2020年北京海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試卷及參考答案

2020年北京市海淀區(qū)高三二模試卷2020.6本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若全集U=R，A={%I%<1}，B={%I%>—1}，則（A）AQB （B）BQA（C）BqCUA （D）\AqB（2）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+9?且為偶函數(shù)的是（A）y=%2 （B）y=1%-11（C）y=cos% （D）y=In%（3）若拋物線y2=12%的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在此拋物線上且橫坐標(biāo)為3，則IPFI等于（A）4 （B）6 （C）8 （D）10（4）已知三條不同的直線l,m,八和兩個(gè)不同的平面a，p，下列四個(gè)命題中正確的為（A（A）若m//a， n//a，則m//n（B）若l//m，mua，則l//a（C（C）若l//a，l//p，則a//p（D）若l//a，l±p，則a，p兀（A）-6（5）在4ABC中，若a=7，b=8，cosB=-1，則兀（A）-6（D（D）（B）-41/20

TOC\o"1-5"\h\z(6)將函數(shù)f(x)=sin(2x--)的圖象向左平移-個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則6 3g(x)=-- - 22 2-(A)sin(2x+—) (B)sin(2xH )6 3(C)cos2x (D)-cos2x(7)某三棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該三棱錐的體積為2 4(A)/20 (B/203 3(C)2 (D)4俯視圖(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(8)對(duì)于非零向量a,b，“(a+b)-a=俯視圖(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(9)如圖,正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面1111ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1cle的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若D1O1OP，則△D1clp面積的最大值為2.5 4v5(A)V (B)V(C)芯 (D)2<5(10)為了預(yù)防新型冠狀病毒的傳染，人員之間需要保持一米以上的安全距離某公司會(huì)議室共有四行四列座椅，并且相鄰兩個(gè)座椅之間的距離超過(guò)一米，為了保證更加安全，公司規(guī)定在此會(huì)議室開(kāi)會(huì)時(shí)，每一行、每一列均不能有連續(xù)三人就座.例如下圖中第一列所示情況不滿足條件(其中y”表示就座人員).根據(jù)該公司要求，該會(huì)議室最多可容納的就座人數(shù)為(A)9 (B)10 (C)11 (D)12第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)若復(fù)數(shù)(2-i)(a+i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.(12)已知雙曲線E的一條漸近線方程為y=%，且焦距大于4，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.(寫(xiě)出一個(gè)即可)(13)數(shù)列an中，4=2，a/]=2an,n￡N*.若其前k項(xiàng)和為126,則ijk=.(14)已知點(diǎn)A(2,0),B(1,2),C(2,2),IAPI=IAB—ACI,o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則IAPI=,OP與OA夾角的取值范圍是.ax+1,%<0,(15)已知函數(shù)f(x)=< 給出下列三個(gè)結(jié)論：IlnxI,x〉0.①當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1)；②若函數(shù)f(x)無(wú)最小值，則a的取值范圍為(0,+8)；③若a<1且aw0，則3beR，使得函數(shù)y二f(x)-b恰有3個(gè)零點(diǎn)午x2,x「且xxx=-1.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。(16)(本小題共14分)已知｛an｝是公差為d的無(wú)窮等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.又—，且S5=40，是否存在大于1的正整數(shù)k，使得sk=｛若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由.從①a廣4,②d=-2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。3/204/20(17)(本小題共14分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC//AD,ZADC=90。，BC=CD=1AD=1,E為線段AD的中點(diǎn).PE1底面ABCD，點(diǎn)F是棱PC的中點(diǎn)，平2面BEF與棱PD相交于點(diǎn)G.(I)求證：BE//FG；在(II)若PC與AB所成的角為:，求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.45/20(18)(本小題共14分)為了推進(jìn)分級(jí)診療，實(shí)現(xiàn)“基層首診、雙向轉(zhuǎn)診、急慢分治、上下聯(lián)動(dòng)”的診療模式，某地區(qū)自2016年起全面推行家庭醫(yī)生簽約服務(wù).已知該地區(qū)居民約為2000萬(wàn)，從1歲到101歲的居民年齡結(jié)構(gòu)的頻率分布直方圖如圖1所示.為了解各年齡段居民簽約家庭醫(yī)生的情況，現(xiàn)調(diào)查了1000名年滿18周歲的居民，各年齡段被訪者簽約率如圖2所示.(I)估計(jì)該地區(qū)年齡在71~80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)；(II)若以圖2中年齡在71~80歲居民簽約率作為此地區(qū)該年齡段每個(gè)居民簽約家庭醫(yī)生的概率，則從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機(jī)抽取兩人，求這兩人中恰有1人已簽約家庭醫(yī)生的概率；(III)據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)被訪者的簽約率約為44%.為把該地區(qū)年滿18周歲居民的簽約率提高到55%以上，應(yīng)著重提高圖2中哪個(gè)年齡段的簽約率？并結(jié)合數(shù)據(jù)對(duì)你的結(jié)論作出解釋.(19)(本小題共15分)已知橢圓W:反+2=1(a>b>0)過(guò)A(0,1),B(0,-1)兩點(diǎn)，離心率為上3.a2b2 2(I)求橢圓卬的方程；(II)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓W的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線l交直線y=2于點(diǎn)M，記直線BC,BM的斜率分別為k1,k2，求勺勺的值.6/207/20(20)(本小題共14分)已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx).(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(II)求證：曲線y= )在區(qū)間(0,2)上有且只有一條斜率為2的切線.(21)(本小題共14分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)任意的點(diǎn)P(x,j)，定義IIOP11=IxI+1jI.任取點(diǎn)A(x,j),B(x,j)，記4(x,j),B'(.x,j)，若此時(shí)IIOAII2+IIOBII2>IIOA'II2+IIOB'II2成立，則稱點(diǎn)A,B相關(guān).(I)分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說(shuō)明理由；①A(-2,1),B(3,2)； ②C(4,-3),D(2,4).(II)給定neN*,n>3，點(diǎn)集。={(x,j)I-n<x<n,-n<j<n,x,jeZ).(i)求集合。n中與點(diǎn)A(1,1相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(ii)若S=。，且對(duì)于任意的A,BeS,點(diǎn)A,B相關(guān)，求S中元素個(gè)數(shù)的最大值.8/20

