概率論在生活中的應(yīng)用-畢業(yè)論文

河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文學(xué)號：1001114119概率論在生活中的應(yīng)用學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級班別：10級二班姓名：指導(dǎo)教師：2014年3月概率論在生活中的應(yīng)用摘要概率論作為數(shù)學(xué)的一個重要部分，在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用越來越廣泛，同樣也發(fā)揮著越來越重要的作用。加強數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生學(xué)用數(shù)學(xué)的知識和思維方法去看待，分析，解決實際生活的問題，在數(shù)學(xué)活動中獲得生活經(jīng)驗。這是當前數(shù)學(xué)課程改革的大勢所趨。加強應(yīng)用概率的意識，不僅是學(xué)習(xí)的需要，更是工作生活必不可少的。人類認識到隨機現(xiàn)象的存在是很早的，但書上講得都是理論知識，我們不僅僅要學(xué)習(xí)好理論知識，應(yīng)用理論來實踐才是重中之重。學(xué)好概率論，并應(yīng)用概率知識解決現(xiàn)實問題已是我們必要的一種生活素養(yǎng)。（宋體，小四，1.5倍行距）關(guān)鍵詞隨機現(xiàn)象；條件概率；極限定理；古典概率TheapplymentofthetheoryofprobabilityindailylifeAbstractProbabilitytheoryasanimportantpartofmathematics,inthelifeofthesuemoreandmorewidely,alsoplayanincreasinglyimportantrole.Strengthenmathematicsapplied,letsthestudentwithmathematicalknowledgeandmathematicalthinkingmethodtotreat,analysis,solvepracticallifeinmathematicsactivity,gainlifeexperience.Thisisthecurrenttrendofcurriculumreform.Strengthentheconsciousnessoftheapplicationofprobability,notonlylearning,butworkinglifeisindispensable.Peoplerealizetheexistenceofrandomphenomenonisearly,buttellingthetheoryknowledge,weshouldnotonlystudythetheoryknowledgewell,theapplicationoftheorytopracticeismoreimportant.Learnprobabilitytheory,andusingprobabilityknowledgetosolverealiticlproblemsisalreadyalifewenecessaryaccomplishment.KeywordsRandomphenomenon;Conditionalprobability;Limittheorem.Theclassicalprobability前言概率論與我的生活息息相關(guān)。比如：太陽每天都會東升西落，這件事發(fā)生的概率就是100%或者說是1，因為它肯定會發(fā)生；而太陽西升東落的概率就是0，因為它肯定不會發(fā)生。但生活中的很多現(xiàn)象是既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，比如某天會不會下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發(fā)生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運氣”來解釋的事件，都可用概率模型進行定量分析。不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。