湖大版大學(xué)物理第17章

本文格式為Word版，下載可任意編輯——湖大版大學(xué)物理第17章第十七章電磁場

P204．

17．1一條銅棒處和棒垂直的軸OO`直向上的勻強(qiáng)磁場棒兩端A、B的電勢[解答]設(shè)想一個半度為ω，經(jīng)過時間dt

O`AL/5O圖17.1ωBB長為L=0.5m，水平放置，可繞距離A端為L/5在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動一周．銅棒置于豎中，如下圖，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10-4T．求銅差，何端電勢高．

徑為R的金屬棒繞一端做勻速圓周運動，角速后轉(zhuǎn)過的角度為

dθ=ωdt，

掃過的面積為Lω2

dS=Rdθ/2，ldθ切割的磁通量為oRdΦ=BdS=BR2dθ/2，

動生電動勢的大小為ε=dΦ/dt=ωBR2/2．

根據(jù)右手螺旋法則，圓周上端點的電勢高．

AO和BO段的動生電動勢大小分別為

?AO??BL，()?255022?BL2?BO16?BL2．?()?2550?B4L由于BO>AO，所以B端的電勢比A端更高，A和B端的電勢差為

???BO??AO3?BL2?103?BL23?2??1.0?10?4(0.5)2??1010=4.71×10-4(V)．

[探討]假使棒上兩點到o的距離分別為L和l，則兩點間的電勢差為

???B(L?l)22

??Bl22??B(L2?2Ll)2．

17．2一長直載流導(dǎo)線電流強(qiáng)度為I，銅棒AB長為L，A端與直導(dǎo)線的距離為xA，AB與直導(dǎo)線的夾角為θ，以水平速度v向右運動．求AB棒的

IxAA動生電動勢為多少，何端電勢高？

lθ[解答]在棒上長為l處取一線元dl，在垂直于速度方向上的

vrdl長度為

dl⊥=dlcosθ；

o圖17.2

Bx線元到直線之間的距離為

r=xA+lsinθ，

直線電流在線元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B??0I?0I．?2?r2?(xA?lsin?)由于B，v和dl⊥相互垂直，線元上動生電動勢的大小為

d??Bvdl??棒的動生電動勢為

?0Ivcos?dl，

2?(xA?lsin?)?Ivcos???02?dl?x?lsin?0AL?0Ivcos?Ld(xA?lsin?)??2?sin?0xA?lsin???0I?Lsin?，cot?lnA2?xAA端的電勢高．

[探討]（1）當(dāng)θ→π/2時，cotθ=cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是說：當(dāng)棒不切割磁力線時，棒中不產(chǎn)生電動勢．

（2）當(dāng)θ→0時，由于

lnxA?Lsin?Lsin?Lsin??IvL?ln(1?)?，所以??0，這就是棒垂直割磁力線時所

xAxAxA2?xA產(chǎn)生電動勢．

17．3如下圖，平行導(dǎo)軌上放置一金屬桿AB，質(zhì)量為m，長為L．在導(dǎo)軌上的端接有電阻R．勻強(qiáng)磁場B垂直導(dǎo)軌平面向里．當(dāng)AB桿以

A初速度v0向運B動時，求：

（1）AB桿能夠移動的距離；v0R（2）在移動過程中電阻R上放出的焦耳熱為多少？[分析]當(dāng)桿運動時會產(chǎn)生動生電動勢，在電路中形成B電流；這時桿又變成通電導(dǎo)體，所受的安培力與速度方向相圖17.3反，所以桿將做減速運動．隨著桿的速度變小，動生電動勢也會變小，因而電流也會變小，所受的安培力也會變小，所以桿做加速度不斷減小的減速運動，最終緩慢地停下來．

