角動量關(guān)于對稱性物理力學(xué)答案

第五章角動量關(guān)于對稱性思考題解答5.1下面的敘述是否正確,試作分析,并把錯誤的敘述改正過來:一定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中某時(shí)刻的加速度一經(jīng)確定，則質(zhì)點(diǎn)所受的合力就可以確定了，同時(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩也就確定了。質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動必定受到力矩的作用；質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動必定不受力矩的作用。力與z軸平行，所以力矩為零；力與z軸垂直，所以力矩不為零。小球與放置在光滑水平面上的輕桿一端連結(jié)，輕桿另一端固定在鉛直軸上。垂直于桿用力推小球，小球受到該力力矩作用，由靜止而繞鉛直軸轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生了角動量。所以，力矩是產(chǎn)生角動量的原因，而且力矩的方向與角動量方向相同。作勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量m，速率v及圓周半徑r都是常量。雖然其速度方向時(shí)時(shí)在改變，但卻總與半徑垂直，所以，其角動量守恒。答：（1）不正確.因?yàn)橛?jì)算力矩,必須明確對哪個(gè)參考點(diǎn).否則沒有意義.作用于質(zhì)點(diǎn)的合力可以由加速度確定.但沒有明確參考點(diǎn)時(shí),談力矩是沒有意義的.（2）不正確.質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時(shí),有兩種情況:一種是勻速圓周運(yùn)動,它所受合力通過圓心;另一種是變速圓周運(yùn)動,它所受的合力一般不通過圓心.若對圓心求力矩,則前者為零,后者不為零.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,作用于質(zhì)點(diǎn)的合力必沿直線.若對直線上一點(diǎn)求力矩,必為零;對線外一點(diǎn)求力矩則不為零.（3）不正確.該題應(yīng)首先明確是對軸的力矩還是對點(diǎn)的力矩.力與軸平行,力對軸上某點(diǎn)的力矩一般不為零,對軸的力矩則必為零.力與軸垂直,一般力對軸的力矩不為零,但力的作用線與軸相交,對軸力矩應(yīng)為零（4）不正確.因?yàn)橐粋€(gè)物體在不受力的情況下,保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài),它對直線外一點(diǎn)具有一定的角動量而并無力矩.根據(jù)角動量定理,力矩為物體對同一點(diǎn)角動量變化的原因.力矩的方向與角動量變化的方向相同,而與角動量的方向一定不相同.（5）不正確.因?yàn)樽鲃蛩賵A周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn),所受合力通過圓心,對圓心的力矩為零，對圓心的角動量守恒，但對其他點(diǎn)，力矩不為零，角動量不守恒。5．2回答下列問題，并作解釋：作用于質(zhì)點(diǎn)的力不為零，質(zhì)點(diǎn)所受的力矩是否也總不為零？作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，是否外力矩之和也為零？質(zhì)點(diǎn)的角動量不為零，作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力是否可能為零答（1）不一定。作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩不僅與力有關(guān)，還和所取得參考點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)力的作用線過參考點(diǎn)時(shí)，對該點(diǎn)的力矩就一定為零。（2）不一定。作用質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，但對某點(diǎn)的力矩之和不一定為零。如一對力偶，因，。但對任一點(diǎn)的力矩之和等于力偶矩，并不等于零。（3）可能為零。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)不受力時(shí)，保持靜止或勻速直線狀態(tài)。作勻速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)對線外一點(diǎn)的角動量為，不為零，但質(zhì)點(diǎn)受的力為零。 5．3試分析下面的論述是否正確：“質(zhì)點(diǎn)系的動量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的角動量也為零；質(zhì)點(diǎn)系的角動量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量也為零?！贝穑翰徽_。以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的最簡單的質(zhì)點(diǎn)系為例說明。（1）兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動速度等大反向，且不沿同一條直線質(zhì)點(diǎn)的動量。但對中心的角動量大小為，為兩速度方向垂直距離的一半，并且不為零（2）兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動速度等大同向，質(zhì)點(diǎn)系的動量，不為零。但對中心的角動量5．4本章5.12圖中題是否可以運(yùn)用動量守恒定律來解釋？為什么？答：不能。將盤、重物、膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，碰撞過程中受外力為繩的拉力和重力。由于沖擊，繩的拉力會增大，重力無變化，外力之和，所以總動量不守恒。5．5一圓盤內(nèi)有冰，冰面水平，與盤面共同繞過盤中心的鉛直軸轉(zhuǎn)動。后來冰化成水，問盤的轉(zhuǎn)速是否改變？如何改變。不計(jì)阻力矩。答：有變化。因?yàn)楸癁樗w積變小，各質(zhì)元到軸的距離也變小。對軸的角動量守恒，其中，變小，變大5．7角動量是否具有對伽利略變換的對稱性？角動量守恒定律是否具有對伽利略變換的對稱性？答：角動量對不同的參照系具有不同的值，所以角動量對伽利略變換不具對稱性；但角動定理對不同的慣性系具有相同的形式，所以角動量定理對伽利略變換具有對稱性。同理，角動量守恒定理對伽利略變換也具有對稱性。5．8南北極的冰塊溶化，使地球海平面升高，能否影響地球自轉(zhuǎn)快慢？答：南北極的冰塊溶化，地球海平面升高，南北極的水質(zhì)元向赤道方向移動，到軸的距離增大，角動量守恒。其中，變大，變小，而地球?qū)S的轉(zhuǎn)動會變慢。