華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷下2023及解答

本文格式為Word版，下載可任意編輯——華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷下2023及解答高等數(shù)學(xué)下冊試卷

2023．7．1

姓名：學(xué)院與專業(yè)：學(xué)號：

一、填空題[共24分]

1、[4分]函數(shù)f?x,y?在點?x,y?處可微是它在該點偏導(dǎo)數(shù)

?z?z與連續(xù)的必要?x?y條件（填必要、充分或充要），又是它在該點有方向?qū)?shù)的充分條件（填必要、

充分或充要）

??xy??22、[4分]向量場A?ei?cos?xy?j?xzk的散度為yexy?xsin?xy??2xy.

????向量場B??2z?3y?i??3x?z?j??y?2x?k的旋度為?2,4,6?.

3、[4分]]設(shè)z?f?x,xy?,f?u,v?有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則dz??f1?yf2?dx?xf2dy4、[4分]交換二次積分的積分次序?dy?f?x,y?dx??dx?f?x,y?dy

0y20x222y4x5、[4分]設(shè)曲面?為柱面x2?y2?1介于平面z?0與z?1部分的外側(cè)，則曲面積分??x2?y2dxdy?0，??x2?y2dS?2?

??????6、設(shè)f?x,y??x3?y3?3x2?3y2?9x,x?0，則它有微小值f?1,0???5

?2z二、[8分]設(shè)e?xyz，求2

?xz解：兩邊取微分，得ezdz?xydz?xzdy?yzdx

ezdz?xydz?xzdy?yzdx,dz?xzdy?yzdxyzdx?xzdy?

ez?xyxyz?xy?zz?2z???z???z?從而?，???????xxz?x?x2?x??x?xxz?x?????xz?x??z?z???z?z?x?1??x?x??22x?z?1?61001698.doc共6頁第1頁

z?zz?z2?x2z?z?xz?z?z?1??z2z2?z3?2z??xz?1???2z?x?2???2223322?x2x?z?1?x?z?1?x?z?1?x?z?1?2111三、[7分]設(shè)長方形的長x、寬y、高z滿足???1，求體積最小的長方體。

xyz?111?解：令L?xyz??????1?

?xyz?則Lx?yz???1?1?1?0,L?xz???0,L?xy???0，從而x?y?zyzx2y2z2再由L??0即約束條件，可得

1111???，從而x?y?z?3xyz3由問題的實際意義可知，當體積最小長方體的長、寬、高均為3。

四、[7分]求球面x2?y2?z2?4含在圓柱面x2?y2?2x內(nèi)部的那部分面積解：上半球面的部分為?1:z?4?x2?y2,D:x2?y2?2x

zx??x4?x?y22,zy??y4?x?y22,dS??24?x?yrdr4?r222dxdy

S?2??dS?2???1?124?x?y2222cos?dxdy?8?d?02?0?8???2?

五、[7分]計算三重積分????x?y?z?dv，其中?.是由單位球面x2?y2?z2?1?圍成的閉區(qū)域

解：由對稱性???xydv????yzdv????zxdv?0

???從而????x?y?z?dv?????x?y?z?dv?2222??2??122d?d?r?rsin?dr???000?2??sin?d??r4dr?2???cos??000?1?r54???5051六、[7分]計算曲面積分??z2?3xdydz??x?y?dzdx??y?z?dxdy，其中?是圓

???錐面z?x2?y2位于平面之間下方部分的下側(cè)解：取?1:z?2,D:x2?y2?4上側(cè)

61001698.doc共6頁第2頁

1則原式?????3?1?1?dv?????y?2?dxdy????dv????y?2?dxdy??22?2?

3??1??12??d???rsin??2?rdr002?322?22??r88832?8??8?2??????sin??r?d??????sin??4?d??????cos??4????333333??3?0?00?0?七[7分]計算曲線積分?Lydx?xdy?x?y?2，其中L表示第四象限內(nèi)以A(0,?1)為起點

B(1,0)為終點的光滑曲線。

2x?y??x?2?x?y?????x?x?y???解：由于?，?243???x??x?y???x?y??x?y?2??y??x?y??y?2?x?y???1?x?y????243??y??x?y??x?y???x?y??從而只要路徑不經(jīng)過直線y?x，該曲線積分就與路徑無關(guān)取路徑y(tǒng)?x?1,x:0?1，?Lydx?xdy?x?y?2x?1?x??dx???dx??1210011八、[7分]求微分方程3exsinydx??1?ex?cosydy?0的通解

cosy3excosy3ex解：dy?xdx，?dy??xdx

sinye?1sinye?1lnsiny?3ln?ex?1??lnc，siny?3c?ex?1?

