陣稱為的Jordan標準型。并稱方陣為階Jordan塊。現(xiàn)在是6頁\一共有87頁\編輯于星期二定理2

設。如果的特征多項式可分解因式為則可經(jīng)過相似變換化成唯一的Jordan標準型(不計Jordan塊的排列次序)，即存在可逆矩陣(稱為Jordan變換矩陣)使或者有Jordan分解現(xiàn)在是7頁\一共有87頁\編輯于星期二二、Jordan標準型的一種簡易求法把的同一個特征值的若干個Jordan塊排列在一起，就得到Jordan標準型其中是階的Jordan子矩陣，有個階數(shù)為的Jordan塊，即現(xiàn)在是8頁\一共有87頁\編輯于星期二其中是階的矩陣。根據(jù)的結構，將Jordan變換矩陣列分塊為由，可知現(xiàn)在是9頁\一共有87頁\編輯于星期二進一步，根據(jù)的結構，將列分塊為其中是階矩陣。由，可知現(xiàn)在是10頁\一共有87頁\編輯于星期二最后，根據(jù)的結構，設由，可知現(xiàn)在是11頁\一共有87頁\編輯于星期二解這個方程組，可得到Jordan鏈這個名稱也可以這樣理解：其中，是矩陣關于特征值的一個特征向量，則稱為的廣義特征向量,稱為的級根向量。現(xiàn)在是12頁\一共有87頁\編輯于星期二當所有的時，可知，此時矩陣沒有廣義特征向量，的各列是的線性無關的特征向量，因此Jordan塊

都是一階的，此時Jordan標準型為

即矩陣是可對角化矩陣。顯然正規(guī)矩陣是一類最特殊的可對角化矩陣?，F(xiàn)在是13頁\一共有87頁\編輯于星期二例3

求矩陣的Jordan標準型和相應的Jordan變換矩陣，其中現(xiàn)在是14頁\一共有87頁\編輯于星期二解：特征值為，所以設因為特征值為單根，所以并從解得對應的特征向量為現(xiàn)在是15頁\一共有87頁\編輯于星期二對于二重特征值，由只解得唯一的特征向量為因此中只有一個Jordan塊，即求解，可得所需的廣義特征向量對重根有幾個特征向量，就有幾個約旦塊現(xiàn)在是16頁\一共有87頁\編輯于星期二綜合上述，可得現(xiàn)在是17頁\一共有87頁\編輯于星期二例4

用Jordan標準型理論求解線性微分方程組現(xiàn)在是18頁\一共有87頁\編輯于星期二解：方程組的矩陣形式為這里現(xiàn)在是19頁\一共有87頁\編輯于星期二其中由上例，存在可逆線性變換使得現(xiàn)在是20頁\一共有87頁\編輯于星期二所以原方程組變?yōu)榧唇獾矛F(xiàn)在是21頁\一共有87頁\編輯于星期二最后，由可逆線性變換得原方程組的解現(xiàn)在是22頁\一共有87頁\編輯于星期二例5

現(xiàn)代控制理論中，線性定常系統(tǒng)(Lineartimeinvariant,LTI)的狀態(tài)空間描述為這里矩陣表示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量之間的聯(lián)系，稱為系統(tǒng)矩陣；矩陣稱為輸入矩陣或控制矩陣；矩陣稱為輸出矩陣或觀測矩陣；矩陣稱為直接觀測矩陣?，F(xiàn)在是23頁\一共有87頁\編輯于星期二做可逆線性變換，則顯然，最簡單的就是的Jordan標準型。此時雖然沒有實現(xiàn)狀態(tài)變量間的完全解耦，但也達到了可能達到的最簡耦合形式。因此線性變換就是狀態(tài)空間的基底變換，其目的在于尋找描述同一系統(tǒng)的運動行為的盡可能簡單的狀態(tài)空間描述。現(xiàn)在是24頁\一共有87頁\編輯于星期二求下列狀態(tài)方程的約當標準型：這里矩陣是特征多項式的友矩陣?，F(xiàn)在是25頁\一共有87頁\編輯于星期二解：的特征值為，故設因為特征值為單根，所以并從解得對應的特征向量為現(xiàn)在是26頁\一共有87頁\編輯于星期二只解得唯一的特征向量為對于二重特征值，由因此中只有一個Jordan塊，即求解，可得所需的廣義特征向量現(xiàn)在是27頁\一共有87頁\編輯于星期二綜合上述，可得現(xiàn)在是28頁\一共有87頁\編輯于星期二因此經(jīng)過可逆線性變換后，系統(tǒng)矩陣和控制矩陣分別為現(xiàn)在是29頁\一共有87頁\編輯于星期二例6