[解答]（1）方法一：速度法．設(shè)桿運動時間t時的速度為v，則動生電動勢為

ε=BLv，

電流為I=ε/R，所受的安培力的大小為

F=ILB=εLB/R=(BL)2v/R，

方向與速度方向相反．

取速度的方向為正，根據(jù)牛頓其次定律F=ma得速度的微分方程為

(BL)2vdv??m，

Rdtdv(BL)2即：??dt

vmR積分得方程的通解為

(BL)2lnv??t?C1．

mR根據(jù)初始條件，當(dāng)t=0時，v=v0，可得常量C1=lnv0．方程的特解為

(BL)2v?v0exp[?t]．

mR由于v=dx/dt，可得位移的微分方程

(BL)2dx?v0exp[?t]dt，

mR方程的通解為

(BL)2x?v0?exp[?t]dt

mR?mRv0(BL)2?exp[?t]?C2，(BL)2mR當(dāng)t=0時，x=0，所以常量為C2?方程的特解為

mRv0．(BL)2mRv0(BL)2x?{1?exp[?t]}．

(BL)2mR當(dāng)時間t趨于無窮大時，桿運動的距離為x?方法二：沖量法．由F=-(BL)2v/R，得

mRv0．(BL)2(BL)2?dx?Fdt，

R右邊積分得

?Fdt?0?mvt0，

即：桿所受的沖量等于桿的動量的變化量．

左邊積分后，可得x?mv0R．(BL)2（2）桿在移動過程中產(chǎn)生的焦耳熱元為

?2(BLv)2dQ?IRdt?dt?dt

RR2(BLv0)22(BL)2?exp[?t]dt

RmR整個運動過程中產(chǎn)生的焦耳熱為

(BLv0)22(BL)2Q?exp[?t]dt?RmR02?mv02(BL)2?exp[?t]2mR?2mv0，?2?0即：焦耳熱是桿的動能轉(zhuǎn)化而來的．

17．4如下圖，質(zhì)量為m、長度為L的金屬棒AB從靜止開始沿傾斜的絕緣框架滑下．磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向豎直向上（忽略棒AB與框架之間的摩擦），求棒AB的動生電動勢．若棒AB沿光滑的金屬框架滑下，設(shè)金屬棒與金屬框組成的回路的電阻R為常量，棒AB的動生電動勢又為多少？

[解答]（1）棒的加速度為

BAa=gsinθ，

經(jīng)過時間t，棒的速D度為v=at=(gsinθ)t，B而切割磁力線的速度為v⊥=vcosθ，θ所以棒的動生電動C勢為

圖17.4ε=BLv⊥=BLg(sinθcosθ)t=BLg(sin2θ)t/2．

（2）設(shè)棒運動時間t時的速度為v，則動生電動勢為ε=BLvcosθ，電流為I=ε/R，所受的安培力的大小為

F=ILB=εLB/R=(BL)2vcosθ/R，

其方向水平向右．安培力沿著斜面向上的分量為植F`=Fcosθ，其方向與速度的方向相反．

取速度的方向為正，根據(jù)牛頓其次定律ΣF=ma得速度的微分方程為

(BLcos?)2vdvmgsin???m，

Rdt即dt?mRdv，

mgRsin??(BLcos?)2v方程可化為

?mRd[mgRsin??(BLcos?)2v]．dt?22(BLcos?)mgRsin??(BLcos?)v積分得方程的通解為

t??mRln[mgRsin??(BLcos?)2v]?C．2(BLcos?)根據(jù)初始條件，當(dāng)t=0時，v=0，可得常量

C?mRln(mgRsin?)，

(BLcos?)2方程的特解為

?mR[mgRsin??(BLcos?)2v]，t?ln2(BLcos?)mgRsin?棒的速度為

mgRsin?(BLcos?)2v?{1?exp[?t]}，

(BLcos?)2mR動生電動勢為

??BLvcos?

mgR(BLcos?)2?tan?{1?exp[?t]}．BLmR[探討]當(dāng)時間t趨于無窮大時，最終速度為v?mgRsin?，2(BLcos?)mgRtan?，BLmg最終電流為I?tan?．

BL最終電動勢為??另外，棒最終做勻速運動，重力做功的功率等于感生電流做功的功率，重力做功的功率為P=mgsinθv，感生電流做功的功率為

(BLvcos?)2，P?IR??RR2?2兩式聯(lián)立也可得v?mgRsin?，2(BLcos?)由此可以求出最終電動勢和電流．

[注意]只有當(dāng)物體做勻速運動時，重力所做的功才等于電流所做的功，否則，重力還有一部分功轉(zhuǎn)換成物體的動能．

17．5電磁渦流制動器是一個電導(dǎo)率為ζ，厚度為t的圓盤，此盤繞通過其中心的垂直軸旋轉(zhuǎn)，且有一覆蓋小面積為a2的均勻磁場B垂直于圓盤，小面積

