工程流體水力學(xué)第六章習(xí)題答案

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第六章量綱分析和相像原理答案

6-1由試驗觀測得知，如圖6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q與堰上水頭H、重力加速度g、堰口角度θ以及反映水舌收縮和堰口阻力狀況等的流量系數(shù)m0（量綱一的量）有關(guān)。試用π定理導(dǎo)出三角形堰的流量公式。

解：f?Q,H,g,?,m0??0選幾何學(xué)的量H，運動學(xué)的量g作為相互獨立的物理量，有3個π項。

ababa?π1?HgQ，p2=Hgq，π3=Hgm0

112233對?1，其量綱公式為

LTM=L1(LT)1LT

L:0??1??1?3，T:0??2?1?1

000a-2b3-1解出?1??π1=52Q，?1??512，則可得

gH0002對π2，其量綱公式為

LTM=L2(LTa-2)b2

L:0??2??2，T:0??2?2

聯(lián)立解上述方程組，可得?2?0,?2?0,?2?0，則可得

π2=q

對π3，其量綱公式為

LTM=L3(LT)000a-2b3

L:0??3??3，T:0??2?3

聯(lián)立解上述方程組，可得?3?0,?3?0,?3?0，則可得

π3=m0

F(π1,π2,π3)=0

即

F(Q5,q,m0)=0或

5Q5=F1(q,m0)

gH2gH22Q?F1(?,m0)gH

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式中，?要視堰口的實際角度而定，量綱一的量m0要由試驗來確定。第十章三角形薄壁堰的理論分析解Q=4526-2根據(jù)觀測、試驗與理論分析，認(rèn)為總流邊界單位面積上的切應(yīng)力τ0，與流體的密度ρ、動力粘度μ、斷面平均流速v，斷面特性幾何尺寸（例如管徑d、水力半徑R）及壁面粗

?糙凸出高度Δ有關(guān)。試用瑞利法求τ0的表示式；若令沿程阻力系數(shù)??8f(Re,)，可得

d?2?0??v。

8m0tanq52gh2與上式形狀一致。

解：τ0=krmvdD-1-2a1a2a3a4a5

-1-1?2將上式寫成量綱方程形式后得

dim?0?MLT=(ML)1(MLT)?3?(LT?1?3)(L)?4(L)?5

根據(jù)量綱和諧原理可得：

M:1??1??2

L:T:?1??3?1??2??3??4??5?2???2??3

選?3、?5為參變量，聯(lián)立解上述方程組可得：?1??3?1，?2?2??3，?4??2??3??5。

將上面求得的指數(shù)代入指數(shù)乘積形式的關(guān)系式可得：

??12????2??????0?k??vd?

333355?????，又因v????0?k???d??5?3?vv22??3,故

?5?v22??3Re?vd???????若令??8f(Re,)，代入上式可得

d?2?0??v

86-3試用π定理求習(xí)題6-2中的τ0表示式。

????k???d??v22??3?f(Re,?d2)?v

解：f(?0,?,?,v,d,?)?0

選取d、v、ρ為基本物理量，因此有三個π項

???π1?dv??0

111π2?dπ3?d??2?3v?2???

??2v3?3?

?1先求π1，其量綱式為

dimπ1?L1(LT)1(ML)1(MLT??3?-1?2)

L:0??1??1?3?1?1

T:M:0???1?20??1?1

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解上述方程組可得：?1??2,?1??1,?1?0，所以有π1?再求π2，其量綱式為

dimπ2?(L)?2?1?0?v2

(LT)?2(ML)2(MLT)

?3?-1-1L:T:M:0??2??2?3?2?10???2?10??2?1

解上述方程組可得：?2??1，?2??1，?2??1，所以有d?v再求π3，其量綱式為

dimπ3?L3(LT?π2????vd??1Re?3

?1)3(ML)3L

?L:T:0??3??3?3?3?10???3

M:0??3?d解上述方程組可得：?3?0，?3?0，?3??1，所以有

π3?

由此可得量綱一的量所表達(dá)的關(guān)系式為

?1?F(02,,)?0?vRed或

?0?v2?f(Re,?d?d)，或t0=f(Re,Dd)rv

2若令??8f(Re,)，則可得

?0??8?v

26-4文丘里管喉道處的流速v2與文丘里管進(jìn)口斷面管徑d1、喉道直徑d2、流體密度ρ、動力粘度μ及兩斷面間壓差Δp有關(guān)，試用π定理求文丘里管通過流量Q的表達(dá)式。

題6-4圖

解：f(v2,d1,d2,?,?,?p)?0選取d2，v2，ρ三個基本物理量，有三個π項。

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π1?d?2v?2?1122?1d12π2?d?2v?2???π3?d?2v?2???p

333先求π1：

L:0??1??1?3?1?1

T:M:0???10??1d1d2解上述方程組可得：?1?0，?1?0，?1??1，所以有

?1?