求矩陣的Jordan標準型和相應的Jordan變換矩陣，其中現(xiàn)在是30頁\一共有87頁\編輯于星期二因為特征值為單根，所以解：的特征值為，則并從解得對應的特征向量為現(xiàn)在是31頁\一共有87頁\編輯于星期二對于三重特征值，由

解得兩個特征向量為因此中有兩個Jordan塊，即現(xiàn)在是32頁\一共有87頁\編輯于星期二求解，無解！！求解，可得所需的廣義特征向量綜合上述，可得綜合上述，可得現(xiàn)在是33頁\一共有87頁\編輯于星期二要特別當心的是，如果選取三重特征值的特征向量為求解，無解！！求解，也無解?。?！這說明，在選取特征值的個特征向量前述求法顯然存在有待深化。這說明，在選取特征值的個特征向量現(xiàn)在是34頁\一共有87頁\編輯于星期二三、Jordan標準型的一般方法有非零解的最小正整數(shù)。根據(jù)前面的分析，這個最小正整數(shù)也就是相應于特征值的最大Jordan塊的階數(shù)。設為復方陣的代數(shù)重數(shù)為的特征值，為使得等式成立的最小正整數(shù)(稱為特征值的指標)，即使得現(xiàn)在是35頁\一共有87頁\編輯于星期二（3）計算。按此計算出的就是階Jordan塊的個數(shù)。不計順序，就唯一確定了相應的Jordan標準型。規(guī)定。（1）計算（2）計算直至出現(xiàn)現(xiàn)在是36頁\一共有87頁\編輯于星期二則則可得最長的Jordan鏈取滿足至于相應的子矩陣的構造，我們通過一個例子來說明。假定現(xiàn)在是37頁\一共有87頁\編輯于星期二這里對于另外兩條長為2的Jordan鏈，可這樣選取：現(xiàn)在是38頁\一共有87頁\編輯于星期二例7

求矩陣的Jordan標準型和相應的Jordan變換矩陣，其中現(xiàn)在是39頁\一共有87頁\編輯于星期二因為特征值為單根，所以解：的特征值為，則并從解得對應的特征向量為現(xiàn)在是40頁\一共有87頁\編輯于星期二對于三重特征值，計算得從而得最長的Jordan鏈解得非零向量現(xiàn)在是41頁\一共有87頁\編輯于星期二顯然線性無關。解得非零向量令現(xiàn)在是42頁\一共有87頁\編輯于星期二可以驗證成立等式現(xiàn)在是43頁\一共有87頁\編輯于星期二§2、矩陣及其Smith標準型由于Jordan標準型的計算需要特征值、特征向量及廣義特征向量的信息，因此與特征多項式關系密切。從函數(shù)的眼光看，特征多項式實際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣），這就自然引出對矩陣的研究，并希望能籍此簡化Jordan標準型的繁雜計算?，F(xiàn)在是44頁\一共有87頁\編輯于星期二一、矩陣及其標準型定義1稱矩陣為矩陣，其中元素

為數(shù)域上關于的多項式。定義2稱階矩陣是可逆的，如果有并稱為的逆矩陣。反之亦然。

注意與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的?，F(xiàn)在是45頁\一共有87頁\編輯于星期二定理3矩陣可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù)，即定義4如果矩陣經(jīng)過有限次的初等變換化成矩陣，則稱矩陣與等價，記為定理5矩陣與等價的充要條件是存在可逆矩陣，使得現(xiàn)在是46頁\一共有87頁\編輯于星期二定理6任意階的矩陣都必定有一個與之等價的Smith標準型這里，非零對角元是首一（首項系數(shù)為1）多項式，并且現(xiàn)在是47頁\一共有87頁\編輯于星期二例7

求矩陣的Smith標準型，其中現(xiàn)在是48頁\一共有87頁\編輯于星期二解：對矩陣進行初等變換，可得現(xiàn)在是49頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是50頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是51頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是52頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是53頁\一共有87頁\編輯于星期二即為所求的Smith標準型。現(xiàn)在是54頁\一共有87頁\編輯于星期二二、矩陣的性質(zhì)定義8矩陣的Smith標準型中的非零對角元