2020北京海淀高三二模數(shù)學(xué)參考答案、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號(hào)12345678910答案DABDCCABCC、填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號(hào)1112131415答案_1三-竺=144—61,呻②③注：第12題答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)形如上-匕=1或匕-二=1（a2〉2）的方程即可;a2a2 a2a2第14題第一空3分，第二空2分；第15題全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。（16）（本小題共14分）解：選擇條件①，不存在正整數(shù)k（k〉1）,使得Sk=S1.解法1理由如下:5x4在等差數(shù)列｛%｝中，S5=5a「—d=54+10da=4,a=4,15a+10d=40得d=2.所以a.=a.+(n-1)d=4+2(n-1)=2++2.9/20

又因?yàn)镾-S=a>0,n+lnn+1所以數(shù)列｛S｝為遞增數(shù)列.即vk>1,都有s>s.〃 k1所以不存在正整數(shù)左（左〉1）,使得S=s.k1解法2理由如下:在等差數(shù)列｛a｝中,

nd=5a+10d

i/7=4所以由1 '5a+10J40得d—2.所以S+以?八4人型x2=Q+3K令S=5=4,艮口左2+3左一4=0.k1解得左二1或左=T.因?yàn)樽?gt;1,所以左=1與左=T均不符合要求所以不存在正整數(shù)人（左〉D,使得S=5.k1選擇條件②，存在正整數(shù)上二12,使得S=S.k1理由如下：在等差數(shù)列｛a｝中,

