第十五章 平面幾何組成分析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第十五章平面幾何組成分析第十五章平面體系的幾何組成分析

知識目標(biāo)

●把握平面桿件體系幾何組成分析的相關(guān)概念能力目標(biāo)

●能熟練把握組成幾何不變體系的三個基本規(guī)則

第一節(jié)本章內(nèi)容提要

一、基本概念

（一）幾何不變體系、幾何可變體系、常變體系、瞬變體系的概念

幾何不變體系：在不考慮桿件應(yīng)變的假定下，在任意荷載作用下，體系的位置和形狀是不會改變的體系。

幾何可變體系：在不考慮桿件應(yīng)變的假定下，在任意荷載作用下，體系的位置和形狀是可以改變的體系。

常變體系：假使一個幾何可變體系可以發(fā)生大位移，則稱為常變體系。瞬變體系：本來是幾何可變，經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系，稱為瞬變體系。

（二）剛片、自由度的概念

剛片：在幾何組成分析中，不考慮桿件應(yīng)變，可以將每一根桿件或體系中幾何形狀和尺寸不會改變的部分可視為剛體，剛體在平面體系中稱為剛片。

自由度：是指體系運動時所具有的獨立運動方式的數(shù)目，也就是體系運動時可以獨立變化的幾何參數(shù)數(shù)目，或者說是確定體系幾何位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)目。

（1）一個點在平面上有兩個自由度。（2）一個剛片在平面上有三個自由度。

（3）平面結(jié)構(gòu)的自由度必需小于或等于零（W?0）。（三）約束

用于限制體系運動的裝置稱為約束，減少一個自由度的裝置稱為一個約束。根據(jù)約束是否減少體系的實際自由度，可以將約束區(qū)分為必要約束和多余約束。

必要約束：影響體系實際自由度數(shù)目增減的約束稱為必要約束。必要約束具有布置合理的特點，用以組成幾何不變體系的最少約束都是必要約束。多余約束：不改變體系實際自由度的約束稱為多余約束。

一根鏈桿相當(dāng)于一個約束；一個簡單鉸相當(dāng)于兩個約束；聯(lián)結(jié)n個剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于(n-1)個簡單鉸，相當(dāng)于2(n-1)個約束；剛性聯(lián)結(jié)或固定端約束相當(dāng)于三鏈桿，即三個約束。

瞬鉸（或虛鉸）：用兩根鏈桿連接兩個剛片時，這兩根鏈桿的約束作用相當(dāng)于一個單鉸，該鉸的位置在兩桿的交點，稱這種鉸為瞬鉸或虛鉸。兩根平行的鏈桿所起的約束作用相當(dāng)于無限遠(yuǎn)處的瞬鉸。（四）二元體

二元體是指由兩根不在同一直線上的鏈桿連接一個新結(jié)點的裝置。二、平面桿件體系的計算自由度W（一）自由度的計算方法

1、取剛片為對象，結(jié)點和鏈桿為約束。

W=3×剛片總數(shù)-（3×單剛結(jié)點個數(shù)+2×單鉸結(jié)點個數(shù)+單鏈桿數(shù)）2、對鉸接鏈桿體系，取鉸結(jié)點為對象，鏈桿為約束。W=2×鉸接點數(shù)-單鏈桿數(shù)（二）由計算自由度得出的結(jié)論

1、若W>0，則體系缺乏足夠的約束，幾何可變。

2、若W=0，則體系具有保證體系幾何不變的最少約束數(shù)，假使布置得當(dāng)，沒有多余約束，體系將幾何不變；假使布置不當(dāng)，具有多余約束，體系幾何可變。3、若W0，則體系為幾何可變；若W≤0，應(yīng)進(jìn)一步對體系進(jìn)行幾何組成分析，此時W≤0是幾何不變體系的必要條件。（二）靈活地選擇基本剛片