B離軸r（r>>a）．當(dāng)圓盤角速度為ω時，試證此圓盤受到一阻礙其轉(zhuǎn)ωarat動的磁力矩，其大小近似地表達(dá)為M≈B2a2r2ωζt．

[解答]電導(dǎo)率是電阻率的倒數(shù)ζ=1/ρ．不妨將圓盤與磁場相對

圖17.5

的部分當(dāng)成長、寬和高分別為a、a和t的小導(dǎo)體，其橫截面積為S=at，

電流將從橫截面中流過，長度為a，因此其電阻為

R??l1．?S?t寬為a的邊掃過磁場中，速度大小為v=rω，

產(chǎn)生的感生電動勢為ε=Bav=Barω，

圓盤其他部分的電阻遠(yuǎn)小于小導(dǎo)體的電阻，因此通過小導(dǎo)體的電流強(qiáng)度為

I=ε/R=Barωζt，

所受的安培力為

F=IaB=B2a2rωζt，

其方向與速度方向相反．產(chǎn)生的磁力矩為

M=Fr=B2a2r2ωζt．

其方向與角速度的方向相反．

17．6如圖，有一彎成θ角的金屬架COD放在磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于金屬架COD所在平面，一導(dǎo)體桿MN垂直于OD邊，并在金屬架上以恒定速度v向右滑動，v與MN垂直，設(shè)t=0時，x=0，求以下兩情形，框架內(nèi)的感應(yīng)電動勢εi．

（1）磁場分布均勻，且B不隨時間改變；（2）非均勻的交變磁場B=Kxcosωt．[解答]（1）經(jīng)過時間t，導(dǎo)體桿前進(jìn)的距離為

MCx=vt，B桿的有效長度為l=xtanθ=v(tanθ)t，

v動生電動勢為θεi=Blv=Bv2(tanθ)t．

O（2）導(dǎo)體桿掃過的三角形的面積為NDx222

S=xl/2=xtanθ/2=vttanθ/2，圖17.6

通過該面的磁通量為

aaSIt

kx3tan?kv3tan?3??BS?cos?t?tcos?t

22感應(yīng)電動勢為

?i??d?dtkv3tan?2??(3tcos?t??t3sin?t)，

2kv3tan?2即：?i?t(?tsin?t?3cos?t)．

2BrxIoR

17．7如下圖的回路，磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直于回路平面向里，磁通量圖17.8按下述規(guī)律變化Φ=3t2+2t+1，式中Φ的單位為毫韋伯，t的單位為秒．求：

（1）在t=2s時回路中的感生電動勢為多少？（2）電阻上的電流方向如何？

B[解答]（1）將磁通量的單位化為韋伯得

Φ=(3t2+2t+1)/103，

感生電動勢大小為

ε=|dΦ/dt|=2(3t+1)/103．

Rt=2s時的感生電動勢為1.4×10-2(V)．

圖17.7（2）由于原磁場在增加，根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流所產(chǎn)生的

磁場的方向與原磁場的方向相反，所以在線圈中感生電流的方向是逆時針的，從電阻的左邊流向右邊．

17．8如下圖的兩個同軸圓形導(dǎo)體線圈，小線圈在大線圈上面．兩線圈的距離為x，設(shè)x遠(yuǎn)大于圓半徑R．大線圈中通有電流I時，若半徑為r的小線圈中的磁場可看作是均勻的，且以速率v=dx/dt運動．求x=NR時，小線圈中的感應(yīng)電動勢為多少？感應(yīng)電流的方向如何？

[解答]環(huán)電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B??0IR22(x?R)223/2，

當(dāng)x>>R時，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B??0IR22x3．

小線圈的面積為S=πr2，通過的磁通量為

??BS???0IR2r22x3，

當(dāng)小線圈運動時，感應(yīng)電動勢為

d?3??0IR2r2v，????4dt2x當(dāng)x=NR時，感應(yīng)電動勢為

3??0Ir2v．??422NR感應(yīng)電流的磁場與原磁場的方向一致，感應(yīng)電流的方向與原電流的環(huán)繞方向一致．

17．9如下圖，勻強(qiáng)磁場B與矩形導(dǎo)線回路的法線n成θ=60°角，B=kt（k為大于零的常數(shù)）．長為L的導(dǎo)體桿AB以勻速v向右平動，求回路中t時刻的感應(yīng)電動勢的大小和方向（設(shè)t=0時，x=0）．

