機器學習計算方法數(shù)值積分

計算方法26.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分36.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分一個實際問題——波紋瓦材料長度建筑上用地一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整地鋁板壓制而成地.1.f(x)地原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋地高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板地長度L.這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定地曲線,從x=0到x=48英寸（1英尺=12英寸）間地弧長L.由微積分學我們知道,所求地弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分。What’stheOriginalfunction?!It’ssoplexthatwecannotgetit.類似地,下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示地原函數(shù):2.有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示,但表達式相當復雜,計算極不方便.例如函數(shù):并不復雜,但它地原函數(shù)卻十分復雜:3.f(x)沒有解析表達式,只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來計算積分有它地局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需求積分地數(shù)值方法來幫忙啦。關于積分,有Newton-Leibniz公式(3)f(x)表達式未知,只有通過測量或實驗得來地數(shù)據(jù)表但是在許多實際計算問題中(2)F(x)難求！甚至有時不能用初等函數(shù)表示。如(1)F(x)表達式較復雜時,計算較困難。如積分中值定理若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]內存在一點,使下式成立若函數(shù)f與g在[a,b]上連續(xù),且g在[a,b]上不變號,則至少存在一點ξ屬于[a,b],使下式成立11126.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.2.1插值型求積公式與代數(shù)精度13數(shù)值積分公式地一般形式求積節(jié)點求積系數(shù)機械求積方法將定積分計算轉化成被積函數(shù)地函數(shù)值地計算無需求原函數(shù)易于計算機實現(xiàn)一般地,用f(x)在[a,b]上地一些離散點

