北航數(shù)值分析其次次大作業(yè)

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數(shù)值分析其次次大作業(yè)

姓名：李瀟學號：SY1303314

題目:使用帶雙步位移的QR分解法求矩陣A?[aij]10*10的全部特征值，并對其中

的每一個實特征值求相應的特征向量。已知：

sin(0.5i?0.2j)(i?j)aij?{1.5cos(i?1.2j)(i?j)(i,j=1,2,……,10)

1、算法設計：

①矩陣的擬上三角化：

對實矩陣A進行相像變換化為擬上三角矩陣AHouseholder矩陣，變換過程如下：

(r)若air?0(i?r?2,?,n)，則Hr?I；

(n?1)，其變換矩陣采用

否則，sr=(0,?,0,ar+1,r,?an,r)，

(r)(r)Tcr=-sgn(a(r)r+1,r)||sr||2，

)(r)(r)ur=sr-crer+1?(0,?,0,ar(r?1,r?cr,ar?2,r,?,anr)，

Hr=I-2uruTr/ur2，

2A(r?1)?HrA(r)Hr。

當r?n?2時，得A似。

②矩陣的QR分解：

矩陣的QR分解過程與擬上三角化過程相像，在這里不再重復其原理。③求全部特征值

矩陣擬上三角化后利用帶雙步位移的QR方法，采用書本Page63頁具體算法實現(xiàn)。為了使編程便利，并體會goto語句使用的靈活性，程序中的跳轉(zhuǎn)均使用gotoLoop*實現(xiàn)。

④求A的相應于實特征值的特征向量

求實特征值對應的特征向量，即是求解線性方程組

(n?1)?Hn?2A(n?2)Hn?2???Hn?2?H1A(1)H1?Hn?2，

令P=H1H2?Hn-2又Hr是對稱正交矩陣，于是An-1=PTAP成立，因而An-1與A相

(λiI-A)xi=0，

(i?1,?,n)。因此，為得到全部實特征值對應的特征向量，解線性方程組的過

程要循環(huán)n次（n為矩陣階數(shù)）。線性方程組的求解采用列主元素Gauss消去法。

2、程序源代碼：

#include\

#include\#include\

//****************************************************************************//

//N：待求矩陣的階數(shù)////Epsilon：精度水平////MaxL：限制求解的最大迭代次數(shù)////****************************************************************************//#defineN10

#defineEpsilon0.000000000001#defineMaxL200

voidCreat_MatrixA(doublearray[N+1][N+1]);

voidLoad_MatrixA(doubleMatrixA[N+1][N+1],doublearrayA[N+1][N+1]);voidClear_Elements(doublearray[N+1][N+1]);voidInitial_to_I(doublearray[N+1][N+1]);voidNishang(doublearrayA[N+1][N+1]);

voidQR_Fenjie(doublearrayA[N+1][N+1],doubleQ[N+1][N+1],intm);voidSolution_namda(doublearrayA[N+1][N+1],doublenamda[N+1][2]);voidSolution_A_Next(doublearrayA[N+1][N+1],intm,doubles,doublet);

voidSolution_vector(doublearray[N+1][N+1],doublenamda[N+1][2],doublex[N+1][N+1]);voidGaussElemitation_select(intm,intflag,doublearray[N+1][N+1],doublex[N+1][N+1]);voidPrint_test(doublearray[N+1][N+1]);

voidPrint_testAB(doublearrayA[N+1][N+1],doublearrayB[N+1][N+1]);voidPrint_namda(doublenamda[N+1][2]);

voidPrint_vector(doublex[N+1][N+1],doublenamda[N+1][2]);

intmain(void){

//****************************************************************************////定義主程序中用到的變量////****************************************************************************////MatrixA：用來存儲源矩陣A////Q：用來存儲對A(n-1)進行QR分解得到的正交陣////namda：用來存儲矩陣A的全部特征值。第1列存儲實部，第2列存儲虛部////****************************************************************************//doubleMatrixA[N+1][N+1],Q[N+1][N+1],namda[N+1][2],x[N+1][N+1];

//****************************************************************************////對矩陣A進行擬上三角化，再進行QR分解見////****************************************************************************//Creat_MatrixA(MatrixA);

printf(\經(jīng)過擬上三角化得到的矩陣A(n-1)為：\\n\/*對矩陣A進行擬上三角化，并輸出矩陣A(n-1)*/Nishang(MatrixA);Print_test(MatrixA);

printf(\經(jīng)過QR分解得到的矩陣Q、R和RQ分別為：\\n\/*對矩陣A(n-1)進行QR分解*/

QR_Fenjie(MatrixA,Q,N);

/*輸出分解得到的Q、R和RQ*/printf(\Print_test(Q);

printf(\Print_test(MatrixA);

printf(\Print_testAB(MatrixA,Q);

//****************************************************************************////用帶雙步位移的QR方法求矩陣A的全部特征值////****************************************************************************///*重新生成矩陣A*/

Creat_MatrixA(MatrixA);

/*調(diào)用Solution_namda求矩陣A的全部特征值，并輸出*/Solution_namda(MatrixA,namda);Print_namda(namda);

//****************************************************************************////求實特征值對應的特征向量////****************************************************************************///*重新生成矩陣A*/

Creat_MatrixA(MatrixA);

printf(\實特征值對應的特征向量：\

/*調(diào)用Solution_vector求矩陣A實特征值對應的特征向量，并輸出*/Sol