泛函分析第3章 連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

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第3章連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

本章將介紹賦范線性空間上，特別是Banach空間上的有界限性算子與有界限性泛函的基本理論，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鳴定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他們是泛函分析早期最光彩的成果，有廣泛的實(shí)際背景，特別在各種物理系統(tǒng)研究中應(yīng)用十分廣泛。

3.1連續(xù)線性算子與有界限性算子

在線性代數(shù)中，我們?cè)龅竭^把一個(gè)n維向量空間En映射到另一個(gè)m維向量空間Em的運(yùn)算，就是借助于m行n列的矩陣

?a11a12?a1n??a?a?a21222n?A?????????aa?amn??m1m2對(duì)En中的向量起作用來達(dá)到的。同樣，在數(shù)學(xué)分析中，我們也遇到過一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)或者一個(gè)數(shù)的運(yùn)算，即微分和積分的運(yùn)算等。把上述的所有運(yùn)算

抽象化后，我們就得到一般賦范線性空間中的算子概念。撇開各類算子的具體屬性，我們可以將它們分成兩類：一類是線性算子；一類是非線性算子。本章介紹有界限性算子的基本知識(shí)，非線性算子的有關(guān)知識(shí)留在第5章介紹。

[定義3.1]由賦范線性空間X中的某子集D到賦范線性空間Y中的映射T稱為算子，D稱為算子T的定義域，記為D?T?，為稱像集yy?Tx,x?D?T?為算子的值域，記作T?D?或TD。

若算子T滿足：（1）T?x?y??Tx?Ty（2）T(?x)??Tx????x,y?D?T??????F,x?D?T??

稱T為線性算子。對(duì)線性算子，我們自然要求T?D?是X的子空間。特別地，假使T是由X到實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）域F的映射時(shí)，那么稱算子T為泛函。

例3.1設(shè)X是賦范線性空間，?是一給定的數(shù)，映射T:x??x是X上的線性算子，稱為相像算子；當(dāng)??1時(shí)，稱T為單位算子或者恒等算子，記作I。

例3.2?x?C?a,b?，定義Tx?t???x???d?

at由積分的線性知，T是C?a,b?到C?a,b?空間中的線性算子。若令

f?x???x???d?ab??x?C?a,b??

應(yīng)用泛函分析(其次版)

則f是C?a,b?上的線性泛函。

[定義3.2]設(shè)X,Y是兩個(gè)賦范線性空間，稱T在x點(diǎn)T:X?X是線性算子，連續(xù)的，是指若?xn??X,xn?x，則Txn?Tx?n???；若T在X上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱T在X上連續(xù)；稱T是有界的，是指T將X中的有界集映成Y中有界集。

[定理3.1]設(shè)X,Y是賦范線性空間，T是X的子空間D到Y(jié)中的線性算子，若T在某一點(diǎn)x0?D?T?連續(xù)，則T在D?T?上連續(xù)。

證明：對(duì)?x?D?T?，設(shè)?xn??D?T?，且xn?x?n???，于是

xn?x?x0?x0?n???，由假設(shè)T在x0點(diǎn)連續(xù)，所以當(dāng)n??時(shí)，有

T?xn?x?x0??Txn?Tx?Tx0?Tx0

因此，Txn?Tx，即T在x點(diǎn)連續(xù)。由x的任意性可知，T在D?T?上連續(xù)。定理3.1說明線性算子若在一點(diǎn)連續(xù)，可推出其在定義的空間上連續(xù)。特別地，線性算子的連續(xù)性可由零元的連續(xù)性來刻畫，即線性算子T連續(xù)等價(jià)于若，則Txn??（Y中零元）。xn??（X中零元）

例3.3若T是n維賦范線性空間X到賦范線性空間Y中的線性算子，則T在

X上連續(xù)。

證明：在X中取一組基?e1,e2,?,en?，設(shè)

xm??x?jm?ej?Xj?1n?m?1,2,3,??

且xm???m???，即xm?0?m???，則

??m??x??j??0?j?1?n??122?m???

m從而x?j??0?j?1,2,3,?n??m???。于是

nnTxm??xj?1?m?jTej?maxxj1?j?n?m??Tej?1j?0?m???