ax0<x1<···<xnb上地函數(shù)值地加權平均作為f()地近似值,可得插值型求積公式設求積節(jié)點為:ax0<x1<···<xnb若f(xi)已知,則可做n次多項式插值:令:(6.2.3)稱為插值型數(shù)值積分公式。則其中:(6.2.2)(6.2.1)插值型求積公式則即(6.2.4)其中誤差:代數(shù)精度定義:如果對于所有次數(shù)不超過m地多項式f(x),公式精確成立,但對某個次數(shù)為m+1地多項式不精確成立,則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精確成立;但對f(x)=xm+1不精確成立。即:(k=0,1,…,m)代數(shù)精度地驗證方法例題例:試確定Ai,使得下面地求積公式具有盡可能高地代數(shù)精度解:將f(x)＝1,x,x2,…,xn代入求積公式,使其精確成立,得……存在唯一解:所以求積公式為:具有至少n階代數(shù)精度舉例例:試確定系數(shù)A,B,C使得下面地求積公式具有盡可能高地代數(shù)精度,并求出此求積公式地代數(shù)精度。解:將f(x)＝1,x,x2代入求積公式,使其精確成立,可得解得A=h/3,B=4h/3,C=h/3。所以求積公式為易驗證該公式對f(x)＝x3也精確成立,但對f(x)＝x4不精確成立,所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。20插值型求積公式性質:插值型求積公式具有至少n次代數(shù)精度定理6.1:形如下式地n+1點求積公式,其代數(shù)精度至少為n地充要條件是,它是插值型地。代數(shù)精度21證明設形如（6.2.3）式地n+1個點求積公式是插值型地。當f(x)是次數(shù)不超過n地多項式時,由（6.2.4）式得Rn[f]=0,即求積公式（6.2.3）得到地是定積分地精確值。所以,其代數(shù)精確度至少是n。反之,若（6.2.3）式地代數(shù)精確度至少是n,則它對n次插值基函數(shù)li(x)是精確成立地,即代數(shù)精度定理6.1形如（6.2.3）式地n+1個點求積公式,其代數(shù)精確度至少為n地充分必要條件是,它是插值型地。22證明（續(xù)）注意到li(xk)=δik,有這就是（6.2.2）式,即相應地求積公式是插值型地6.2.2牛頓-柯特斯求積公式236.2.2牛頓-柯特斯求積公式當求積節(jié)點取為等距節(jié)點xk=a+kh(k=0,1,…,n;h=(b-a)/n)時,記x=a+th,則得求積系數(shù)(6.2.5)在(6.2.5)中,令n=1代入(6.2.3)中,得到(6.2.6)1梯形求積公式余項1梯形求積公式(6.2.6)(6.2.7)在(6.2.5)中,令n=22拋物線求積公式-Simpson公式余項公式(6.2.8)(6.2.10)2拋物線求積公式-Simpson公式例題給定積分分別用梯形求積公式與拋物線求積公式計算。求積公式3Cotes求積公式余項公式(6.2.11)(6.2.12)在(6.2.5)中,令n=4牛頓-柯特斯公式基于等分點地插值型求積公式積分區(qū)間:[a,b]求積節(jié)點:xk=a+kh求積公式:Cotes系數(shù)牛頓-柯特斯公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式代數(shù)精度=3n=2:拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=5Cotes系數(shù)表Cotes系數(shù)與被積函數(shù)f(x)與積分區(qū)間[a,b]無關Cotes系數(shù)可通過查表獲得34牛頓-柯特斯公式Cotes系數(shù)具有以下特點:(1)(2)(3)當n8時,出現(xiàn)負數(shù),穩(wěn)定性得不到保證。而且當n較大時,由于Runge現(xiàn)象,收斂性也無法保證。當n7時,Newton-Cotes公式是穩(wěn)定地一般不采用高階地牛頓-科特斯求積公式356.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.3.1復合求積公式366.3.1復合求積公式數(shù)值積分公式與多項式插值有很大地關系,因此存在著龍格（Runge）現(xiàn)象使得我們不能用太多地積分點計算。采用分段,低階地方法復合梯形公式記余項(6.3.1)(6.3.2)(6.3.3)(6.3.4)復合拋物線公式記余項6.3.2分半加速算法40分半加速算法在使用復合求積公式時,我們通常將步長h逐次分半利用低次復合求積公式地結果來計算高一次復合求積公式地值龍貝格算法(6.3.5)復合梯形求積公式可表示為其中:步長為h′=h/2=(b-a)/(2m)龍貝格算法(6.3.9)復合拋物線求積公式可表示為其中:步長為龍貝格算法(6.3.11)復合柯特斯求積公式可表示為龍貝格算法(6.3.12)龍貝格(Romberg)公式龍貝格算法計算過程龍貝格算法例6.1用龍貝格算法計算地近似值解將積分區(qū)間[0,1]依次分為1,2,4,8等份,按龍貝格算法當計算到Q2(8)=3.14159時,誤差接近于0,即可停止計算486.1引入6.2牛頓-柯特斯求積公式6.3復合公式與龍貝格求積公式6.4高斯型求積公式第六章數(shù)值積分6.4.1高斯型求積公式49高斯型求積公式求積公式（6.2.3）最高地代數(shù)精確度是多少?對任意給定地n+1點求積公式,都可以找到一個2n+2次多項式,使得求積公式對該多項式地積分是不精確地通過適當選擇插值節(jié)點與求積系數(shù),可使求積公式（6.2.3）地代數(shù)精確度達到2n+1,這是求積公式（6.2.3）可能具有地最高地代數(shù)精確度高斯型求積公式例6.2考慮計算區(qū)間[-1,1]上地積分地兩點（n=1地情形）求積公式求積公式地代數(shù)精確度不超過2n+1=3例6.2將求積節(jié)點與求積系數(shù)作為4個待定參數(shù),依次取被積函數(shù)為,代入求積公式,得可解出例6.2得到求積公式可解出高斯型求積公式

6.4.2正交多項式55正交多項式定義6.2設為i次多項式。若多項式序列滿足

則稱為區(qū)間[a,b]上帶權函數(shù)地正交多項式(6.4.2)正交多項式定理6.2n+1個節(jié)點是求積公式(6.4.3)地Gauss點地充分必要條件是n+1次多項式與所有次數(shù)≤n地多項式正交,即有

(6.4.4)6.4.3高斯-勒讓德求積公式58高斯-勒讓德求積公式正交多項式地零點均為互異實數(shù),且均屬于[a,b]構造Gauss求積公式(6.4.3)可先求Gauss點,即正交多項式gn+1(x)地零點再利用求積公式是插值型地,求出求積系數(shù)高斯-勒讓德求積公式例6.2可先求Gauss點x0,x1由此得方程組例6.2解之便得到Gauss節(jié)點由此易得求積系