nBA[解答]經(jīng)過時間t，導(dǎo)體桿運動的距離為

θLvD圖17.9

Bx=vt，

掃過的面積為S=Lx=Lvt，通過此面積的磁通量為Φ=B·S=BScosθ=Lvkt2/2．感應(yīng)電動勢的大小為

ε=dΦ/dt=Lvkt．

由于回路中磁通量在增加，而感應(yīng)電流的磁通量阻礙原磁通量增加，其磁場與原磁場的方向相反，所以感應(yīng)電動勢的方向是順時針的．

17．10長為b，寬為a的矩形線圈ABCD與無限長直截流導(dǎo)線共面，且線圈的長邊平行于長直導(dǎo)線，線圈以速度v向右平動，t時刻基AD邊距離長直導(dǎo)線為x；且長直導(dǎo)線中的電流按I=I0cosωt規(guī)律隨時間變化，如下圖．求回路中的電動勢ε．

[解答]電流I在r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為AB?IBB?0，

dr2?rrvb穿過面積元dS=bdr的磁通量為

x穿過矩形線圈

Da圖17.10

Cd??BdS?ABCD的磁通量為

?0Ibdr，2?r?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()，?2?xr2?x回路中的電動勢為

???d?dt???0bx?adI11dx[ln()?I(?)]2?xdtx?axdt??0I0bx?aavcos?t[?ln()sin?t?]．2?xx(x?a)顯然，第一項為哪一項由于磁場變化產(chǎn)生的感生電動勢，其次項是由于線圈運動產(chǎn)生的動生電動勢．*

17．11如圖，一個矩形的金屬線框，邊長分別為a和b（b足夠長）．金屬線框的質(zhì)量為m，自感系數(shù)為L，忽略電阻．線框的長邊與x軸平行，它以速度v0沿x軸的方向從磁場外進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的均勻磁場中，B0的方向垂直矩yB0形線框平面．求矩形線框在磁場中速度與時間的關(guān)系式

bv0v=v(t)和沿x軸方向移動的距離與時間的關(guān)系式x=ax(t)．

[解答]由于b邊很長，所以線框只有右邊在做切割磁力線的運ox動．當(dāng)線框速度為v時，產(chǎn)生的動生電動勢為ε=B0av．

圖17.11

當(dāng)線框中的電流為i時，產(chǎn)生的自感電動勢的大小為?L?L根據(jù)歐姆定律得ε+εL=iR，由于不計電阻，所以有

di．dtB0av?Ldi?0．①dt右邊所受的力為F=iaB0，根據(jù)牛頓其次定律得

iaB0?mdv，dtdid2v微分得aB0?m2，②

dtdt聯(lián)立①和②式得微分方程

d2v(aB0)2?v?0，dt2mL這是簡諧振動的微分方程，其通解為

v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt．

當(dāng)t=0時，v=v0，所以A=v0．加速度

at=dv/dt

?aB0mL(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt)，

當(dāng)t=0時，at=0，所以B=0．

速度方程為

v?v0cosaB0t．mL由于v=dx/dt，所以x?vdt?v0cos??aB0mLttd?v0aB0mLsint?C．a(chǎn)B0mL當(dāng)t=0時，x=0，所以C=0，所以位移方程為

x?v0

aB0mLsint．a(chǎn)B0mL17．12如下圖的圓面積內(nèi)，勻強(qiáng)磁場B的方向垂直于圓面積向里，圓半徑R=12cm，dB/dt=10-2T·s-1．求圖中a、b、c三點的渦旋電場為多少（b為圓心）？設(shè)ab=10cm，bc=15cm．a(chǎn)B[解答]（1）當(dāng)點在磁場之中時，以b為圓心，以r為半徑作

rRb一圓形環(huán)中，其周長為

C=2πr，

面積為S=πr2．

rc取環(huán)路的逆時針方向為正，根據(jù)右手螺旋法則，面積的法向方向

圖7.12垂直紙面向外。

根據(jù)安培環(huán)路定理

??Ek?dl???L?B?dS，S?t由于磁場增加，其變化率的方向與磁場方向一致，而感應(yīng)電流的磁場與磁場增加的方向的方向相反，即垂直紙面向里，根據(jù)右手螺旋法則，渦旋電場的方向與環(huán)路方向一致，所以左邊等于

