北京市2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（二）

北京市2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷(二)

(文科)

(考試時(shí)間90分鐘滿分10()分)

一、單項(xiàng)選擇題(共9小題，每小題4分，滿分36分)

1.已知圓C：x2+y2-4x=(),I為過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線，貝(I()

A.1與C相交B.1與C相切

C.I與C相離D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能

2.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,C)處的切線方程為()

A.x+V3y-2=0B.x+V3y-4=0C.x-by+4=0D.x-73y+2=0

3.直線x+fy-2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度等于()

A.2遍B.25/3C.V3D.1

4.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2).若直線1過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則

直線1的斜率k的取值范圍是()

A.k*B,3k<2C.k22或D.kW2

22

xy

5.已知雙曲線C：/百=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C

的方程為（）

x2_y2*2_/2

A-20T=1B.V20：

x2y1

6.已知雙曲線丁-^2=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦

點(diǎn)到其漸近線的距離等于()

A.V5B.4&c.3D.5

Xc

7.如圖Fi、F2是橢圓Ci：丁+y2=l與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是Ci、C2

在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF]BF2為矩形，則C2的離心率是（）

廠廠3遍

A.V2B.V3C.~2D.~

8.過(guò)點(diǎn)（血,0）引直線1與曲線y=Ji-x2相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)

△ABO的面積取得最大值時(shí)，直線1的斜率等于（）

A.&B.一返C.土逅D.-73

33-3"

22

9.設(shè)Fi、F2是橢圓E,%+J=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P.為自2戈X—?jiǎng)?wù)上一點(diǎn)，

a2b22

△F2PF1是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

A.—B.—C.—D.—

2345

二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

10.已知圓C的方程為x2+y2-2y-3=0,過(guò)點(diǎn)P（-l,2）的直線1與圓C交于A,B

兩點(diǎn)，若使|AB|最小，則直線1的方程是.

11.過(guò)直線x+y-2心0上點(diǎn)P作圓x2+y2=l的兩條切線，若兩條切線的夾角是60。，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

12.設(shè)AB是橢圓「的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在「上，且NCBA=^,若AB=4,BC=&,則「的

兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為.

13.橢圓「：=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,焦距為2C,若直線

y=J^(x+c)與橢圓「的一個(gè)交點(diǎn)M滿足NMF]F2=2NMF2F1，則該橢圓的離心率等于

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy,橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F]F2在x軸上，離心率為坐.過(guò)

Fi的直線交于A,B兩點(diǎn)，且4ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.

15.已知過(guò)拋物線y2=9x的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12,則直線AB的傾斜角為.

三、解答題(共4小題，滿分40分)

16.如圖，圓x?+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為a的弦，

(1)當(dāng)a=135。時(shí)，求AB

(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線AB的方程.

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且aABF?的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線AB的斜率為代，求4ABF2的面積.

18.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2,離心率為券.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1),且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若成=2位，求直線1

的方程.

19.已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線1上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C

于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m(mWO),點(diǎn)D為準(zhǔn)線1與x軸的交點(diǎn).

(I)求直線PF的方程；

(II)求4DAB的面積S范圍；

(III)設(shè)而=入而，AP=|iPB，求證人+|i為定值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.A.2.D3.B4.C.5.A.6.A.7.D.8.B.9.C.

二、填空題

10.解：圓C的方程為x?+y2-2y-3=0,即X?+(y-1)2=4,表示圓心在C(0,1),

半徑等于2的圓._

點(diǎn)P(-1,2)到圓心的距離等于近，小于半徑，故點(diǎn)P(-1,2)在圓內(nèi).

.,.當(dāng)AB_LCP時(shí)，|AB|最小，

此時(shí)，kcp=T,k]=l,用點(diǎn)斜式寫直線1的方程y-2=x+l,

即x-y+3=0.

11.解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

直線PA和PB為過(guò)點(diǎn)P的兩條切線，且NAPB=60。，

設(shè)P的坐標(biāo)為(a,b),連接OP,OA,OB,

AOAIAP,OB±BP,PO平分NAPB,

/.ZOAP=ZOBP=90°,ZAPO=ZBPO=30°,

又圓x2+y2=l,即圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑r=l,

，OA=OB=1,

.,.OP=2AO=2BO=2,.*.“/+/2,BPa2+b2=40,

又P在直線*+丫-2比=0上，.?.a+b-2?=0,即a+b=2&@,

聯(lián)立①②解得：a=b=V^,

則P的坐標(biāo)為(&，V2).