走在街頭，來來往往的車輛讓人聯(lián)想到概率；生產(chǎn)、生活更是離不開概率。在令人心動的彩票搖獎中，概率也同樣指導(dǎo)著我們的實踐。繼股票之后，彩票也成了城鄉(xiāng)居民經(jīng)濟生活中的一個熱點。然而彩票中獎的概率是很低的。有笑話說全世界的數(shù)學(xué)家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高于中大獎的概率。隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來越廣，生活的數(shù)學(xué)更是無處不在。而概率作為數(shù)學(xué)的一個重要部分，同樣也在發(fā)揮著越來越廣泛的用處。抽樣調(diào)查，評估，彩票，保險，甚至在日常生活中購買蔬菜水果之類的時候也經(jīng)常會遇到要計算概率的時候，下面就通過幾個例子具體看看在這些方面中概率論的應(yīng)用。1具體實例1.1.1由先嘗后買看概率論在生活中的應(yīng)用例1.1.1在水果批發(fā)市場上打算買幾箱蘋果，他詢問賣主所售蘋果的質(zhì)量如何，賣主說一箱里(假設(shè)為100個)頂多有四、五個壞的。李老師隨后挑了一箱，打開后隨機抽取了10個蘋果，心想這10個中有不多于2個壞的就買，可他發(fā)現(xiàn)10個蘋果中有3個是壞的。于是李老師對賣主說，你的一箱蘋果里不止有5個壞的。賣主反駁說，我的話并沒有錯，也許這一箱蘋果中就這3個壞的，讓你碰巧看見了。李老師的指責有道理嗎?解：我們來看一看。假設(shè)這一筐有100個蘋果，其中有5個壞的。我們把“壞蘋果數(shù)大于2”用符號表示，他是互斥事件的并，應(yīng)用古典概率的定義，可求得所抽的10個中壞蘋果數(shù)等于3的概率同樣可求得其中壞蘋果數(shù)為4、5的概率分別是于是由概率加法原則可得“壞蘋果數(shù)大于2”的概率如果這筐蘋果里的壞蘋果少于5個，那么打開一筐任取10個發(fā)現(xiàn)多與2個壞蘋果的概率會更小。這就是說一次抽查10個，發(fā)現(xiàn)多于2個壞的幾率會更小。是幾乎不可能發(fā)生的。現(xiàn)在居然發(fā)生了，李老師正是根據(jù)幾乎不可能發(fā)生的事情而居然發(fā)生了這個矛盾去否定賣方的說法。在數(shù)學(xué)中把李老師的這種根據(jù)，即“概率很小的事件，在一次實驗中幾乎不可能發(fā)生。”叫做小概率原理。這是人們常常恪守的一條原理。那么，賣方說的沒有理由嗎？也就是說假如這筐蘋果里真的只有三個壞的，抽查的10個中恰巧包含了這3個，如果真是這樣，那么這時就犯了把合格的（稱其為真的）一筐（批）判成不合格的（稱其為假的）一筐（批）判成不合格的（稱其為假的）一筐(批)的錯誤。我們稱這種錯誤為棄真性質(zhì)的錯誤，又稱其為第一類錯誤。在這個問題中，這種可能性（概率）不超過0.66%，可以說抽查10000個這樣的筐，才可能出現(xiàn)66個棄真性質(zhì)的錯誤，它是一個小概率事件。顯然買方已經(jīng)把允許棄真性質(zhì)錯誤的概率規(guī)定的夠小的了，根據(jù)小概率原理賣方說的理由不成立。李老師用這樣抽樣檢查來決定買不買東西也有風險。例如，若李老師所看的那筐有10個壞的（次品），然而李老師所抽的那10個全是好的（合格品），于是李老師以為這一筐里的壞的不超過5個（為合格批），相信了賣方的話。這時李老師就犯了取偽性質(zhì)的錯誤（把不合格批判為合格批）。我們把這種錯誤稱為取偽性質(zhì)的錯誤，也叫第二類錯誤。那么，這時李老師犯取偽性質(zhì)錯誤的概率是多少呢？下面我們來算一算。先用古典概型定義分別算出抽查的10個中所含次品個數(shù)及其對應(yīng)的概率，將其列成下表：X012345P0.3304760.4079950.2012150.0517940.0075530.000640X678910P0.0000310.0000010.0000000.0000000.000000則他犯取偽性質(zhì)錯誤的概率為而當筐里有40個壞蘋果時，用“抽查10個，其中有不超過2個壞的”標準就買，犯取偽性質(zhì)錯誤的概率用同樣的方法可以求。