概率論在生活中的應(yīng)用-畢業(yè)論文

河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文學(xué)號：1001114119概率論在生活中的應(yīng)用學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級班別：10級二班姓名：指導(dǎo)教師：2014年3月概率論在生活中的應(yīng)用摘要概率論作為數(shù)學(xué)的一個重要部分，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用越來越廣泛，同樣也發(fā)揮著越來越重要的作用。加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生學(xué)用數(shù)學(xué)的知識和思維方法去看待，分析，解決實(shí)際生活的問題，在數(shù)學(xué)活動中獲得生活經(jīng)驗(yàn)。這是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的大勢所趨。加強(qiáng)應(yīng)用概率的意識，不僅是學(xué)習(xí)的需要，更是工作生活必不可少的。人類認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象的存在是很早的，但書上講得都是理論知識，我們不僅僅要學(xué)習(xí)好理論知識，應(yīng)用理論來實(shí)踐才是重中之重。學(xué)好概率論，并應(yīng)用概率知識解決現(xiàn)實(shí)問題已是我們必要的一種生活素養(yǎng)。（宋體，小四，1.5倍行距）關(guān)鍵詞隨機(jī)現(xiàn)象；條件概率；極限定理；古典概率TheapplymentofthetheoryofprobabilityindailylifeAbstractProbabilitytheoryasanimportantpartofmathematics,inthelifeofthesuemoreandmorewidely,alsoplayanincreasinglyimportantrole.Strengthenmathematicsapplied,letsthestudentwithmathematicalknowledgeandmathematicalthinkingmethodtotreat,analysis,solvepracticallifeinmathematicsactivity,gainlifeexperience.Thisisthecurrenttrendofcurriculumreform.Strengthentheconsciousnessoftheapplicationofprobability,notonlylearning,butworkinglifeisindispensable.Peoplerealizetheexistenceofrandomphenomenonisearly,buttellingthetheoryknowledge,weshouldnotonlystudythetheoryknowledgewell,theapplicationoftheorytopracticeismoreimportant.Learnprobabilitytheory,andusingprobabilityknowledgetosolverealiticlproblemsisalreadyalifewenecessaryaccomplishment.KeywordsRandomphenomenon;Conditionalprobability;Limittheorem.Theclassicalprobability前言概率論與我的生活息息相關(guān)。比如：太陽每天都會東升西落，這件事發(fā)生的概率就是100%或者說是1，因?yàn)樗隙〞l(fā)生；而太陽西升東落的概率就是0，因?yàn)樗隙ú粫l(fā)生。但生活中的很多現(xiàn)象是既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，比如某天會不會下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發(fā)生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運(yùn)氣”來解釋的事件，都可用概率模型進(jìn)行定量分析。不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。走在街頭，來來往往的車輛讓人聯(lián)想到概率；生產(chǎn)、生活更是離不開概率。