蜒?ELk?dl??LEkdl?Ek?dl?Ek2?r．

L而磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向與面積的法向方向相反，所以右邊等于

???BdBdB2?dS?dS??r．S?tdt?SdtrdB．2dt因此渦旋電場為Ek?對于a點，由于r=0.1m，所以

Ek=0.1×0.01/2=5×10-4(V·m-1)．對于b點，由于r=0，所以Ek=0．

（2）當(dāng)點在磁場之外時，以b為圓心，以r為半徑作一圓形環(huán)路．根據(jù)安培環(huán)路定理

??ELk?dl????B?dS，S?t左邊的積分依舊為Ek2πr．由于半徑R之外的磁感應(yīng)強(qiáng)度及其變化率為零，所以右邊的大小為πR2dB/dt，因此渦旋電場為

R2dB．Ek?2rdt對于c點，由于r=0.15m，R=0.12m，所以Ek=(0.12)2×0.01/2×0.15=4.8×10-4(V·m-1）．17．13兩個共軸的導(dǎo)體圓筒稱為電纜，其內(nèi)、外半徑分別為r1和r2，

r2設(shè)電流由內(nèi)筒流入，外筒流出，求長為l的一段電纜的自感系數(shù)（提醒：or1按定義L=NΦ/I，此題中NΦ是圖中陰影部分面積的磁通量）．

[解答]在內(nèi)外半徑之l間，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=IIμ0I/2πr，

圖17.13

其中r是場點到軸線之間的距離，B的方向是以軸線為中心的同心圓．

在r處取一長為l的面積元dS=ldr，通過面積元的磁通量為dΦ=BdS，總磁通量為

r2???r1?0I?Ilrldr?0ln2，2?r2?r1?0lr2ln．2?r1電纜的自感系數(shù)為

L??I?[探討]電纜單位長度的自感系數(shù)為

L0?L?0r2?ln．l2?r1圈，半徑分別為R和r，匝數(shù)分別為N1和N2，半徑很小，小線圈處的磁場近似地可視為均勻，以電流I1，N1匝線圈形成的環(huán)電流在軸線上產(chǎn)

17．14兩個共軸圓線兩者相距L．設(shè)小線圈的求兩線圈的互感系數(shù)．

[解答]設(shè)大線圈中通生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

BrLoR圖17.14

I1B??0N1I1R22(L?R)223/2，

小線圈的面積為S=πr2，

大線圈通過一匝小線圈的磁通量為

??BS???0N1I1R2r22(L?R)223/2，

在小線圈中產(chǎn)生的全磁通為

?21?N2????0N1N2I1R2r22(L2?R2)3/2，

互感系數(shù)為

M??21I1???0N1N2R2r22(L?R)223/2．

[探討]當(dāng)兩線圈相距很遠(yuǎn)時，L>>R，互感系數(shù)約為

M???0N1N2r22R．

17．15兩個共軸的長直螺線管長為L，半徑分別為R1和R2，設(shè)R2>R1；匝數(shù)分別為N1和N2．求兩螺線管的互感系數(shù)．

[解答]設(shè)大螺線管中通以電流I2，在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=μ0n2I2=μ0N2I2/L．

小螺線管的面積為S=πR12，

大螺線圈通過一匝小螺線管的磁通量為

Φ=BS=πμ0N2I2R12/L，

在小線圈中產(chǎn)生的全磁通為

Φ12=N1Φ=πμ0N1N2I2R12/L，

互感系數(shù)為

M=Φ12/I2=πμ0N1N2R12/L．

17．16一圓形線圈C1由50匝表面絕緣的細(xì)導(dǎo)線密繞而成，圓面積S=2cm2，將C1放在一個半徑R=20cm的大圓線圈C2的中心，兩線圈共軸，C2線圈為100匝．求：

（1）兩線圈的互感M；（2）C2線圈中的電流以50A·s-1的速率減少時，C1中的感應(yīng)電動勢

I2C2為多少？

[解答](1)設(shè)大線圈中通以電流I2，N2匝線圈形成的環(huán)電流在圓心產(chǎn)C1生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=μ0N2I2/2R，

圖17.16

小線圈中的全磁通為

Φ12=N1BS=μ0N1N2I2S/2R，互感系數(shù)為

M=Φ12/I2=μ0N1N2S/2R=4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)．(2)C1中的感應(yīng)電動勢的大小為ε=MdI2/dt=10-6π×50=5×10-5π(V)．