先應(yīng)用古典概率定義計算然后列成下表：X012345P0.0043550.0341600.1152910.2204310.2643130.207606X678910P0.8081280.0368560.0078630.0009480.000049再求即這時犯取偽錯誤的概率為0.153806由對以上例題的研究和分析可以得出結(jié)論，“先嘗后買”對賣方還是有一定風險的，但是當商品不能一一全面檢查時，先嘗后買（抽樣檢查）的確不失為一個好方法，所以它能長盛不衰。1.2概率論在選票領(lǐng)先問題中的應(yīng)用當研究一個或多個隨機變量時，常常會遇到這樣的情況，即在已知某隨機事件（一般說來，這事件與被研究的隨機變量有關(guān)）發(fā)生的條件下，求這個或這些隨機變量取值的（條件）概率分布律。接下來的例子便是條件數(shù)學(xué)期望和條件概率在選票領(lǐng)先問題中的應(yīng)用。例2.2.1在選舉中，候選人A獲得n票，候選人B獲得m票（）。假設(shè)所有的選票排列次序都是等可能的，證明在點算選票時A一路領(lǐng)先的概率為。證以表示欲求的概率，現(xiàn)把哪一個候選人得到最后點算的一張選票作為條件，于是有當A得到最后一張選票時，A一路領(lǐng)先的概率等于當A得票總數(shù)是和B得票總數(shù)是m時A一路領(lǐng)先的概率。而當B得到最后一張選票時A一路領(lǐng)先時也有類似的結(jié)果。因此有（1）下面利用歸納法證明（2）當時，，即（2）式成立?，F(xiàn)設(shè)時（2）式成立，則當時，由（1）式和歸納假設(shè)有式得證。選票領(lǐng)先問題有一些有意思的應(yīng)用，例如，在一次伯努利試驗序列中，試驗成功的概率是。若要確定試驗開始后首次出現(xiàn)成功或失敗的試驗次數(shù)相等的時間的概率分布，則令表示該時間且把在這次試驗中成功的次數(shù)取作條件，于是有當給定了在前次試驗中成功次時，次成功和次失敗的試驗的每一排列是等可能的。因此上面的條件概率等于在選票領(lǐng)先問題中兩個候選人都得到張票且每一個候選人直到點算最后一張選票之前一路領(lǐng)先的概率（是由于最后一張必定屬于非領(lǐng)先的候選人），因此，有1.3概率論在可靠性方面的應(yīng)用我們通常把一族無窮多個、相互有一定內(nèi)在聯(lián)系的隨機變量叫做隨機過程（也有人稱之為隨機函數(shù)）。對于一個元件，它能正常工作的概率稱為它的可靠性。對于由若干個原件組成的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)正常工作的概率成為該系統(tǒng)的可靠性。當系統(tǒng)由個元件組成時，我們給出這個元件的四組組成方式，即四個系統(tǒng)，通過運用概率知識進行計算和比較，可以這四個系統(tǒng)的可靠性按照由好到差的順序排列出來，從而說明對于同樣數(shù)目、同樣性能的元件，由于系統(tǒng)的構(gòu)成情況不同，它的可靠性也不一樣。下面我們來介紹一下隨機過程在可靠性方面的應(yīng)用。例2.3.1（1）我們先來討論一下最簡單的情況：假設(shè)系統(tǒng)只由兩個元件A和B組成，那么連接這兩個元件，只有串聯(lián)和并聯(lián)這兩種方式，如圖所示AABABABB系統(tǒng)2圖系統(tǒng)1圖系統(tǒng)2圖系統(tǒng)1圖設(shè)的可靠性為，并假設(shè)這兩個元件是否能夠正常工作是相互獨立的，運用概率論中的基本公式計算可得：系統(tǒng)一的可靠性為：（1）系統(tǒng)2的可靠性為：（2）因為，所以，由（1）（2）兩式可知，這就是說，系統(tǒng)2要比系統(tǒng)1的可靠性要好一些。當系統(tǒng)由三個或三個以上元件組成時，為了討論方便我們假設(shè)各個元件的可靠性均為，而且，各個元件是否正常工作是相互獨立的。對于由三個元件組成的系統(tǒng)，只有如圖系統(tǒng)3圖——系統(tǒng)5圖所示的三種組成方式，即：三個元件串聯(lián)；三個元件并聯(lián)；兩個元件并聯(lián)后再與第三個元件串聯(lián)。BCABCA 系統(tǒng)3圖系統(tǒng)3圖AAA ACBCBBBCC系統(tǒng)5圖系統(tǒng)4圖系統(tǒng)5圖系統(tǒng)4圖運用概率知識計算可得，系統(tǒng)3的可靠性為：系統(tǒng)4的可靠性為：系統(tǒng)5的可靠性為：因為所以，三個系統(tǒng)的可靠性由好到差排列的順序是：系統(tǒng)4、系統(tǒng)5、系統(tǒng)3。