在令人心動的彩票搖獎中，概率也同樣指導(dǎo)著我們的實(shí)踐。繼股票之后，彩票也成了城鄉(xiāng)居民經(jīng)濟(jì)生活中的一個熱點(diǎn)。然而彩票中獎的概率是很低的。有笑話說全世界的數(shù)學(xué)家都不會去買彩票，因?yàn)樗麄冎?，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠(yuǎn)高于中大獎的概率。隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來越廣，生活的數(shù)學(xué)更是無處不在。而概率作為數(shù)學(xué)的一個重要部分，同樣也在發(fā)揮著越來越廣泛的用處。抽樣調(diào)查，評估，彩票，保險，甚至在日常生活中購買蔬菜水果之類的時候也經(jīng)常會遇到要計算概率的時候，下面就通過幾個例子具體看看在這些方面中概率論的應(yīng)用。1具體實(shí)例1.1.1由先嘗后買看概率論在生活中的應(yīng)用例1.1.1在水果批發(fā)市場上打算買幾箱蘋果，他詢問賣主所售蘋果的質(zhì)量如何，賣主說一箱里(假設(shè)為100個)頂多有四、五個壞的。李老師隨后挑了一箱，打開后隨機(jī)抽取了10個蘋果，心想這10個中有不多于2個壞的就買，可他發(fā)現(xiàn)10個蘋果中有3個是壞的。于是李老師對賣主說，你的一箱蘋果里不止有5個壞的。賣主反駁說，我的話并沒有錯，也許這一箱蘋果中就這3個壞的，讓你碰巧看見了。李老師的指責(zé)有道理嗎?解：我們來看一看。假設(shè)這一筐有100個蘋果，其中有5個壞的。我們把“壞蘋果數(shù)大于2”用符號表示，他是互斥事件的并，應(yīng)用古典概率的定義，可求得所抽的10個中壞蘋果數(shù)等于3的概率同樣可求得其中壞蘋果數(shù)為4、5的概率分別是于是由概率加法原則可得“壞蘋果數(shù)大于2”的概率如果這筐蘋果里的壞蘋果少于5個，那么打開一筐任取10個發(fā)現(xiàn)多與2個壞蘋果的概率會更小。這就是說一次抽查10個，發(fā)現(xiàn)多于2個壞的幾率會更小。是幾乎不可能發(fā)生的?，F(xiàn)在居然發(fā)生了，李老師正是根據(jù)幾乎不可能發(fā)生的事情而居然發(fā)生了這個矛盾去否定賣方的說法。在數(shù)學(xué)中把李老師的這種根據(jù)，即“概率很小的事件，在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生?！苯凶鲂「怕试?。這是人們常常恪守的一條原理。那么，賣方說的沒有理由嗎？也就是說假如這筐蘋果里真的只有三個壞的，抽查的10個中恰巧包含了這3個，如果真是這樣，那么這時就犯了把合格的（稱其為真的）一筐（批）判成不合格的（稱其為假的）一筐（批）判成不合格的（稱其為假的）一筐(批)的錯誤。我們稱這種錯誤為棄真性質(zhì)的錯誤，又稱其為第一類錯誤。在這個問題中，這種可能性（概率）不超過0.66%，可以說抽查10000個這樣的筐，才可能出現(xiàn)66個棄真性質(zhì)的錯誤，它是一個小概率事件。顯然買方已經(jīng)把允許棄真性質(zhì)錯誤的概率規(guī)定的夠小的了，根據(jù)小概率原理賣方說的理由不成立。李老師用這樣抽樣檢查來決定買不買東西也有風(fēng)險。例如，若李老師所看的那筐有10個壞的（次品），然而李老師所抽的那10個全是好的（合格品），于是李老師以為這一筐里的壞的不超過5個（為合格批），相信了賣方的話。這時李老師就犯了取偽性質(zhì)的錯誤（把不合格批判為合格批）。我們把這種錯誤稱為取偽性質(zhì)的錯誤，也叫第二類錯誤。那么，這時李老師犯取偽性質(zhì)錯誤的概率是多少呢？下面我們來算一算。先用古典概型定義分別算出抽查的10個中所含次品個數(shù)及其對應(yīng)的概率，將其列成下表：X012345P0.3304760.4079950.2012150.0517940.0075530.000640X678910P0.0000310.0000010.0000000.0000000.000000則他犯取偽性質(zhì)錯誤的概率為而當(dāng)筐里有40個壞蘋果時，用“抽查10個，其中有不超過2個壞的”標(biāo)準(zhǔn)就買，犯取偽性質(zhì)錯誤的概率用同樣的方法可以求。先應(yīng)用古典概率定義計算然后列成下表：X012345P0.0043550.0341600.1152910.2204310.2643130.207606X678910P0.8081280.0368560.0078630.0009480.000049再求即這時犯取偽錯誤的概率為0.153806由對以上例題的研究和分析可以得出結(jié)論，“先嘗后買”對賣方還是有一定風(fēng)險的，但是當(dāng)商品不能一一全面檢查時，先嘗后買（抽樣檢查）的確不失為一個好方法，所以它能長盛不衰。