再求π2：

L:T:M:0??2??2?3?2?10???2?10??2?1

解上述方程組可得：?2??1，?2??1，?2??1，所以有

π2??v2d2???v2d2?1Re

再求π3：

L:T:M:0??3??3?3?3?10???3?20??3?1

解上述方程組可得：?3??1，?3??2，?3?0，所以有

π3??p?v2,2

由此可得

F(d11d2Rerv22,Dp2)=0

或

?v2?p?f(d2d1,Re)

v2??2?p1?2gd2d12?pf(d2d1,Re)

?g?(d2d1,Re)

=?(,Re)2gH

Q?v2A2??4d2?(2d2d1,Re)2gH上式與用伯努利方程推導(dǎo)的結(jié)果基本一致，上式中的?(57

d2d1,Re)，可由試驗及理論分析

進(jìn)一步確定。

6-5根據(jù)對圓形孔口恒定出流（如下圖）的分析，影響孔口出口流速的因素有：孔口的作用水頭H（由孔口中心到恒定自由液面處的水深）、孔口的直徑d、液體的密度ρ、動力粘度μ、重力加速度g及表面張力系數(shù)σ。試用π定理求圓形孔口恒定出流流量表示式。

解：f(v,H,?,d,g,?,?)?0

選取H，v，ρ三個基本物理量，有四個π項。

π11?H?v?1??1d

π22?22?H?v??g

π?33?Hv?3???3π?44?Hv?4??4?

先求π1：

L:0??1??1?3?1?1

T:0???1M:0??1

解上述方程組可得：?1??1，?1?0，?1?0

πd1?H

再求π2，

L:0??2??2?3?2?1T:0???2?2M:0??2

解上述方程組可得：?2?1,?2??2,?2?0

πg(shù)H2?v2

再求π3，

L:0??3??3?3?3?1T:0???3?1M:0??3?1

解上述方程組可得：?3??1,?3??1,?3??1

π?3?Hv???Hv

再求π4，

L:0??4??4?3?4T:0???4?2M:0??4?1

解上述方程組可得：?4??1,?4??2,?4??1

π4??Hv2?

由此可得

F(dH,gH?v2,Hv,?Hv2?)?0

或

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vHv2gH2

?f(HdHvHv?,,)

2??上式中的

?及

Hv??分別為雷諾數(shù)及韋伯?dāng)?shù)的形式，所以可以寫成

Hd,Re,We)2gHv??(因流量Q?vA，所以

Q=f(Hd,Re,We)πd422gH假使令m=f(Hd,Re,We)為孔口流量系數(shù)，則可得Q??π4d22gHHd由上式可知，Q與2gH成比例，且流量系數(shù)與、雷諾數(shù)Re、韋伯?dāng)?shù)We有關(guān)，為深入

研究找到了途徑。

6-6圓球在實際流體中作勻速直線運動所受阻力FD與流體的密度ρ、動力粘度μ、圓球與流體的相對速度u0、圓球的直徑d有關(guān)。試用π定理求阻力FD的表示式。

解：f(FD,?,?,u0,d)?0選取d、u0、ρ為基本物理量，有二個π項。

???π1?du0?FD

111π2?d2u0?2?

??2?先求π1

L:0??1??1?3?1?1

T:M:0???1?20??1?1

解上述方程組可得：?1??2,?1??2,?1??1，所以有

π1?FDdu?220

再求π2，

L:T:M:0??2??2?3?2?10???2?10??2?1

解上述方程組得：?2??1,?2??1,?2??1，

π2??du0???du0?1Re

由此可得F(2201，)?022du0?Reπd2FD或FD?du?f?(Re)?f(Re)?u0222令圓球在u0方向的投影面積A?4π4

d，而令繞流阻力系數(shù)CD?f(Re)，則有

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FD?CDA?u022

上式中的繞流阻力系數(shù)CD與雷諾數(shù)Re有關(guān)，可以對此作進(jìn)一步的研究。

6-7用20℃的水作模型試驗，確定管徑為1.2m煤氣管的壓強損失。煤氣的密度ρ為40kg/m3，動力粘度μ為0.0002Pa?s，流速v為25m/s。試驗室供水能力是0.075m3/s。問模型該用多大比尺？試驗結(jié)果如何轉(zhuǎn)換成原型的壓強損失？