當系統(tǒng)由個元件組成時，從大的方面講，系統(tǒng)的組成只有三種，即：m個元件串聯(lián)；m個元件并聯(lián)；m個元件串聯(lián)和并聯(lián)交替組合。對于第三種組成方式，隨著m的增大，情況比較復(fù)雜，在此不做進一步的討論。我們只對由2n個元件組成的系統(tǒng)，給出如系統(tǒng)6圖——系統(tǒng)9圖所示的四種組成方式，并通過計算、比較，說明哪一個系統(tǒng)的可靠性更好一些。A1…B2B1A2…A1…B2B1A2…系統(tǒng)6圖系統(tǒng)6圖A1A1A2A2B1B1B2B2系統(tǒng)7圖系統(tǒng)7圖A3…A2A1A3…A2A1B3…B2B1B3…B2B1系統(tǒng)8圖系統(tǒng)8圖A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1A1系統(tǒng)9圖系統(tǒng)9圖設(shè)個元件分別為，且，則系統(tǒng)6的可靠性為：系統(tǒng)7的可靠性為：設(shè)，則系統(tǒng)8的可靠性為：對于系統(tǒng)9，它是由n對并聯(lián)元件串聯(lián)而成的，用表示第對元件正常工作，則系統(tǒng)9的可靠性為：四個系統(tǒng)的可靠性都計算出來了，現(xiàn)在我們討論一下，哪一個系統(tǒng)的可靠性更好一些首先，其次，用數(shù)學(xué)歸納法可證明，當時，，所以，引入函數(shù)，對求導(dǎo)，得因為所以從而，即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。因為當，所以，當。特別取，則當時，有，即,所以，。由此可得：這就是說，在系統(tǒng)6圖——系統(tǒng)9圖所示的四個系統(tǒng)中，其可靠性由好到差排列的順序是：系統(tǒng)7、系統(tǒng)9、系統(tǒng)8、系統(tǒng)6.通過上面的討論可以看出，對于同樣數(shù)目，同樣性能的元件，由于系統(tǒng)的構(gòu)成情況不同，它的可靠性也不一樣。因此，在基本情況相同的情況下，我們總是尋求優(yōu)良的系統(tǒng)組成方式，從而使系統(tǒng)的可靠性更好一些。了解系統(tǒng)可靠性的一些結(jié)論，并把它運用到我們的生產(chǎn)實踐和生活實踐當中去，必將收到良好的效果。1.4大數(shù)定律在保險業(yè)的應(yīng)用1.4.1問題的提出重復(fù)試驗中事件的頻率的穩(wěn)定性，是大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的典型表型。人們在實踐中認識到頻率具有穩(wěn)定性，進而由頻率的穩(wěn)定性預(yù)見概率的存在；有頻率的性質(zhì)推斷概率的性質(zhì)，并在實際運用中用頻率的值來估計概率的值。其實，在大量隨機現(xiàn)象中，不但事件的頻率具有穩(wěn)定性，而且大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果一般也具有這種穩(wěn)定性；單個隨機地行為對大量隨機現(xiàn)象共同產(chǎn)生的總平均效果幾乎不發(fā)生影響。這就是說，盡管單個隨機現(xiàn)象的將具體實現(xiàn)不可避免地引起隨機偏差，然而在大量隨機現(xiàn)象共同作用時，由于這些隨機偏差互相抵消、補償和拉平，至于總的平均結(jié)果趨于穩(wěn)定。例如，在隨機地拋擲一枚均勻硬幣的實驗例子中，每一次實驗的結(jié)果可能是正面，也可能是反面，但當拋擲次數(shù)變得很大時，每一次拋擲的結(jié)果對總的發(fā)生頻率的影響就變得很小，于是正、反兩面出現(xiàn)的就趨于穩(wěn)定，其值圍繞著0.5做微小的波動；又如在分子物理學(xué)中，氣體對容器壁的壓力等于單位時間內(nèi)撞擊容器壁單位面積上的氣體分子的總影響。盡管每個氣體分子運動的速度、方向以及撞擊容器壁的件的發(fā)生，而此事件又與有些隨機事件有關(guān)，這些隨機事件的數(shù)目無限增多，而且每一個這樣的事件產(chǎn)生的影響又非常微小。2.4.2大數(shù)定理的定義設(shè)是相互獨立切具有公共分布的隨機變量序列。如果其期望存在，則對每個，當總有下面介紹大數(shù)定理的幾種常見形式。定理1（馬爾可父大數(shù)定理）設(shè)是隨機變量序列。