習(xí)題5.1.1我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)高度d近=439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)d遠(yuǎn)=2384km，地球半徑R=6370km，求衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度之比。解：人造衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動，受地球的吸引力過地心，所以吸引力對地心的力矩等于零，故衛(wèi)星的角動量守恒。近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度與矢徑垂直。設(shè)近地點(diǎn)的速度為v1，矢徑為r1；遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為v2，矢徑為r2，根據(jù)角動量守恒定律5.1.2一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條由定義的空間曲線運(yùn)動，其中a、b及皆為常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)的力矩。解：已知所以根據(jù)牛頓第二定律，有心力對原點(diǎn)的力矩：5.1.3一個(gè)具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在力場中運(yùn)動，其中t是時(shí)間。設(shè)該質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)位于原點(diǎn)，且速度為零。求t=2時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)的力矩。所受的對原點(diǎn)的力矩。解：因單位質(zhì)量m=1且又t=0時(shí)當(dāng)t=2s時(shí)對原點(diǎn)的力矩5.1.4地球質(zhì)量為6.01024kg，地球與太陽相距km，視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，它繞太陽作圓周運(yùn)動。求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動量。解：地球繞太陽的速率角動量=2.655.1.5根據(jù)5.1.2題所給的條件，求該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量。解：由得對原點(diǎn)的角動量5.1.6解：根據(jù)5.1.3題所給的條件，求該質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)對原點(diǎn)的角動量。解：由m=1積分：t=2s時(shí)5.1.7水平光滑桌面中間有一光滑小孔，輕繩一端伸入孔中，另一端系一質(zhì)量為10g的小球，沿半徑為40cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動，這時(shí)從孔下拉繩的力為10-3N。如果繼續(xù)向下拉繩，而使小球沿半徑為10cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動，這時(shí)小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通過圓心，力矩為零。所以小球的角動量守恒。根據(jù)牛頓第二定律由動量定理拉力作的功5.1.8一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在0-xy平面內(nèi)運(yùn)動，其位置矢量為其中a、b和是正常數(shù)。試以運(yùn)動方程及動力學(xué)方程觀點(diǎn)證明該質(zhì)點(diǎn)對于坐標(biāo)原點(diǎn)角動量守恒。證明：（1）運(yùn)動學(xué)方法角動量為常矢量，所以守恒。（2）動力學(xué)方法所以對原點(diǎn)角動量守恒。5.1.9質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平面與固定點(diǎn)A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8N/m，其自由伸展長度為600mm。最初小球的位置及速度如圖所示，當(dāng)小球的速率為時(shí)，它與A點(diǎn)的距離最大，且等于800mm，求此時(shí)的速率及初速率。解：以小球?yàn)楦綦x體，受重力，水平面支持力，；彈性繩的張力，指向點(diǎn)。設(shè)A、B兩點(diǎn)距離為d當(dāng)d0.6m時(shí),T=0;當(dāng)d>0.6時(shí)T=K(d-0.6)K=8N/m小球受到的對A點(diǎn)的合力矩為零，所以小球B對A點(diǎn)的角動量守恒。初始：A和B距離最大時(shí)，速度垂直AB，角動量L=mvd在此過程中只有保守力作功，所以物體系的機(jī)械能守恒解得：;5.1.10一條不可伸長的細(xì)繩穿過鉛直放置的、管口光滑的細(xì)管，一端系一質(zhì)量為0.5g的小球，小球沿水平圓周運(yùn)動。最初，，后來繼續(xù)向下拉繩使小球以沿水平圓周運(yùn)動。求小球最初的速度、最后的速度以及繩對小球做的功。解：以小球?yàn)楦綦x體。受重力，繩的張力，如圖所示（1）求由牛頓定律得所以(2)求：因拉動過程對軸的角動量守恒則由牛頓定律消去（3）求A由動能定理5．2．1離心調(diào)速器模型如圖所示。由轉(zhuǎn)軸上方向下看，質(zhì)量為m的小球在水平面內(nèi)繞AB逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)角速度為時(shí)，桿張開角。桿長為，桿與轉(zhuǎn)軸在B點(diǎn)相交。求（1）作用在小球上的各力對A點(diǎn)、B點(diǎn)及AB軸的力矩。（2）小球在圖示位置對對A點(diǎn)、B點(diǎn)及AB軸的角動量。桿質(zhì)量不計(jì)。解：作用于小球上的力對A、B、J及AB軸的矩右球向外向里右球向里（2）角動量（右球）平行軸向上紙面內(nèi)向右上向上為正5．2．2理想滑輪懸掛兩質(zhì)量為m的砝碼盤。用輕繩栓住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài)將此彈簧豎直放在一砝碼盤上，彈簧上端放一質(zhì)量為m的砝碼。另一砝碼盤上也放置質(zhì)量為m的砝碼，使兩盤靜止。燃斷輕繩，輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與砝碼脫離，求砝碼升起的高度。已知彈簧勁度系數(shù)為k，被壓縮的長度為0。解：（1）彈開過程（假定很?。?，角動量守恒得機(jī)械能守恒得（2）砝碼上拋過程，機(jī)械能守恒得說明：計(jì)算中因假定很小，所以（1）中忽略了系統(tǒng)整體勢能的變化。5．2．3兩個(gè)滑冰運(yùn)動員的質(zhì)量個(gè)為70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路線間的垂直距離為10m。當(dāng)彼此交錯時(shí)，各抓住10m繩索的一端，然后相對旋轉(zhuǎn)。（1）在抓住繩索一端之前，各自對繩中心的角