九、[7

分]計算滿足下述方程的可導(dǎo)函數(shù)y?y?x?，

xy?x?cosx?2?y?t?sintdt?x?1

0解：原方程兩端求導(dǎo)得y?cosx?ysinx?2ysinx?y?cosx?ysinx?1即y???sinx1y?，這是標準的一階線性微分方程cosxcosxsinxsinx?cosxdx?1?cosxdx?lncosx?1?lncosx?y?ee?c??ee?c???tanx?c?cosx?????cosx??cosx?61001698.doc共6頁第3頁

原方程令x?0得y?1，代入通解得c?1，從而y?sinx?cosx

十、[6分]（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)a?0且a?e，

nn試根據(jù)a的值判定級數(shù)?n的斂散性

n?1an!??1?n?1?1??n?1?nn?un?1ann!?n??e解：un?n，從而??lim?limn?1?limn??un??aan!a?n?1?!nnn??annn當??1，即a?e時，級數(shù)?n收斂；當??1，即0?a?e時，該級數(shù)發(fā)散

n?1an!?n十一、[6分]（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)f?x?是周期

為2?的周期函數(shù)，它在[??,?)上的表達式為f?x??x，試將函數(shù)f?x?展開成傅立葉級數(shù)解：a0?1?????f?x?dx?0,an?1???（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分）??f?x?cosnxdx?0，

bn?1?????????2?2??n?12f?x?sinnxdxa0?xdcosnx?xcosnx?cosnxdx??1??????0n?0n??n0??n?1從而f?x?????1?n?12sinnx,x??2k?1??n2n?1十二、[7分]（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)

?2x?f?x?????1?，證明：f?x?滿足微分方程f???x???4f?x?，并求f?x?2n?1!??n?1?n?2x??2?22?n?2x?,f???x?????1?f??x?解：f??x?????1??2n?2?!?2n?3?!n?1n?2?n2n?22n?32x從而f???x???4???1?????4f?x?

?2n?1?!n?1?n2n?1而且f?0??0,f??0??2

解初值問題f???x???4f?x?，f?0??0,f??0??2

f???x??4f?x??0,r2?4?0,r1,2??2i，通解為f?x??c1cos2x?c2sin2x

f??x???2c1sin2x?2c2cos2x，由初值條件：c1?0,2c2?2,c2?1，f?x??sin2x

61001698.doc共6頁第4頁

2??y???y?x十、[6分（]化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）求解初值問題?

??y?0??y??0??1解：方程y???y?x2對應(yīng)的齊次方程為y???y?0，它的特征方程為r2?1?0，

特征根為r1,2??i，從而對應(yīng)通解為Y?c1cosx?c2sinx

簡單看出y???y?x2的一個特解為y*?x2?2，因此原方程的通解為

y?c1cosx?c2sinx?x2?2

從而y???c1sinx?c2cosx?2x，由初值條件可得c1?3,c2?1。因此y?3cosx?sinx?x2?2

??x2?y2?z2?6十一、[6分]（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）設(shè)l是曲線??x?y?z?0?在點?1,?2,1?處的切向量，求函數(shù)f?x,y,z??xy?yz?zx在該點沿l的方向?qū)?/p>

數(shù)

?x2?y2?z2?6?2x?2yy??2zz??0解：方程組?兩端對x求導(dǎo)，得?

?1?y??z??0?x?y?z?0?1?2y??z??0?y??0把?1,?2,1?代入得?，解得?，于是在點?1,?2,1?處的切向量為

???1?y?z?0z??1????1??1,0,?t???1,y?,z?????1,0,?1?，單位切向量為t?????

2??2所求方向?qū)?shù)為

?f1?1??1?1,0,??f,f,f??,0,?????????xyz?1,?2,1??????1,2,?1??0?t2?2??2?2十二、[7]（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）給定曲面

?x?ay?b?其中F?u,v?有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面的切F?,??0,a,b,c為常數(shù)，

?z?cz?c?平面通過一個定點

11?x?ay?b??G?F,G?F2?證：令G?x,y,z??F?，則,x1y?z?cz?c?z?cz?c?Gz?a?x?z?c?2F??