若對所有，方差存在，而且，則對任意給定，有。推論一（切貝謝夫大數(shù)定理）設(shè){}是相互獨立的隨機變量序列。若存在常數(shù)C使，對所有則對任意給定有。特別的，若進一步假設(shè)有相同的數(shù)學(xué)期望EX時有。定理2在n重伯努利實驗中，事件A在每次試驗中出言的概率為p，，為n此試驗中出現(xiàn)A的次數(shù)，則。定理3設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差E（Xk）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,…).則隨機變量的分布函數(shù)Fn（x）對于任意x滿足根據(jù)上述中心極限定理，由事先約定的，則這樣，由事先給定的確定出參加某種風險保障的企業(yè)最小數(shù)目n.例如：當，則當約定時，一定有,也就是說當時，上述的結(jié)果成立。1.4.3保險動機的產(chǎn)生

現(xiàn)代保險業(yè)已經(jīng)是社會非常重要的一環(huán)，而大數(shù)定律就是這大廈最重要的基石之一，下面就看看大數(shù)定律是如何撐起這座保險業(yè)大廈的。

保險業(yè)是根據(jù)大數(shù)定律的法則，集中眾多企業(yè)或者個人的風險，建立抵御風險的社會機制。但是保險業(yè)的產(chǎn)生不僅僅是為了避險，當然也有利潤這只無形的手的驅(qū)使，有利潤才能保證保險業(yè)真正的發(fā)展下去，壯大起來。同時大數(shù)定律不僅僅用于計算保險公司避險需要的客戶數(shù)，也需要用來計算產(chǎn)生的利潤的合理范圍。為了抵御風險，保險公司需要大數(shù)目的客戶，那么這些企業(yè)或者個人是如何愿意自己交出保險費投保的呢？其實這也是企業(yè)或者個人為了自己的利益著想，不但是避險，也是一種投資，這就是保險業(yè)能夠產(chǎn)生發(fā)展的一個基礎(chǔ)。1.4.4應(yīng)用舉例例2.4.1某企業(yè)有資金單位，而接受保險的事件具有風險，當風險發(fā)生時遭受的經(jīng)濟損失為個單位，那么在理性預(yù)期的條件下，該企業(yè)只能投入的資金單位。假設(shè)企業(yè)投入資金與所得利潤之間的函數(shù)關(guān)系為，顯然有，當時為預(yù)期風險條件下利潤損失額。當時，企業(yè)就需要有避險的需求，且隨差額的增大而增大。這就是企業(yè)的避險需求，也是保險業(yè)產(chǎn)生的基礎(chǔ)。具有同種類風險，且風險的發(fā)生相互獨立的眾多企業(yè)，當風險發(fā)生的時候，需要一定的經(jīng)濟補償，以使損失最小或得以繼續(xù)某項生產(chǎn)活動，在這里看來，風險的發(fā)生，在整體上看是必然的，但從局部看，是隨機的，所以這種補償在風險沒有發(fā)生時是一種預(yù)期。假設(shè)這種隨機現(xiàn)象為，則的概率分布為：取值0概率上表中，P為風險發(fā)生的概率，為風險發(fā)生時企業(yè)的損失額。那么知道該事件的數(shù)學(xué)期望為。根據(jù)契貝曉夫大數(shù)定律，當有限時，，。，上述式子可以表述為：n個具有某種同類風險，且風險的發(fā)生是相互獨立的，當風險發(fā)生時預(yù)計得到補償?shù)钠骄蹬c其各自的期望值之差，可以像事先約定的那樣小，以致在企業(yè)生產(chǎn)過程中可以忽略不計。依據(jù)定理3和定理4，從兩個方面來看，從微觀上看，因為,則，由前面說的企業(yè)是看利潤遞增的原則，顯然有。此時企業(yè)產(chǎn)生參加社會保險的動機，也就是企業(yè)參加社會保險比自保更有利。從宏觀上看，如果有n個具有同類風險的企業(yè)存在且都實行自保，顯然在理性預(yù)期的條件下，為抵御風險而失去的利潤總額為。其中表示第i個企業(yè)的利潤函數(shù)（i=1,2,…..n）.而這n企業(yè)全部參加社會保險后，為了抵御風險而失去的利潤總額為。則由于參加社會保險而產(chǎn)生的社會總效益為：由于，i=1,2,……n.所以此效益隨著n的增大而增大。綜上所述，企業(yè)參加社會保險的動機便是在于參加社保比自保更加的有利，利潤的驅(qū)使，這也是企業(yè)參加保險的重要動機，因此保險業(yè)這個行業(yè)以存在和發(fā)展，也發(fā)展了眾多的保險公司。