剛片可大可小，可以是一根桿、大地或一個三角形，也可以是體系中具有幾何不變的部分。小剛片通過幾何不變體系的組成規(guī)則，形成新的大剛片?；緞偲倪x取應(yīng)考慮到剛片之間的連接方式和幾何不變體系的形成規(guī)則，當(dāng)一種分析途徑不能得到結(jié)果時，需重新選擇剛片。幾何組成分析的關(guān)鍵問題在于是否恰當(dāng)?shù)剡x擇了基本剛片。（三）從幾何不變單元開始

對體系進(jìn)行幾何組成分析時，首先找出一個或幾個幾何不變的單元，再逐步組裝擴(kuò)大成整體：

1、從地基開始。先從地基開始組成第一個（或幾個）幾何不變單元，再按組成規(guī)則組成整體。當(dāng)體系與地基之間的約束多于三個，多從地基出發(fā)進(jìn)行組裝。2、從內(nèi)部開始。先從體系內(nèi)部的一個（或幾個）幾何不變單元開始，將它們看作基本剛片，再利用組成規(guī)則組成整體。（四）靈活運用

1、利用二元體進(jìn)行簡化。對能用二元體分析的結(jié)構(gòu)，有時可以用一個基本剛片（如基礎(chǔ)或三角形）出發(fā)，依次增加二元體，形成擴(kuò)大的剛片，再選擇適當(dāng)?shù)囊?guī)律分析；有時也可以先去掉二元體，使體系簡化，再用其他規(guī)則分析。2、若某體系用不交于一點的三根鏈桿與基礎(chǔ)相連，則可以只分析該體系本身，但當(dāng)體系與基礎(chǔ)之間的鏈桿多于三根時，就需要把基礎(chǔ)看成剛片來進(jìn)行分析。（五）等效變換

對于不能直接利用規(guī)則進(jìn)行分析的體系，可先作等效變換，即把體系中某個內(nèi)部無多余約束的幾何不變部分用另一個無多余約束的幾何不變部分替換，并按

原狀況保持與其余部分的聯(lián)系，然后再作分析。繁雜形狀（曲線或折線形）的兩端為鉸的剛片可等效成直鏈桿；連接兩剛片的兩根鏈桿可用其交點處的瞬鉸來代替。

（六）三點說明

1、不是所有體系都可以用幾何不變體系的組成規(guī)則來分析和判斷，幾何不變體系的組成規(guī)則一般用于分析常見的體系。當(dāng)體系不能用基本組成規(guī)則分析時，可采用其他分析方法如零載法等。

2、作幾何組成分析時，體系中的每一部分或每一約束都不可遺漏或重復(fù)使用。3、三個規(guī)則中的“鉸〞，可以是實鉸，也可以是瞬鉸。

其次節(jié)本章題解

例15.1計算圖15.1所示幾何體系的自由度。

例15.1圖

解：剛片總數(shù)如下圖為5個，單剛結(jié)點數(shù)為0，單鉸接點數(shù)為4，單鏈桿數(shù)為6，由自由度計算公式：

W=3×剛片總數(shù)-（3×單剛結(jié)點個數(shù)＋2×單鉸結(jié)點個數(shù)＋單鏈桿數(shù)）=3×5-（3×0＋2×4＋6）=1

說明體系具有一個自由度，為幾何可變體系。

例15.2計算圖15.2所示幾何體系的自由度。

例15.2圖

解：圖示體系為鉸接鏈桿體系，如下圖，鉸接點數(shù)為5，單鏈桿數(shù)為11，由自由度計算公式：W=2×鉸接點數(shù)-單鏈桿數(shù)=2×5-11=-1，具有1個多余約束。

例15.3計算圖15.3所示幾何體系的自由度。

例15.3圖

解：如圖15.3所示，AG、GH、DE、HE、BE、EF、FC可以分別看作剛片，體系的剛片數(shù)為7，單剛結(jié)點數(shù)為0，7個剛片之間全部為鉸接，除E點為相當(dāng)于3個單鉸的復(fù)鉸外，其余D、F、G、H都是單鉸，三個固定鉸支座，相當(dāng)于6根鏈桿，由公式W=3×剛片總數(shù)-（3×單剛結(jié)點個數(shù)＋2×單鉸結(jié)點個數(shù)＋單鏈桿數(shù)）得：

W=3×7-（3