因此，Txm???m???，即T在x??處連續(xù)，進(jìn)而T在X上每點(diǎn)連續(xù)。

[定理3.2]設(shè)X,Y是賦范線性空間，T是X的子空間D到Y(jié)中的線性映射，

第三章連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

則T有界的充分必要條件是：存在常數(shù)M?0，使不等式成立，即

Tx?Mx??x?D??T證明：必要性。因T有界，所以T將D中的閉單位球B1????xx?1映成

??Y中的有界集，即像集TB1???是Y中的有界集。記M?sup?Tx:x?B1????，此

時(shí)，對(duì)每個(gè)

x?D?T?,x??,x?B1???，由Mx的定義有

?x?T??x???M????????（3.1）??即Tx?Mx，而當(dāng)x??時(shí)，不等式（3.1）變成等式。故?x?D?T?有Tx?Mx充分性。設(shè)A是D?T?的任一有界集，則存在常數(shù)M1使x?M1??x?A?。由Tx?Mxx?D?T?知

??Ty?My?MM1?y?A?

故TA有界。證畢。

[定理3.3]設(shè)X,Y是兩個(gè)賦范線性空間，T是從X的子空間D到Y(jié)中的線性映射，則T是連續(xù)的充要條件是T是有界的。

證明：充分性。設(shè)T有界，則存在常數(shù)M?0，使對(duì)一切

x?D?T?,T?x，從而對(duì)Mxxn?x?n???,?x?n??D?T?有

Txn?Tx?T?xn?x??Mxn?x?0即Txn?Tx?n???。所以，T是連續(xù)的。

?n???

必要性。若T連續(xù)但T是無界的，那么對(duì)每個(gè)n?N，必存在xn?D?T?，使Txn?nxn，令yn?xn1，那么yn??0?n???，即yn??，由T的連

nnxnnxnTxn??1，引出矛盾，續(xù)性，Tyn???n???，但是另一方面，Tyn?nxnnxn故T有界。

定理3.3說明，對(duì)于線性算子，連續(xù)性與有界性是兩個(gè)等價(jià)概念，今后用

應(yīng)用泛函分析(其次版)

L?X,Y?表示X到Y(jié)的有界限性算子組成的集合。

例3.1，例3.2的線性算子均易證明是有界限性算子，但無界限性算子是存在的。

例3.4考察定義在區(qū)間?0,1?上的連續(xù)可微函數(shù)全體，記作C1?0,1?，其中范數(shù)定義為x?maxx?t?，不難證明，微分算子

0?t?1d是把C1?0,1?映入C?0,1?中的線dt性算子。

取函數(shù)列?sinn?t?，顯然，sinn?t?1，但

dsinn?t?n?cosn?t?n????n???dt因此，微分算子是無界的。

[定義3.3]設(shè)X,Y是賦范線性空間，T是從X到Y(jié)的有界限性算子，對(duì)一切x?X，滿足Tx?Mx的正數(shù)M的下確界，稱為算子T的范數(shù)，記作T。

由定義可知，對(duì)一切x?X，都有Tx?Tx。

[定理3.4]設(shè)X,Y是賦范線性空間，T是從X到Y(jié)的有界限性算子，則有

T?supTx?supTx?supx?1x?Xx?1x?Xx??x?XTxx證明：由Tx?Tx，易得

T?supTx??????????????（3.2）

x?1x?X根據(jù)T的定義，對(duì)于任給的??0，存在非零x0?X，使

Tx0??T???x0

??令x0x0???T???，因此，則有Tx0x0?T????supTx?supTx

x?1x?Xx?1x?X令??0得T?supTx?supTx????????（3.3）

x?1x?Xx?1x?X第三章連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

由式（3.2）和式（3.3），便得

T?supTx?supTx

x?1x?Xx?1x?X而T?supx??x?XTx，由定義易知。x1例3.5在L?a,b?上定義算子T如下

?Tf??x???f?t?dt,ax??f?L?a,b??

11（1）把T視為L?a,b?到C?a,b?的算子，求T；1（2）把T視為L?a,b?到L1?a,b?的算子，求T。

解：算子T的線性是顯然的，下面分別求T。

1（1）設(shè)T：L?a,b??C?a,b?，任取f?L1?a,b?，由于Tf?C?a,b?，從而

Tf?maxf?T??a?x?b?x?ma?xa?x?abx?f?xtdtba?max?f?t?dt??f?t?dt?f

a?x?ba故T是有界的，并且T?1。另一方面，取f0?t??1,t??a,b?，并且b?af0??f0?t?dt??ab1dt?1ab?ab于是

T?supTf?Tf0?max?f?1a?x?bb11dt??dt?1ab