保險公司同樣也需要評估是否可保的問題，上面的敘述可以得知，可保的條件有：1、風險事故造成的損失應(yīng)當是可以估計的。2、有大量獨立的同質(zhì)風險單位存在，即是各風險單位遭遇風險事故造成損失的概率和損失規(guī)模大致相近，同時各風險單位要相互獨立，相互的發(fā)生不會產(chǎn)生影響。這些都是大數(shù)定律的基本要求。1.5中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用1.5.1什么是中心極限定理大數(shù)定律揭示了大量隨機變量的平均結(jié)果，但沒有涉及到隨機變量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨立隨機變量的平均數(shù)是以正態(tài)分布為極限的。中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。它提出，大量的獨立隨機變量之和具有近似于正態(tài)的分布。因此，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形(即正態(tài))曲線這一事實，因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使正態(tài)分布有了廣泛的應(yīng)用。例2.5.1水房擁擠問題：假設(shè)西安郵電學(xué)院新校區(qū)有學(xué)生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會特向后勤集團提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？解：（1）設(shè)同一時刻，5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X～B（5000，0.01）擁擠的概率是有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，故即擁擠的概率（2）欲求m，使得即由于即查表即需裝62個水龍頭。問題的變形：（3）至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m，使得即由即查表即m≥66.4故需要裝67個水龍頭。（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結(jié)果如何？解：（1）（2）同上。（5）若條件中的每個學(xué)生占用由1%提高到1.5%，其余的條件不變，則（1），（2）兩問題結(jié)果如何?解：(1)設(shè)同一時刻，5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，擁擠的概率達(2)欲求m，使得即由即查表即m≥89.14故需裝90個水龍頭。中心極限定理以嚴格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本的均值總是近似地服從正態(tài)分布。如果一個隨機變量能夠分解為獨立同分布的隨機變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決?？傊?，恰當?shù)厥褂弥行臉O限定理解決實際問題有著極其重要意義。1.6概率論在經(jīng)濟保險問題中的應(yīng)用在保險公司里有2500個同一年齡的人參加了人壽保險，在一年里死亡的概率為0.002，每個人一年付12元保險費，而在死亡的時候家屬可以領(lǐng)取由保險公司支付的2000元，問保險公司盈利的概率是多少，公司獲利不少于10000的概率是多少？這樣的問題咋一看很難知道保險公司是否盈利，但經(jīng)過概率統(tǒng)計的知識一計算就可以得知公司是幾乎必定盈利的A={2500*12-2000X<0}={X>15}由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的結(jié)果說明了為什么保險公司那樣樂于開展保險業(yè)務(wù)的原因.1.7概率論在中獎問題中的應(yīng)用社會福利彩票：有很多的福利彩票通常采用多少個數(shù)中選幾個的模式，我們以35選7為例說明這種彩票的中獎概率。例1.7.1一種稱為幸福35選7的福利彩票，即從中不重復(fù)地開出7個基本號碼和一個特殊