1.2概率論在選票領(lǐng)先問題中的應(yīng)用當(dāng)研究一個或多個隨機(jī)變量時，常常會遇到這樣的情況，即在已知某隨機(jī)事件（一般說來，這事件與被研究的隨機(jī)變量有關(guān)）發(fā)生的條件下，求這個或這些隨機(jī)變量取值的（條件）概率分布律。接下來的例子便是條件數(shù)學(xué)期望和條件概率在選票領(lǐng)先問題中的應(yīng)用。例2.2.1在選舉中，候選人A獲得n票，候選人B獲得m票（）。假設(shè)所有的選票排列次序都是等可能的，證明在點(diǎn)算選票時A一路領(lǐng)先的概率為。證以表示欲求的概率，現(xiàn)把哪一個候選人得到最后點(diǎn)算的一張選票作為條件，于是有當(dāng)A得到最后一張選票時，A一路領(lǐng)先的概率等于當(dāng)A得票總數(shù)是和B得票總數(shù)是m時A一路領(lǐng)先的概率。而當(dāng)B得到最后一張選票時A一路領(lǐng)先時也有類似的結(jié)果。因此有（1）下面利用歸納法證明（2）當(dāng)時，，即（2）式成立?，F(xiàn)設(shè)時（2）式成立，則當(dāng)時，由（1）式和歸納假設(shè)有式得證。選票領(lǐng)先問題有一些有意思的應(yīng)用，例如，在一次伯努利試驗(yàn)序列中，試驗(yàn)成功的概率是。若要確定試驗(yàn)開始后首次出現(xiàn)成功或失敗的試驗(yàn)次數(shù)相等的時間的概率分布，則令表示該時間且把在這次試驗(yàn)中成功的次數(shù)取作條件，于是有當(dāng)給定了在前次試驗(yàn)中成功次時，次成功和次失敗的試驗(yàn)的每一排列是等可能的。因此上面的條件概率等于在選票領(lǐng)先問題中兩個候選人都得到張票且每一個候選人直到點(diǎn)算最后一張選票之前一路領(lǐng)先的概率（是由于最后一張必定屬于非領(lǐng)先的候選人），因此，有1.3概率論在可靠性方面的應(yīng)用我們通常把一族無窮多個、相互有一定內(nèi)在聯(lián)系的隨機(jī)變量叫做隨機(jī)過程（也有人稱之為隨機(jī)函數(shù)）。對于一個元件，它能正常工作的概率稱為它的可靠性。對于由若干個原件組成的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)正常工作的概率成為該系統(tǒng)的可靠性。當(dāng)系統(tǒng)由個元件組成時，我們給出這個元件的四組組成方式，即四個系統(tǒng)，通過運(yùn)用概率知識進(jìn)行計算和比較，可以這四個系統(tǒng)的可靠性按照由好到差的順序排列出來，從而說明對于同樣數(shù)目、同樣性能的元件，由于系統(tǒng)的構(gòu)成情況不同，它的可靠性也不一樣。下面我們來介紹一下隨機(jī)過程在可靠性方面的應(yīng)用。例2.3.1（1）我們先來討論一下最簡單的情況：假設(shè)系統(tǒng)只由兩個元件A和B組成，那么連接這兩個元件，只有串聯(lián)和并聯(lián)這兩種方式，如圖所示AABABABB系統(tǒng)2圖系統(tǒng)1圖系統(tǒng)2圖系統(tǒng)1圖設(shè)的可靠性為，并假設(shè)這兩個元件是否能夠正常工作是相互獨(dú)立的，運(yùn)用概率論中的基本公式計算可得：系統(tǒng)一的可靠性為：（1）系統(tǒng)2的可靠性為：（2）因?yàn)?，所以，由?）（2）兩式可知，這就是說，系統(tǒng)2要比系統(tǒng)1的可靠性要好一些。當(dāng)系統(tǒng)由三個或三個以上元件組成時，為了討論方便我們假設(shè)各個元件的可靠性均為，而且，各個元件是否正常工作是相互獨(dú)立的。對于由三個元件組成的系統(tǒng)，只有如圖系統(tǒng)3圖——系統(tǒng)5圖所示的三種組成方式，即：三個元件串聯(lián)；三個元件并聯(lián)；兩個元件并聯(lián)后再與第三個元件串聯(lián)。BCABCA 系統(tǒng)3圖系統(tǒng)3圖AAA ACBCBBBCC系統(tǒng)5圖系統(tǒng)4圖系統(tǒng)5圖系統(tǒng)4圖運(yùn)用概率知識計算可得，系統(tǒng)3的可靠性為：系統(tǒng)4的可靠性為：系統(tǒng)5的可靠性為：因?yàn)樗?，三個系統(tǒng)的可靠性由好到差排列的順序是：系統(tǒng)4、系統(tǒng)5、系統(tǒng)3。當(dāng)系統(tǒng)由個元件組成時，從大的方面講，系統(tǒng)的組成只有三種，即：m個元件串聯(lián)；m個元件并聯(lián)；m個元件串聯(lián)和并聯(lián)交替組合。