平面問題的極坐標解答

平面問題的極坐標解答第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四圓形、楔形、扇形等，邊界條件用直角坐標可能十分復雜，而用極坐標卻十分簡單。第六章極坐標第一節(jié)平衡微分方程

和直角坐標系類似，在僅考慮微分體時，微分體相對面上的應(yīng)力可看成是大小相等，方向相反。

考慮平面上的一個微分體，沿ρ方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用σρ表示，沿φ方向的正應(yīng)力稱為切向正應(yīng)力，用σφ

表示，切應(yīng)力用τρφ表示，各應(yīng)力分量的正負號的規(guī)定和直角坐標中一樣。在考慮整體時，微分體各面上的差異就必須加以考慮，我們從ρ方向和與之垂直的φ方向加以考慮。第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平衡微分方程考慮圖示單元體半徑ρ方向的平衡，在ρ面處，正應(yīng)力記為σρ,ρ+dρ處應(yīng)力為:在φ面處,切應(yīng)力記為,φ+dφ處切應(yīng)力為:在φ面處，正應(yīng)力記為σφ,φ+dφ處正應(yīng)力為:以上各應(yīng)力和相應(yīng)的面的面積相乘，就得到該面上的內(nèi)力，以上各量加上體力分量總和得到：σφτφρ第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平衡微分方程同理考慮與ρ垂直的

φ方向的平衡可得到:第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四上述方程和直角坐標系下的平衡方程有所不同，直角坐標系中，應(yīng)力分量僅以偏導數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項中。最后得到ρ與

φ兩個方向的平衡方程:這里應(yīng)力分量仍然為三個，平衡方程二個。第一節(jié)平衡微分方程第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)位移與應(yīng)變我們從物體中取出ρ方向上長dρ的線段PA，變形后為P'A'，P'點的位移為(u,0)，A'點ρ方向的位移為:先假定只有徑向位移而無環(huán)向位移：因此PA正應(yīng)變?yōu)?

φ方向上的位移為零。dφφdρ第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四因此PB正應(yīng)變?yōu)?角APB的變化為PB的轉(zhuǎn)角：第二節(jié)位移與應(yīng)變dφφdρ從物體中取出φ方向上長ρd

φ的線段PB，變形后為P'B'，B'點ρ方向的位移為:第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四再假定只有環(huán)向位移而無徑向位移：線段PA，變形后為P‘A’，P‘點的位移為(0,v)，A'點φ方向的位移為:ρ方向的位移為零，因此PA正應(yīng)變?yōu)榈诹聵O坐標第二節(jié)位移與應(yīng)變ddφvφ第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四因此PB正應(yīng)變?yōu)榈诹聵O坐標第二節(jié)位移與應(yīng)變ddφvφB'點φ方向的位移為:

φ方向上長ρdφ的線段PB，變形后為P'B'，B'點ρ方向上的位移為零。12PB的方向用射線1表示，PB的方向用射線2表示，PB的轉(zhuǎn)角為角POP‘：（向角外轉(zhuǎn)為負）第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四線段PA的轉(zhuǎn)角是線段PB的轉(zhuǎn)角是于是，直角APB的改變量為:前面只有徑向位移而無環(huán)向位移,角APB的變化為:第六章極坐標第二節(jié)位移與應(yīng)變ddφvφ第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四這就是極坐標中的應(yīng)變分量的表達式。對于相同的位移，應(yīng)變的大小和與極點的距離有關(guān)?？偤蜕鲜鰞蓚€方向的應(yīng)變，得到：第六章極坐標第二節(jié)位移與應(yīng)變ddφvφ第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)基本方程

極坐標問題的解法和平面問題類似，通常采用應(yīng)力函數(shù)法，為此需要將應(yīng)力函數(shù)的直角坐標表達式化為極坐標，將相容方程化為極坐標。物理方程極坐標也是正交坐標，因此物理方程與直角坐標相同：平衡方程幾何方程第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四為了得到極坐標中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標和直角坐標的關(guān)系：得到第三節(jié)基本方程第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)基本方程第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四在φ=0時，極坐標的各分量和直角坐標各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達式（常體力）得到第三節(jié)基本方程第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四上式是極坐標中的重調(diào)和函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是求解上述方程的邊值問題。代入直角坐標應(yīng)力函數(shù)在常體力情況下的表達式和直角坐標系中類似，它的解答一般都不可能直接求出，在解決具體問題時，只能采用逆解法、半逆解法。第三節(jié)基本方程得到極坐標中應(yīng)力函數(shù)φf應(yīng)滿足的相容方程第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)軸對稱問題