稱為的不變因子。這說明我們可以通過先求Smith標準型，再來確定不變因子。例7就是這么做的。現(xiàn)在是55頁\一共有87頁\編輯于星期二定義9矩陣的所有非零階子式的首一（最高次項系數(shù)為1）最大公因式

稱為的階行列式因子。定理10等價矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子?，F(xiàn)在是56頁\一共有87頁\編輯于星期二定理11

矩陣的Smith標準型是唯一的，并且定理11說明我們可以用行列式因子來確定不變因子，從而得到唯一的Smith標準型。但行列式因子的計算復雜，所以通過初等變換求Smith標準型顯然“勝出”。這在線性代數(shù)中處理數(shù)字矩陣時也是如此。定理12矩陣與等價的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子）?，F(xiàn)在是57頁\一共有87頁\編輯于星期二定義13

將矩陣的所有非常數(shù)不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為的初等因子。例如例7中的不變因子為因此的初等因子為現(xiàn)在是58頁\一共有87頁\編輯于星期二例14

矩陣的不變因子為則矩陣的所有初等因子為現(xiàn)在是59頁\一共有87頁\編輯于星期二如果知道矩陣的所有初等因子，能否確定相應的不變因子呢？等價矩陣的初等因子是否相同呢？下面的兩個矩陣的初等因子相同，但不變因子不相同，也不是等價矩陣，因為它們的秩不相等：定理15矩陣與等價的充要條件是它們有相同的初等因子，并且秩相等?，F(xiàn)在是60頁\一共有87頁\編輯于星期二例16

求矩陣的Smith標準型，其中現(xiàn)在是61頁\一共有87頁\編輯于星期二解：對矩陣進行初等變換，可得現(xiàn)在是62頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是63頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是64頁\一共有87頁\編輯于星期二即為所求的Smith標準型?，F(xiàn)在是65頁\一共有87頁\編輯于星期二例16中的不變因子為因此的初等因子為反之，如果還知道的秩為3，則可知的三個不變因子，進而可確定的Smith標準型，因此也可唯一確定相應的Jordan塊，即：現(xiàn)在是66頁\一共有87頁\編輯于星期二總結等價不變因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同現(xiàn)在是67頁\一共有87頁\編輯于星期二三、利用Smith標準型求Jordan標準型定理17兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價。定義18稱階數(shù)字矩陣的特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子。定理19兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。現(xiàn)在是68頁\一共有87頁\編輯于星期二不變因子或行列式因子相同初等因子相同

與等價

與相似

與的秩都為現(xiàn)在是69頁\一共有87頁\編輯于星期二定理20復數(shù)域上兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子。由定理20和例16可知，初等因子與階Jordan塊存在一一對應關系。因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的Jordan標準型?，F(xiàn)在是70頁\一共有87頁\編輯于星期二例21

求矩陣的Jordan標準型，其中現(xiàn)在是71頁\一共有87頁\編輯于星期二解：對矩陣進行初等變換，可得現(xiàn)在是72頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是73頁\一共有87頁\編輯于星期二現(xiàn)在是74頁\一共有87頁\編輯于星期二因此的初等因子為從而所求Jordan標準型為初等因子法的優(yōu)缺點都是不能求出Jordan變換矩陣?，F(xiàn)在是75頁\一共有87頁\編輯于星期二§3、Cayley-Hamilton定理及其應用Jordan標準型的計算復雜，而特征多項式與之關系密切。由于Cayley和Hamilton發(fā)現(xiàn)矩陣的特征多項式是矩陣的零化多項式（相當于零因子式），因此類比多項式的帶余除法理論，以適當?shù)牧慊囗検綖樯?，將矩陣多項式轉(zhuǎn)化為相應的余式，從而降低多項式的次數(shù)，就成了另一種思路?，F(xiàn)在是76頁\一共有87頁\編輯于星期二一、Cayley-Hamilton定理定理1（Cayley-Hamilton定理）階方陣是其特征多項式的“根”，即定義2是關于的多項式。如果，則稱是矩陣的零化多項式。顯然矩陣的特征多項式是矩陣的一個零化多項式?，F(xiàn)在是77頁\一共有87頁\編輯于星期二例3

求矩陣的矩陣多項式，其中現(xiàn)在是