對于第三種組成方式，隨著m的增大，情況比較復(fù)雜，在此不做進(jìn)一步的討論。我們只對由2n個元件組成的系統(tǒng)，給出如系統(tǒng)6圖——系統(tǒng)9圖所示的四種組成方式，并通過計算、比較，說明哪一個系統(tǒng)的可靠性更好一些。A1…B2B1A2…A1…B2B1A2…系統(tǒng)6圖系統(tǒng)6圖A1A1A2A2B1B1B2B2系統(tǒng)7圖系統(tǒng)7圖A3…A2A1A3…A2A1B3…B2B1B3…B2B1系統(tǒng)8圖系統(tǒng)8圖A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1系統(tǒng)9圖系統(tǒng)9圖設(shè)個元件分別為，且，則系統(tǒng)6的可靠性為：系統(tǒng)7的可靠性為：設(shè)，則系統(tǒng)8的可靠性為：對于系統(tǒng)9，它是由n對并聯(lián)元件串聯(lián)而成的，用表示第對元件正常工作，則系統(tǒng)9的可靠性為：四個系統(tǒng)的可靠性都計算出來了，現(xiàn)在我們討論一下，哪一個系統(tǒng)的可靠性更好一些首先，其次，用數(shù)學(xué)歸納法可證明，當(dāng)時，，所以，引入函數(shù)，對求導(dǎo)，得因?yàn)樗詮亩?，即函?shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)，所以，當(dāng)。特別取，則當(dāng)時，有，即,所以，。由此可得：這就是說，在系統(tǒng)6圖——系統(tǒng)9圖所示的四個系統(tǒng)中，其可靠性由好到差排列的順序是：系統(tǒng)7、系統(tǒng)9、系統(tǒng)8、系統(tǒng)6.通過上面的討論可以看出，對于同樣數(shù)目，同樣性能的元件，由于系統(tǒng)的構(gòu)成情況不同，它的可靠性也不一樣。因此，在基本情況相同的情況下，我們總是尋求優(yōu)良的系統(tǒng)組成方式，從而使系統(tǒng)的可靠性更好一些。了解系統(tǒng)可靠性的一些結(jié)論，并把它運(yùn)用到我們的生產(chǎn)實(shí)踐和生活實(shí)踐當(dāng)中去，必將收到良好的效果。1.4大數(shù)定律在保險業(yè)的應(yīng)用1.4.1問題的提出重復(fù)試驗(yàn)中事件的頻率的穩(wěn)定性，是大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的典型表型。人們在實(shí)踐中認(rèn)識到頻率具有穩(wěn)定性，進(jìn)而由頻率的穩(wěn)定性預(yù)見概率的存在；有頻率的性質(zhì)推斷概率的性質(zhì)，并在實(shí)際運(yùn)用中用頻率的值來估計概率的值。其實(shí)，在大量隨機(jī)現(xiàn)象中，不但事件的頻率具有穩(wěn)定性，而且大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果一般也具有這種穩(wěn)定性；單個隨機(jī)地行為對大量隨機(jī)現(xiàn)象共同產(chǎn)生的總平均效果幾乎不發(fā)生影響。這就是說，盡管單個隨機(jī)現(xiàn)象的將具體實(shí)現(xiàn)不可避免地引起隨機(jī)偏差，然而在大量隨機(jī)現(xiàn)象共同作用時，由于這些隨機(jī)偏差互相抵消、補(bǔ)償和拉平，至于總的平均結(jié)果趨于穩(wěn)定。例如，在隨機(jī)地拋擲一枚均勻硬幣的實(shí)驗(yàn)例子中，每一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可能是正面，也可能是反面，但當(dāng)拋擲次數(shù)變得很大時，每一次拋擲的結(jié)果對總的發(fā)生頻率的影響就變得很小，于是正、反兩面出現(xiàn)的就趨于穩(wěn)定，其值圍繞著0.5做微小的波動；又如在分子物理學(xué)中，氣體對容器壁的壓力等于單位時間內(nèi)撞擊容器壁單位面積上的氣體分子的總影響。盡管每個氣體分子運(yùn)動的速度、方向以及撞擊容器壁的件的發(fā)生，而此事件又與有些隨機(jī)事件有關(guān)，這些隨機(jī)事件的數(shù)目無限增多，而且每一個這樣的事件產(chǎn)生的影響又非常微小。2.4.2大數(shù)定理的定義設(shè)是相互獨(dú)立切具有公共分布的隨機(jī)變量序列。如果其期望存在，則對每個，當(dāng)總有下面介紹大數(shù)定理的幾種常見形式。定理1（馬爾可父大數(shù)定理）設(shè)是隨機(jī)變量序列。若對所有，方差存在，而且，則對任意給定，有。推論一（切貝謝夫大數(shù)定理）設(shè){}是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。