江陰二中、要塞中學等四校2020-2021學年高二上學期期中考試數學試題含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省江陰二中、要塞中學等四校2020-2021學年高二上學期期中考試數學試題含答案2020—2021學年第一學期高二期中考試數學學科試題一．選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.命題的否定是()A．B．C．D．2.現有這么一列數：1，,，，（），，，…，按照規(guī)律，（)中的數應為（）。A．B．C．D．3.設等比數列的前項和為，若，則（）A．B．C．D．4.設，則“”是“"的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D。既不充分也不必要條件5.設等差數列的前項和為，若，則等于()A．B．C．D．6.已知正數，滿足，則的最小值是().A．18B．16C．8D．107。過點且與有相同焦點的橢圓的方程是()A．B．C． D．8.《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明,也稱之為無字證明.現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設,,則該圖形可以完成的無字證明為（）A．B．C．D．二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9。設,則下列不等式中正確的是（)A．B。C。D.10。下列四個函數中,最小值為的是（)A．B．C．D．11.在公比為整數的等比數列中,是數列的前項，若，，則下列說法正確的是（）A． B．數列是等比數列C． D．數列是公差為2的等差數列12.等差數列是遞增數列，公差為,前項和為，滿足，下列選項正確的是（)A． B．C．當時最小 D．時的最小值為三．填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分13.設，則函數的最大值為______．若關于的不等式的解集為，則15.我國古代的天文學和數學著作《周碑算經》中記載:一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷（guǐ）長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣,其日影子長依次成等差數列,經記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺,則立冬的日影子長為________尺.16。若數列滿足，則稱數列為“調和數列"，已知正項數列為“調和數列”,且，則的最大值是________．四.解答題：本大題共6題,第17題10分，第18—22題每題12分，共70分）17。已知，若是的充分條件，求實數的取值范圍．18.在等差數列中,已知．(1)求數列的通項公式；(2)若________，求數列的前項和．在①，②這兩個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19.已知函數．(1）解關于的不等式；(2）當時，不等式在上恒成立,求實數的取值范圍．20。橢圓的左焦點為,右焦點為，焦距為，過的直線交橢圓于兩點,且的周長為8.(1)求橢圓的方程;(2）若軸,求的面積．21。如圖所示，為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，要求，的長度大于米，且比長米，為了穩(wěn)固廣告牌,要求越短越好，設，(1）求關于的表達式；（2）當為何值時,最短并求最短值.22。設數列的前項和為,已知,，(1）證明：為等比數列,求出的通項公式（2)若，求的前項和(3)在(2）的條件下判斷是否存在正整數使得成立?若存在,求出所有值；若不存在說明理由.

2020—2021學年第一學期高二期中考試數學學科答案一．選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B2、D3、C4、A5、B6、A7、C8、D二．選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分,部分選對的得3分.9、ABC10、AD11.ABC12、BD三．填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分13、eq\f（9，2)14、115、16、100.四。解答題：本大題共6題，第17題10分,第18-22題每題12分,共70分)17。（10分）已知p：A＝{x｜x2－2x－3≤0}，q：B＝{x｜｜x－m｜〉3｝，若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．解：由題意得A＝{x|－1≤x≤3}，(2分）B＝｛x|x<m－3或x〉m＋3｝（4分）因為p是q的充分條件,所以A?B,(6分）所以m－3〉3或m＋3〈－1，解得m>6或m<－4，（9分）即實數m的取值范圍是(－∞，－4)∪（6,＋∞)．(10分）18.（12分）在等差數列中，已知．(1)求數列的通項公式；(2)若________，求數列的前n項和．在①，②這兩個條件中任選一個補充在第（2)問中，并對其求解．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】(1）由題意得，，解得．(3分）∴．(5分）(2）選條件①:∵,（8分）∴.（12分)選條件②：∵，，∴，（7分）當n為偶數時，；(9分）當n為奇數時,n－1為偶數，．（11分）∴。(12分）19、（12分）已知函數f(x）＝x2－(c＋1）x＋c（c∈R）．(1)解關于x的不等式f（x)<0；（2)當時,不等式在上恒成立,求實數的取值范圍．【解析】(1)∵f(x）<0∴x2－(c＋1）x＋c＝(x－1）(x－c)<0,（2分）①當c<1時，c<x〈1，（3分）②當c＝1時，（x－1)2〈0,∴x∈?,（4分）③當c>1時,1<x<c,（5分）綜上,當c〈1時,不等式的解集為｛eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（x））c<x〈1},當c＝1時,不等式的解集為?,當c>1時,不等式的解集為｛eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1（x））1<x〈c｝．(6分)（2）當c＝－2時，化為對一切x∈(0,2)恒成立,(8分）設(9分)（11分）(12分）20、（12分）橢圓E：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0）的左焦點為F1，右焦點為F2，焦距為2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.(1）求橢圓E的方程；(2)若AB⊥x軸,求△ABF2的面積．解：(1）由題意知,4a＝8,所以a＝2，（3分）由焦距為2，所以c＝1,所以b2＝22－1＝3，（5分）所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，3）＝1。(6分）（2）設直線AB的方程為x＝—1，由eq\f(x2，4)＋eq\f（y2,3)＝1，x＝-1，得y2＝,解得y1＝，y2＝—，（10分）所以S△ABF2＝c·|y1－y2｜＝3(12分）21、(12分)如圖所示，為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，設BC＝x(x＞1），AC＝t(t＞0)，（1）求t關于x的表達式；(2）當BC為何值時,AC最短并求最短值.解:（1)由題意得AB＝AC－0。5＝t－0。5,(2分）在△ABC中,由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°,即（t－0.5）2＝t2＋x2－tx,（4分)化簡并整理得t＝eq\f(x2－0。25,x－1）（x＞1)，(6分）(2）t＝x－1＋eq\f（0。75，x－1)＋2≥2＋eq\r(3）（10分）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（當且僅當x＝1＋\f（\r(3）,2)時，等號成立)）,（11分）此時t取最小值2＋eq\r(3).答：當BC=米時，AC最短，最短值2＋eq\r（3)米。（12分）22.（12分)設數列的前n項和為,已知,，（1)證明：為等比數列,求出的通項公式(2)若，求的前n項和(3）在（2)的條件下判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.【答案】(1)∵∴,因為，所以可推出．故,即為等比