這是一個四階常微分方程，它的通解為:相容方程簡化為:如果應(yīng)力分量僅是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱為軸對稱問題。采用半逆解法，假定應(yīng)力函數(shù)僅是徑向坐標的函數(shù):φf

=φf(ρ)第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四正應(yīng)力分量僅是ρ的函數(shù)，與φ無關(guān)，并且切應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對稱于通過z軸的任一平面，稱為軸對稱應(yīng)力。這時，應(yīng)力的表達式為:

第四節(jié)軸對稱問題軸對稱時第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四將上述應(yīng)力的表達式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達式,再代入位移與應(yīng)變的幾何方程，積分后,得到位移的積分形式:第四節(jié)軸對稱問題第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第五節(jié)受均布壓力的圓環(huán)由邊界條件得到:內(nèi)半徑為a，外半徑為b的圓環(huán)受內(nèi)壓力qa，外壓力為qb的圓環(huán)，為軸對稱問題，根據(jù)上節(jié)其解為:邊界條件為:第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第五節(jié)受均布壓力的圓環(huán)在這里只有兩個方程，而有三個待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補充一個方程。在環(huán)向表達式中，第一項是多值的，在同一ρ處，φ=φ0和φ

=φ0+2π時，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四這樣從上面兩個方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達式，得到拉密解答：第六章極坐標第五節(jié)受均布壓力的圓環(huán)于是:第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四1.單受內(nèi)壓時，徑向受壓，環(huán)向受拉，與半徑的平方成反比，衰減快。2.單受外壓時，徑向、環(huán)向均受壓，與半徑的平方成反比，衰減快。第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六節(jié)曲梁的純彎曲內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等方向相反的彎矩，為軸對稱問題。邊界切應(yīng)力都為零。上述解滿足該邊界條件。在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:φ第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四在梁端的邊界條件要求:第六章極坐標第六節(jié)曲梁的純彎曲由邊界條件得到:φ第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四將φf的表達式第六章極坐標第六節(jié)曲梁的純彎曲φ代入，并由邊界條件第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四在這里有三個方程和三個待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達式，得到郭洛文解答:第六章極坐標第六節(jié)曲梁的純彎曲其中：φ第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力1設(shè)在頂部受集中力F