n5x4S=5a+ d—5a+IQd5i2 i又d——2，S=40.5所以由<d=-2,5、+10d=得a=12.40ix(—2)=—x(—2)=—左2+13左.所以S=ka+ki10/20令Sk=S1=12，即—k2+13k=12.整理得k2-13k+12=0.解得k=1或k=12.因?yàn)閗>1,所以k=12.所以當(dāng)k=12時(shí)，5女=S1.(17)(本小題共14分)(I)證明：因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以DE=1AD=1.2又因?yàn)锽C=1,所以DE=BC.在梯形ABCD中，DE//BC,所以四邊形BCDE為平行四邊形.所以BE//CD.又因?yàn)锽E5平面尸CD,且CDu平面PCD,所以BE//平面PCD.因?yàn)锽Eu平面BEF，平面BEFC平面PCD=FG,所以BE//FG.(II)解：(解法1)因?yàn)镻E±平面ABCD,<AE,BEu平面ABCD,所以PE±AE，且PE±BE.因?yàn)樗倪呅蜝CDE為平行四邊形，^ADC=90P,所以AE±BE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.貝UE(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),D(-1,0,0).設(shè)P(0,0,m)(m>0),所以CP=(1,-1,m),AB=(-1,1,0).11/20因?yàn)镻C與■所成角羽,所以cos<CP,AB>=CP.AB-242+m272兀41=cos—=——4 2則尸（。,。，揚(yáng)，尸（一生，多所以說(shuō)=(0,1,0),EF=(-1,1,y),而=(0』,—揚(yáng).設(shè)平面BEF的法向量為篦=（%，z）,nEF=0.y=0,1 1 <2 八—x+—V+ Z=0.I2 2- 2令x=電,則Z=l,所以篦=(J2,O,1).所以cos<所以cos<PB,n>=PBnV3xV3所以直線P5與平面BEF的所成角的正弦值為3.(II)(解法2)12/20連結(jié)EC,因?yàn)锳E//BC且AE=BC,所以四邊形ABCE為平行四邊形.所以AB//CE.因?yàn)镻C與AB所成角為烏，所以PC與CE所成角為3.4 4即/PCE=-.4因?yàn)镻E±平面ABCD,^CEu平面ABCD,所以PE±CE.又因?yàn)?EDC=-，所以平行四邊形BCDE是矩形.2所以在等腰直角三角形PEC中，pe=CE='；2.因?yàn)镻E±平面ABCD，^AE,BEu平面ABCD，所以PE±AE，且PE±BE.又因?yàn)锳E±BE，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz則E(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,v2)，C(-1,1,0)，F(xiàn)(--,-,22所以E=(0,1,0)，EF=(--,-，點(diǎn))，P=(0,1,-、2).222設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，貝Un-EB=0,1 *n-EF=0.y=0，13/20令x=*5，則z=1,所以n=(<2,0,1).所以cos<所以cos<PB,n>=林,n_一、、：2IPBIInI—<3x<3k2所以直線PB與平面BEF的所成角的正弦值為二.3(18)(本小題共14分)解：(I)由圖1可知，該地區(qū)居民中年齡在71?80歲的頻率為0.004x10=4%.由圖2可知，樣本中年齡在71?80歲居民家庭醫(yī)生的簽約率為70.0%,因?yàn)樵摰貐^(qū)居民人數(shù)約為2000萬(wàn)，所以該地區(qū)年齡在71?80歲，且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)約為2000x4%x70.0%=56(萬(wàn)人).(II)由題意，從該地區(qū)年齡在71?80歲居民中隨機(jī)抽取一人，其簽約家庭醫(yī)生的概率為7.10設(shè)A.表示事件“從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機(jī)抽取兩人，其中第i個(gè)人已簽約I家庭醫(yī)生”(i=1,2),… 7 7 3則「(A)=而,P(A)=1-m=而(i=1，2).設(shè)事件C為“從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機(jī)抽取兩人,這兩人中恰有1人已簽約家庭醫(yī)生”，則C=A】AUA?￥7 3 3721所以P(C)=P(A)P(AJ+尸(A)P(AJ=而0而+而0而=而所以這兩人中恰有1人已簽約家庭醫(yī)生的概率為21.(III)應(yīng)著重提高年齡在31?50歲居民的簽約率.理由如下:14/20