17．17長直導(dǎo)線與矩形單匝線圈共面放置，導(dǎo)線與線圈的長邊平行，

a矩形線圈的邊長分別為a、b，它到直導(dǎo)線的距離為c（如圖），當(dāng)矩形線圈

中通有電流I=I0sinωt時，求直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢．

Ib通以穩(wěn)恒電流I，[解答]假使在直導(dǎo)線中在距離為r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)c度為

B=μ0I/2πr．

在矩形線圈中取一面

圖17.17

積元dS=bdr，通過線圈的磁通量為

a?c???BdS?S?c?0Ibdr?0Iba?c，?ln2?r2?c互感系數(shù)為M??I??0ba?c．ln2?c當(dāng)線圈中通以交變電流I=I0sinωt時，直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢大小為

??MdI?0ba?c?(ln)I0?cos?t．dt2?c

17．18在長圓柱形的紙筒上繞有兩個線圈1和2，每個線圈的自感都是0.01H，如圖所

示．求：

（1）線圈1的a端和線圈2的a`端相接時，b和b`之間的自感L為多少？（2）線圈1的b端和線圈2的a`端相接時，a和b`之

aa間的自感L為多少？

[解答]（1）當(dāng)線圈1的a端和線圈2的a`端相接時，在b和b`之間通以電流I，兩個線圈產(chǎn)生的磁場方向相反，由于兩個線圈是一致的，總磁場B=0，所以磁場能量為零，

bb`自感L也為零．圖17.18

（2）當(dāng)線圈1的b端和線圈2的a`端相接時，在a和b`之間通以電流I，兩個線圈產(chǎn)生的磁場方向一致，由于兩個線圈是一致的，總磁場為B=B1+B2=2B1，磁場的能量為

B12B21Wm??dV?4?dV?4L1I2．

2?2?2VV自感系數(shù)為

L?2Wm?4L1=0.04(H)．2I

17．19兩個線圈的自感分別為L1和L2，，它們之間的互感為M．將兩個線圈順串聯(lián)，如圖a所示，求1和4之間的互感；（2）將兩線圈反串聯(lián)，如圖b所示，求1和3之間的自感．

[解答]兩個線圈串聯(lián)時，通以電流I之后，總磁場等于兩個線圈分別產(chǎn)生的磁場的矢量和B=B1+B2，磁場的能量為

123a4B2Wm??dV

2?V2B12B2B?B??dV??dV??12dV

2?2??VVV1234b圖17.19

?BBcos?11L1I2?L2I2??12dV．22?V（1）當(dāng)兩個線圈順串時，兩磁場的方向一致，θ=0，所以

Wm?11L1I2?L2I2?MI2，22自感系數(shù)為

L?2Wm?L1?L2?2M．I211L1I2?L2I2?MI2，22（2）當(dāng)兩個線圈反串時，兩磁場的方向相反，θ=π，所以

Wm?自感系數(shù)為

L?2Wm?L1?L2?2M．2I

17．20兩個共軸的螺線管A和B完全耦合，A管的自感系數(shù)L1=4.0×10-3H，通有電流I1=2A，B管的自感L2=9×10-3H，通有電流I2=4A．求兩線圈內(nèi)儲存的總磁能．

[解答]A管儲存的自能為

Wm1??1L1I1221?4?10?3?22?8?10?3(J)，2Wm2?12L2I22B管儲存的自能為

?1?9?10?3?42?72?10?3(J)；2由于兩線圈完全耦合，互感系數(shù)為

M?L1L2

?4?10?3?9?10?3?6?10?3(H)，

A管和B管儲存的相互作用能為

Wm12=MI1I2=6×10-3×2×4=48×10-3(J)，兩線圈儲存的總能量為

Wm=Wm1+Wm2+Wm12=0.128(J)．

17．21一螺繞環(huán)中心軸線的周長L=500mm，橫截面為正方形，其邊長為b=15mm，由N=2500匝的絕緣導(dǎo)線均勻密繞面成，鐵芯的相對磁導(dǎo)率μr=1000，當(dāng)導(dǎo)線中通有電流I=2.0A時，求：

o（1）環(huán)內(nèi)中心軸線上處的磁能密度；

（2）螺繞環(huán)的總磁能．[解答]（1）設(shè)螺繞環(huán)單位長度上的線圈匝數(shù)為n=N/L，中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為IbB=μnI，