若存在常數(shù)C使，對所有則對任意給定有。特別的，若進(jìn)一步假設(shè)有相同的數(shù)學(xué)期望EX時有。定理2在n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出言的概率為p，，為n此試驗(yàn)中出現(xiàn)A的次數(shù)，則。定理3設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差E（Xk）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,…).則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn（x）對于任意x滿足根據(jù)上述中心極限定理，由事先約定的，則這樣，由事先給定的確定出參加某種風(fēng)險保障的企業(yè)最小數(shù)目n.例如：當(dāng)，則當(dāng)約定時，一定有,也就是說當(dāng)時，上述的結(jié)果成立。1.4.3保險動機(jī)的產(chǎn)生

現(xiàn)代保險業(yè)已經(jīng)是社會非常重要的一環(huán)，而大數(shù)定律就是這大廈最重要的基石之一，下面就看看大數(shù)定律是如何撐起這座保險業(yè)大廈的。

保險業(yè)是根據(jù)大數(shù)定律的法則，集中眾多企業(yè)或者個人的風(fēng)險，建立抵御風(fēng)險的社會機(jī)制。但是保險業(yè)的產(chǎn)生不僅僅是為了避險，當(dāng)然也有利潤這只無形的手的驅(qū)使，有利潤才能保證保險業(yè)真正的發(fā)展下去，壯大起來。同時大數(shù)定律不僅僅用于計算保險公司避險需要的客戶數(shù)，也需要用來計算產(chǎn)生的利潤的合理范圍。為了抵御風(fēng)險，保險公司需要大數(shù)目的客戶，那么這些企業(yè)或者個人是如何愿意自己交出保險費(fèi)投保的呢？其實(shí)這也是企業(yè)或者個人為了自己的利益著想，不但是避險，也是一種投資，這就是保險業(yè)能夠產(chǎn)生發(fā)展的一個基礎(chǔ)。1.4.4應(yīng)用舉例例2.4.1某企業(yè)有資金單位，而接受保險的事件具有風(fēng)險，當(dāng)風(fēng)險發(fā)生時遭受的經(jīng)濟(jì)損失為個單位，那么在理性預(yù)期的條件下，該企業(yè)只能投入的資金單位。假設(shè)企業(yè)投入資金與所得利潤之間的函數(shù)關(guān)系為，顯然有，當(dāng)時為預(yù)期風(fēng)險條件下利潤損失額。當(dāng)時，企業(yè)就需要有避險的需求，且隨差額的增大而增大。這就是企業(yè)的避險需求，也是保險業(yè)產(chǎn)生的基礎(chǔ)。具有同種類風(fēng)險，且風(fēng)險的發(fā)生相互獨(dú)立的眾多企業(yè)，當(dāng)風(fēng)險發(fā)生的時候，需要一定的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，以使損失最小或得以繼續(xù)某項(xiàng)生產(chǎn)活動，在這里看來，風(fēng)險的發(fā)生，在整體上看是必然的，但從局部看，是隨機(jī)的，所以這種補(bǔ)償在風(fēng)險沒有發(fā)生時是一種預(yù)期。假設(shè)這種隨機(jī)現(xiàn)象為，則的概率分布為：取值0概率上表中，P為風(fēng)險發(fā)生的概率，為風(fēng)險發(fā)生時企業(yè)的損失額。那么知道該事件的數(shù)學(xué)期望為。根據(jù)契貝曉夫大數(shù)定律，當(dāng)有限時，，。，上述式子可以表述為：n個具有某種同類風(fēng)險，且風(fēng)險的發(fā)生是相互獨(dú)立的，當(dāng)風(fēng)險發(fā)生時預(yù)計得到補(bǔ)償?shù)钠骄蹬c其各自的期望值之差，可以像事先約定的那樣小，以致在企業(yè)生產(chǎn)過程中可以忽略不計。依據(jù)定理3和定理4，從兩個方面來看，從微觀上看，因?yàn)?則，由前面說的企業(yè)是看利潤遞增的原則，顯然有。此時企業(yè)產(chǎn)生參加社會保險的動機(jī)，也就是企業(yè)參加社會保險比自保更有利。從宏觀上看，如果有n個具有同類風(fēng)險的企業(yè)存在且都實(shí)行自保，顯然在理性預(yù)期的條件下，為抵御風(fēng)險而失去的利潤總額為。其中表示第i個企業(yè)的利潤函數(shù)（i=1,2,…..n）.而這n企業(yè)全部參加社會保險后，為了抵御風(fēng)險而失去的利潤總額為。