①依題意，該地區(qū)年滿18周歲居民簽約率從44%提高到55%以上，需至少提升11%；②年齡在31?50歲居民人數(shù)在該地區(qū)的占比約為：21%+16%=37%，占比大；③年齡在31~50歲居民的醫(yī)生簽約率較低，約為37.1%；④該地區(qū)年滿18周歲居民的人數(shù)在該地區(qū)的占比約為：1-(0.008+0.005x0.7)x10=0,885；所以，綜合以上因素，若該年齡段簽約率從37.1%提升至100%，可將該地區(qū)年滿18周歲居民簽約率提升37%x(1-37.1%)+0.885>37%x62.9%,23%，大于11%.(19)(本小題共15分)b=1,解：(I)由題意，￡_&解：(I)由題意，a2a2=b2+c2.解得a解得a=2,b=1.所以橢圓W的方程為?+尸二L(II)由題意，直線l不與坐標(biāo)軸垂直.設(shè)直線l的方程為：y=kx+1(k豐0).Iy=kx+1,由\ 得(4k2+1)x2+8kx=0.Ix2+4y2=4.設(shè)c(號(hào)y,,因?yàn)閤1"0,所以x1=e得y.1=kx+1=k +得y.11 4k2+1—8k4k2+115/20

又因?yàn)锽(0,-1),又因?yàn)锽(0,-1),所以k=

14k2+1-8kIy=kx+1,

"I2.得1%=k5

y=2.1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,2).kk所以2所以k所以k1-k2=1 3--3k=—-(20)(本小題共14分)解：(1)f'(%)=e%(sinx+cosx)+e%(cosx-sinx)TOC\o"1-5"\h\z- - —令f(x)>0,得2k兀 <x<2k-+—(keZ).^2 ^2一 — —所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2k---,2k-+-)(keZ).-(II)證明：要證曲線y=f(x)在區(qū)間(0,-)上有且只有一條斜率為2的切線，—即證方程f'(x)=2在區(qū)間(0,-)上有且只有一個(gè)解.令f'(x)=2e%cosx=2，得e%cosx=1.設(shè)g(x)=e%cosx-1,貝Ug'(x)=e%cosx-exsinx=-x：2exsin(x--).416/20冗 兀當(dāng)le(0,：)時(shí)，令g8)=0，得x=4.乙 I當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表:x(0,4)-4|a32|ag,(x)+0g(x)極大值所以g(X)在(0,4)上單調(diào)增，在(4,2)上單調(diào)減.因?yàn)間(0)=0,所以當(dāng)Xe(0,-］時(shí)，g(x)>0；4又g(合-1<0,所以當(dāng)xe(4,號(hào)時(shí)，g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)xe(0,-)時(shí)，g(x)=9COSx-1有且只有一個(gè)零點(diǎn).2即方程f(x)=2，xe(0,-)有且只有一個(gè)解.2所以曲線y=f(x)在區(qū)間(0,-)上有且只有一條斜率為2的切線.2(21)(本小題共14分)解：(1)①由題知A'(-2,2),B'(3,1)，進(jìn)而有IIOA1|2+1|OB1|2=(2+1)2+(3+2)2=34,IIOA'II2+IIOB'II2=(2+2)2+(3+1)2=32,所以IIOAII2+IIOBII2>IIOA'II2+IIOB'II2.所以A,B兩點(diǎn)相關(guān)；②由題知C'(4,4),D'(2,-3)，進(jìn)而有17/20IIOCI|2+IIOD1|2=(4+3)2+(2+4)2=85,IIOC'II2+IIOD'II2=(4+4)2+(2+3)2=89,所以IIOCII2+IIODII2<IIOC'II2+IIOD'II2,所以C,D兩點(diǎn)不相關(guān).(i)設(shè)4(1,1)的相關(guān)點(diǎn)為B(x,y),x,yeZ,-n<x<n,-n<y<n,由題意，4(1,y),B,(x,1).因?yàn)辄c(diǎn)A,B相關(guān)，則4+x2+y2+2IxIIyI>1+y2+2IyI+1+x2+2IxI.所以IxIIyI-1xI-1yI+1>0.所以(IxI-1)(IyI-1)>0.當(dāng)x=0時(shí),IyIe{0,1},則A(1,1)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共3個(gè)；當(dāng)IxI=1時(shí)，則A(1,1)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共4n+2個(gè)；當(dāng)IxI>2時(shí)，IyI>1，則A(1,1)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)共4n(n-1)個(gè).所以滿足條件點(diǎn)B共有4n(n-1)+4n+2+3=4n2+5(個(gè)).(ii)集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值為8n-1.S={(0,0),(0,±1),(±1,±1),???(±1,土n),(±2,土n),???,(土n,土n)}符合題意下證：集合S中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)8n