其中μ=μrμ0．

b磁場強(qiáng)度為

o`H=B/μ=nI，

圖17.21

因此中心軸線上能量密度為

w??12500?1000?4??10?7(?2)220.5111B?H?BH??(nI)2222=2π×104(J·m-3)．

（2）螺繞環(huán)的總體積約為V=b2L，將磁場當(dāng)作勻強(qiáng)磁場，總磁能為

W=wV

=2π×104×(0.015)2×0.5=2.25π=7.07(J)．

17．22試證：平行板電容器中的位移電流可寫成Id?CdU的形式，式中C是電容器dt的電容，U是兩板間的電勢差．對于其他的電容器上式可以應(yīng)用嗎？

[證明]根據(jù)麥克斯韋理論：通過電場任意截面的位移電流強(qiáng)度等于通過該截面電位移通量的時間變化率，即Id=dΦD/dt．

在平行板電容器中，由于ΦD=DS，而電位移D等于電容器的面電荷密度，即

D=ζ．

由于電容器帶電量為q=ζS=DS=ΦD，所以Id=dq/dt，

即：位移電流等于極板上電量的時間變化率．根據(jù)電容的定義C=q/U，可得

Id=CdU/dt．

其他電容器可以看作由好多平等板電容器并聯(lián)而成，總電容等于各電容之和，所以此式對于其他電容器也可以應(yīng)用．

17．23假使要在一個1.0PF的電容器中產(chǎn)生1.0A的位移電流，加上電容器上的電壓變化率為多少？

[解答]由于Id=CdU/dt，所以電壓變化率為dU/dt=Id/C=1/10-12=1012(V·s-1)．

17．24在圓形極板的平行板電容器上，加上頻率為50Hz，峰值為2×105V的交變電壓，電容器電容C=2PF，求極板間位移電流的最大值為多少？

[解答]交變電壓為U=Umcos2πνt，位移電流為

Id=CdU/dt=-CUm2πνsin2πνt，

電流最大值為

Im=CUm2πν=2×10-12×2×105×2π×50=4π×10-5(A)．

17．25一平行板電容器的兩極板面積為S的圓形金屬板，接在交流電源上，板上電荷隨時間變化，q=qmsinωt．求：

（1）電容器中的位移電流密度；（2）兩極板間磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布．

[解答](1)平行板電容器的面電荷密度為ζ=q/S，位移電流密度為

?d?d?dm???cos?t．dtSdtS（2）在安培-麥克斯韋環(huán)路定律中

??H?dl?I?ILd，

兩極板間沒有傳導(dǎo)電流，即I=0．

由于軸對稱，在兩板之間以軸為圓心作一個半徑為r的圓，其周長為C=2πr，使磁場的方向與環(huán)路的方向一致，左邊為

蜒?H?dl??LLHdl?H?dl?2?rH．

L環(huán)路所包圍的面積為S`=πr2，右邊的位移電流為

Id??dS`?qm?(cos?t)?r2．S因此，兩極板間磁場強(qiáng)度的分布為

H?qm?rcos?t，2S磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布為

B??0H??0qm?r2Scos?t．

17．26如下圖，電荷+q以速度v向O點運動（電荷到O點的距離以x表示）．以O(shè)點O圓心作一半徑為a的圓，圓面與v垂直．試計算通過此圓面

r的位移電流．a(chǎn)θ[解答]在圓面上取一半徑為R的環(huán)，其面積為aqvxOdS=2πRdR，

環(huán)上任一面元的法線方向與場強(qiáng)方向之間的夾角為φ，場強(qiáng)大小為E=q/4πε0r2，

圖17.26

其中r=(x2+R2)1/2，通過環(huán)的電通量為

dΦe=E·dS=EdScosφ，

其中cosφ=x/r，所以得

d?e?qxRdRqxRdR?，

2?0r32?0(x2?R2)3/2a積分得電通量為

qxd(x2?R2)?e?223/2?2?002(x?R)?q(1?2?0xx?a22)．

由于電位移強(qiáng)度D和電場強(qiáng)度E的關(guān)系為D=ε0E，所以電位移通量和電通量之間的關(guān)系為

Φd=ε0Φe，

因此點電荷在圓面上通過的電位移通量為

?d?q(1?2xx?a22)．