楔形體內(nèi)一點的應(yīng)力分量決定于α、β、F、ρ、φ，因此，應(yīng)力分量的表達式中只包含這幾個量。其中α、β、φ是無量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱，應(yīng)力分量的表達式應(yīng)取FN/ρ的形式，其中N是α、β、φ、組成的無量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達式可以看出應(yīng)力函數(shù)中ρ的冪次應(yīng)當比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè)第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四代入相容方程后得：求解這一微分方程，得：不影響應(yīng)力，其中第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力取:（按應(yīng)力的表達式計算為零）第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四于是得：邊界條件楔形體左右兩面：第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四上述應(yīng)力分量滿足該邊界條件。集中力F按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和F成平衡力系：第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力將σρ的表達式代入，可求出C、D，最后得到解答：第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四當時成為彈性半平面受垂直集中力的問題，該問題在建筑工程中有十分重要的意義。第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四hρφF1沿極線方向是主方向，也就是主應(yīng)力跡線，與之垂直的半園也是主應(yīng)力跡線。2如圖，該園上各處的應(yīng)力值相同，也就是成應(yīng)力等值線（壓力泡），并隨h的大小成反比。3應(yīng)力值不僅隨深度衰減，并且也向兩側(cè)減少。彈性半平面受垂直集中力第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)坐標變換公式和極坐標應(yīng)力分量可得到直角坐標分量第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四Fxy從而得到第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力2設(shè)在頂部受有力偶M作用根據(jù)和前面相似的分析，應(yīng)力分量應(yīng)為MN/ρ2的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)與ρ無關(guān)代入相容方程后得求解這一微分方程，得第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力以上應(yīng)力函數(shù)的設(shè)定方法都是量綱分析，這是應(yīng)力函數(shù)半逆解法的主要方法之一。2設(shè)在頂部受有力偶M作用力偶可看成反對稱力，正應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當是φ的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力于是：邊界條件楔形體左右兩面上述應(yīng)力分量自動滿足第一式，根據(jù)第二式，可得第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力M成平衡力系：最后得到解答：第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力求解這一微分方程，得:3一面受均布壓力q應(yīng)力分量應(yīng)為qN的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為qNρ2的形式代入相容方程后得ρ第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第七節(jié)楔形體在楔頂或楔面受力3一面受均布壓力q邊界條件為:求解常數(shù)，最后的解答為：ρ第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中板中開有小孔，孔邊的應(yīng)力遠大于無孔時的應(yīng)力，也大于距孔稍遠處的應(yīng)力，稱為孔邊應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)，一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低?？走厬?yīng)力集中圓孔在板邊受力簡單時，在這里進行分析，較為復雜的情況一般用復變函數(shù)方法。第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中1矩形板四邊受q的均布拉力矩形板在離邊界較遠處有半徑為a的小孔。直邊的邊界條件，宜用直角坐標，圓孔邊界宜用極坐標，因此需要將直邊的邊界條件變?yōu)閳A邊的邊界條件。為此，以遠大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標與極坐標的變換公式，大圓邊界上的應(yīng)力為:可見，問題與受外壓力的圓環(huán)相同，其解可由拉密解答得出，第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中以遠大于a的半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標與極坐標的變換公式，得到大圓的邊界條件2矩形板一對邊受集度為q的均布拉力該邊界條件比較復雜，難于找到合適的應(yīng)力函數(shù)。設(shè)其為cosφ或cos2φ都不行。第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中根據(jù)觀察，如果y方向有集度為q的壓力，則邊界上的應(yīng)力將大大簡化，于是我們轉(zhuǎn)而考慮一對邊受集度為q的均布拉力，一對邊受集度為q的均布壓力的問題，這時的邊界條件為：3一對邊受集度為q的均布拉力，一對邊受集度為q的均布壓力因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：σρτρφφ第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中代入相容方程得到于是:求解這一方程,得到第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中根據(jù)邊界條件可確定待定的常數(shù)，最后得到應(yīng)力分量為第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標第八節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中矩形板一對邊受集度為q的均布拉力的解答可由矩形板四邊受集度為q/2的均布拉力與一對邊受集度為q/2的均布拉力，一對邊受集度為q/2的均布壓力的解答疊加而得。=+第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四習題6.1試用斜截面應(yīng)力公式其中l(wèi),m為斜截面法線的方向余弦，導出應(yīng)力分量的坐標變換式：第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標習題參看圖(a)假設(shè)為已知,方向余弦為:代入(*)式得出應(yīng)力分量由極坐標向直角坐標的變換公式:6.1提示:φφφφφ第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標習題參看圖(b)假設(shè)為已知,方向余弦為:代入(*)式得出應(yīng)力分量由極坐標向直角坐標的變換公式:6.1提示:(續(xù)）φφφφ第51頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四提示：如圖所示,第六章極坐標習題6.2試導出直角坐標的位移分量u,v與極坐標的位移分量uρ,uφ,之間的坐標變換式。它們在u，v方向的投影為：它們在ρ，φ方向的投影為：φφρ第52頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第六章極坐標習題提示：1.檢驗相容條件:滿足相容條件:2.應(yīng)力分量:6.3圖示的圓環(huán),試證應(yīng)力函數(shù)能滿足相容條件，并求出對應(yīng)的應(yīng)力分量。設(shè)在內(nèi)半徑為a，外半徑為b的圓環(huán)中發(fā)生上述應(yīng)力，試求出邊界上的面力，并求出每一邊界上的主矢量與主矩。φ第53頁，共58頁，2023年，2月20