則由于參加社會保險而產(chǎn)生的社會總效益為：由于，i=1,2,……n.所以此效益隨著n的增大而增大。綜上所述，企業(yè)參加社會保險的動機(jī)便是在于參加社保比自保更加的有利，利潤的驅(qū)使，這也是企業(yè)參加保險的重要動機(jī)，因此保險業(yè)這個行業(yè)以存在和發(fā)展，也發(fā)展了眾多的保險公司。保險公司同樣也需要評估是否可保的問題，上面的敘述可以得知，可保的條件有：1、風(fēng)險事故造成的損失應(yīng)當(dāng)是可以估計的。2、有大量獨(dú)立的同質(zhì)風(fēng)險單位存在，即是各風(fēng)險單位遭遇風(fēng)險事故造成損失的概率和損失規(guī)模大致相近，同時各風(fēng)險單位要相互獨(dú)立，相互的發(fā)生不會產(chǎn)生影響。這些都是大數(shù)定律的基本要求。1.5中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用1.5.1什么是中心極限定理大數(shù)定律揭示了大量隨機(jī)變量的平均結(jié)果，但沒有涉及到隨機(jī)變量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)是以正態(tài)分布為極限的。中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。它提出，大量的獨(dú)立隨機(jī)變量之和具有近似于正態(tài)的分布。因此，它不僅提供了計算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形(即正態(tài))曲線這一事實(shí)，因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使正態(tài)分布有了廣泛的應(yīng)用。例2.5.1水房擁擠問題：假設(shè)西安郵電學(xué)院新校區(qū)有學(xué)生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？解：（1）設(shè)同一時刻，5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X～B（5000，0.01）擁擠的概率是有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，故即擁擠的概率（2）欲求m，使得即由于即查表即需裝62個水龍頭。問題的變形：（3）至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m，使得即由即查表即m≥66.4故需要裝67個水龍頭。（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結(jié)果如何？解：（1）（2）同上。（5）若條件中的每個學(xué)生占用由1%提高到1.5%，其余的條件不變，則（1），（2）兩問題結(jié)果如何?解：(1)設(shè)同一時刻，5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，擁擠的概率達(dá)(2)欲求m，使得即由即查表即m≥89.14故需裝90個水龍頭。中心極限定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本的均值總是近似地服從正態(tài)分布。如果一個隨機(jī)變量能夠分解為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進(jìn)行解決。總之，恰當(dāng)?shù)厥褂弥行臉O限定理解決實(shí)際問題有著極其重要意義。1.6概率論在經(jīng)濟(jì)保險問題中的應(yīng)用在保險公司里有2500個同一年齡的人參加了人壽保險，在一年里死亡的概率為0.002，每個人一年付12元保險費(fèi)，而在死亡的時候家屬可以領(lǐng)取由保險公司支付的2000元，問保險公司盈利的概率是多少，公司獲利不少于10000的概率是多少？這樣的問題咋一看很難知道保險公司是否盈利，但經(jīng)過概率統(tǒng)計的知識一計算就可以得知公司是幾乎必定盈利的A={2500*12-2000X<0}={X>15}由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的結(jié)果說明了為什么保險公司那樣樂于開展保險業(yè)務(wù)的原因.1.7概率論在中獎問題中的應(yīng)用社會福利彩票：有很多的福利彩票通常采用多少個數(shù)中選幾個的模式，我們以35選7為例說明這種彩票的中獎概率。例1.7.1一種稱為幸福35選7的福利彩票，即從中不重復(fù)地開出7個基本號碼和一個特殊