拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式 2

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(1)已知：拋物線的方程為

y2?2px(p?0)，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB交拋物線于AB兩點(diǎn)，

且弦AB的傾斜角為?，求弦AB的長(zhǎng)。解：由題意可設(shè)直線AB的方程為y?k(x?p?)(??)將其代入拋物線方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0，且k?tan?

?pk?2p，

x2設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),(x,y)則：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

當(dāng)???2時(shí)，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即為通徑

而假使拋物線的焦點(diǎn)位置發(fā)生變化，則以上弦長(zhǎng)公式成立嗎？這只能代表開(kāi)口向右時(shí)的弦長(zhǎng)計(jì)算公式，其他幾種狀況不盡一致?，F(xiàn)在我們來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。

(2)已知：拋物線的方程為

x2?2py(p?0)，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB交拋物線于A,B兩點(diǎn)，

直線AB傾斜角為?，求弦AB的長(zhǎng)。

解：設(shè)A,B的坐標(biāo)為(故AB的方程為y?x1,y),(x2,y)，斜率為k(k?tan?)，而焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)，

12p2p?kx，將其代入拋物線的方程整理得：22x2?2pkx?p?0,從而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦長(zhǎng)為：|AB|?1?k(x1?x2)2?4x1x2?2p(cos?)2

??0,cos??1,|AB|?2p，即為通徑。

而

y2??2px與（1）的結(jié)果一樣，x??2py與（2）的結(jié)果一樣，但是（1）與（2）

2的兩種表達(dá)式不一樣，為了統(tǒng)一這兩種不同的表達(dá)式，只須作很小的改動(dòng)即可。現(xiàn)將改動(dòng)陳述于下：

（3）已知：拋物線的方程為

y2?2px(p?0)，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB交拋物線于A，B

兩點(diǎn)，且弦AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為?，求弦AB的長(zhǎng)。

解：由題意可設(shè)直線AB的方程為y?k(x?p?)(??)將其代入拋物線方程整理得：

224k若傾斜角??若傾斜角??2x2?(4pk?8p)x?2pk22?0，

?2，則???,k?tan??tan?；

?2,則?????,k?tan??tan(???)。

設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(則：

x,y),(x,y)

112221x?x12?2pk?2p，

x2kx2?2p42

|AB|???1?k(x1?x2)2?4xx12421?(tan2p?)(pk?2p)k2?pk24

(sin?)2而sin??sin?,sin(???)?sin?，故|AB|?2p(sin?)2；

當(dāng)??而

?2時(shí)，sin??1，|AB|=2p.即為通徑。

y2??2px與（3）的結(jié)果一樣

同理：（4）已知：拋物線的方程為

x22?2py(p?0)，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB交拋物線于A,B

兩點(diǎn)，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為?，求弦AB的長(zhǎng)。

解：設(shè)A,B的坐標(biāo)為(x,y),(x,y)，若傾斜角為?，斜率為k，

112則k?tan?，而焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,故AB的方程為y?p)，2p?kx，將其代入拋物線的方程整理得：22x2?2pkx?p2?0,從而x1?x2?2pk,x1x2??p，

2弦長(zhǎng)為：|AB|?1?k當(dāng)傾斜角??當(dāng)傾斜角??(x1?x2)?2?4x1x2?2p(cos?)2

?2，則????,cos??cos(??)?sin?；22??2,則?????,cos??cos(??)??sin?22?所以|AB|?2p(sin?)2恒成立。

當(dāng)??而

?2時(shí)，sin??1，|AB|=2p.即為通徑。

x2??2py與（4）的結(jié)果一樣。

故只要直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為?，那么不管拋物線的開(kāi)口向上，向下，向左還是向右，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)都可以用一個(gè)公式表示，即|AB|?2p(s