解：可考慮按雷諾準(zhǔn)則設(shè)計模型，λl=λQλn。

流量比尺λQ，因受供水能力限制，需小于或等于0.075m3/s，所以應(yīng)為

λQ=QpQm=npnm25創(chuàng)π(1.2)24′0.075=376.99

粘度比尺λn=煤氣的?p??l?，20℃水的?m?1.003?10?6m2/s0.000240m/s?5?10m/s，所以????75.62

2?62?p?p?Q???5?10?6?61.003?10?4.985

?376.994.985所以，可選取模型長度比尺?l?75.62。注：也可按自模區(qū)設(shè)計模型，在滿足幾何相像的條件下，選取模型尺寸，使其在現(xiàn)有供水狀況下進(jìn)入阻力平方區(qū)。

試驗結(jié)果轉(zhuǎn)換成原型的壓強損失為

?????pm?pg?pp?????gm?l?26-8有一管徑dp=15cm的輸油管，管長lp＝5m，管中通過的原油流量Qp＝0.18m3/s。現(xiàn)

用水來作模型試驗，設(shè)模型與原型管徑一致，且兩者流體溫度皆為10℃（水的運動粘度νm=0.0131cm2/s，油的運動粘度vm=0.13cm2/s），試求模型中的通過流量Qm。

Qp0.18解：原型中的流速vp?m/s?m/s=10.1912Ap0.78?50.15原型中的雷諾數(shù)Rep?vpdp?p=10.191?0.150.13?10-4=117588>10

5

已進(jìn)入自模區(qū)，只要使模型中的雷諾數(shù)Rem≥105，且原型和模型幾何相像即可。則Rem?vm≥

vmdm?m5≥105，

?410?0.0131?100.15?0.873m/s

2Qm=vmAm=0.783?0.785?0.15m/s=0.0154m/s

6-9在習(xí)題6-8狀況下，測得模型輸水管長lm＝5m的兩端壓強水頭差hm=試求原型輸油管長lp＝100m兩端的壓差高度（以油柱高度表示）是多少？

解：研究壓差問題，須滿足歐拉準(zhǔn)則，即

DppDpm=22rpvprmvm60

?pm?mg=3cm。

因dp=dm，所以

?pp?vpvm22m=QpQm

2?pmQp?pg?mgQ?0.03?0.180.0.1542m?4.10m(油柱)

原型輸油管長lp＝100m的兩端壓強差為

?pp100??4.10?20m?82m(油柱)?pg56-10有一直徑dp＝20cm的輸油管，輸送運動粘度νp=40×10-6m2/s的油，其流量Qp=0.01m3/s。若在模型試驗中采用直徑dm＝5cm的圓管，試求：（1）模型中用20℃的水

-62-62

（νm=1.003×10m/s）作試驗時的流量；（2）模型中用運動粘度νm=17×10m/s的空氣作試驗時的流量。

解：按雷諾準(zhǔn)則設(shè)計模型試驗，

?Q????l，λn=npnm，λl=?lplm

?6（1）Qm?（2）Qm?Qp?Q?Qp???l??Qp?mlm0.01?1.003?1040?10?6?6?5?plp40?10?6?20m/s?6.27?10m/s

?333?53Qp?mlm0.01?17?10?5?plp?20m/s?1.06?10m/s

36-11一長為3m的模型船以2m/s的速度在淡水中拖曳時，測得阻力為50N，試求：（1）若原型船長45m，以多大速度行駛才能與模型船動力相像；（2）當(dāng)原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行時，所需要的拖曳力（海水密度為淡水的1.025倍）。該滾動雷諾數(shù)很大，不需考慮粘滯力相像，僅考慮重力相像。

解：按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計模型試驗。

（1）vp=vmλv=vmλ1/2l驏45÷=2??÷??桫3÷1/2m/s7.75m/s

（2）?F?FpFm?MpapMmam1/2?1/2?plp?3vptpvmtm3??plpvptm?lvmtp3mm3

?mlm33?F????l?l?l3????l

3l?45?拖曳力Fp??FFm????Fm?1.025????50N?172.97kN

?3?6-12建筑物模型在風(fēng)速為10m/s時，迎風(fēng)面壓強為50N/m2，背風(fēng)面壓強為－30N/m2。若氣溫不變，風(fēng)速增至15m/s時，試求建筑物迎風(fēng)面與背風(fēng)面壓強（可用歐拉準(zhǔn)則）。

解：按歐拉準(zhǔn)則計算pppm=22rpvprmvm由于溫度不變rp=rm，所以

pp=pmvm2vp

261

迎風(fēng)面壓強pp1驏15÷2=50??N/m÷??桫10÷222112.5N/m

?15?22背風(fēng)面壓強pp??30??N/m??67.5N/m?2?10?6-13水庫以長度比尺λl=100做底孔放空模型試驗，在模型上測得的放空時間tm＝12小時，試求原型上放空水庫所需時間tp