故答案為：(加，V2)

12.解：如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1>

由題意知,2a=4,a=2.

JT

???/CBA1,BC=&,.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為C1),

(-1)2i2

因點(diǎn)C在橢圓上，'丁+J=1，

4b2

?22_b2_4_48-2我

333

則「的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為&返.

3

13.解：如圖所示，__

由直線y=J5(x+c)可知傾斜角a與斜率如有關(guān)系Jj=tana,.,.a=60。.

又橢圓「的一個(gè)交點(diǎn)滿足NMF]F2=2NMF2FI，二/仃2「1=30°，,ZFjMF2=90

m2+n2=(2c)2

設(shè)|MF21=m,，MF「=n,則，nH"n=2a，解得.

.??該橢圓的離心率e=J5-1-

故答案為-1.

14.解：根據(jù)題意,Z\ABF2的周長(zhǎng)為16,BPBF2+AF2+BFI+AFI=16；

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4a=16,即a=4；

橢圓的離心率為即，，則a=，%，

2a2

將a二A/9，代入可得，c=2我，則b2=a?-c?=8；

則橢圓的方程為乙+且=1;

168

22

故答案為：2_+A1.

168

15.解：?.?拋物線方程是y2=9x,

；.2p=9,可得與號(hào)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(?,0)

設(shè)所求直線方程為y=k(x-1),

與拋物線y2=9x消去y,得k2x2-(-k2+9)x+-^-k2=0

216

設(shè)直線交拋物線與A(xi，yi),B(X2,y2)，

92

由根與系數(shù)的關(guān)系，得xi+x尸+9,

?.?直線過(guò)拋物線y2=9x焦點(diǎn)，交拋物線得弦長(zhǎng)為12,

x]+x2+-^-=12,可得x1+X2=-^,

因此，5k+9=竽,解之得k2=3,

k22

jrnjr

/.k=tana=±V3，結(jié)合a￡[0,n),可得a三二或f.

故答案為：或/.

33

三、解答題

16.解：(1)過(guò)點(diǎn)O做OGLAB于G,連接OA,當(dāng)a=135°時(shí)，直線AB的

Q+1

斜率為-1,故直線AB的方程x+y-1=0,.,.OG='yj'

,??r=2近德警，

|AB|=2AG=V30

(2)當(dāng)弦AB被P平分時(shí)，OPJ_AB,此時(shí)Kop=-2,

AAB的點(diǎn)斜式方程為y-2=j(x+l),即x-2y+5=0

y-2=k(x+l)

(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x,y),AB的斜率為K,OM±AB,貝［i

消去K,得x2+y2-2y+x=0,當(dāng)AB的斜率K不存在時(shí)也成立，

故過(guò)點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-2y+x=0

17.解：(1)由題意知，4a=8,所以a=2,

又e=L,可得c=l..*.b2=22-1=3.

2a2

從而橢圓的方程為:

(2)設(shè)直線方程為：y=V3(x+1)

W3(x+1)

由JX?2得：5X2+8X=0.

4

解得：X]=0,X2=一§,

5

所以yi=百，丫2：-攀

則S=c|y1-y一

25

18.解：（I）由題意知，c=l,—=4

a2

；.a=2,b=-/3

故橢圓方程為工;

4

(II)設(shè)A(xpyi),B(X2，Y2)>

當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為x=0,不符合題意.…

當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+l,

代入橢圓方程，消去y,得：（3+4k2）x2+8kx-8=0,且△＞（）,...

Xi+X2="，X1X2=-

若京=2謠，則X]=-2X2，③…

①②③，可得k=±,...

所求直線方程為y=±泰+1.即x-2y+2=0或x+2y-2=0

19.解：（I）由題知點(diǎn)P,F的坐標(biāo)分別為（-1,m）,（1,0）,

于是直線PF的斜率為

所以直線PF的方程為尸我（x-1）,即為mx+2y-m=0.

（II）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xi，yi）,62,y2）.

2,

y=4x

由_得-(2m2+16)x+m2=0,

y=-f(x-l)

mi”._2m2+16[

所以X[+X2=------2-'xiX2=l?

2

于是IAB|=x]+x2+2=4m用.

點(diǎn)D到直線mx+2y-m=0的距離

所以《網(wǎng)#產(chǎn)浮熱*弓

因?yàn)閙eR且mWO,于是S>4,

所以4DAB的面積S范圍是（4,+8）.

,

(Ill)由(H)及而=%祚，AP=J1PB得(1一xi，-yp=入(x2-1