6-7 均值與方差在生活中的運用（精練）（基礎版）（原卷版）

6.7均值與方差在生活中的運用（精練）（基礎版）題組一題組一均值與方差的性質(zhì)1．（2020·浙江·磐安縣第二中學）已知隨機變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【解析】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）設，隨機變量的分布列為X012Pb則當在內(nèi)增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】A【解析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知，，，因為，所以單調(diào)遞增，故選：A3．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）設，隨機變量X的分布列是（

）X01Pb則當a在內(nèi)增大時，（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以所以當時，增大增大，當時，減小減小.故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習）從裝有個白球和個黑球的袋中無放回任取個球，每個球取到的概率相同，規(guī)定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數(shù)和記為隨機變量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個球所得分數(shù)和記為隨機變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據(jù)題意，，，，分布列如下：根據(jù)題意，，，，分布列如下：，，，，可得，故選：C.5．（2022·浙江·三模）隨機變量的分布列如下所示，其中，則下列說法中正確的是（

）01PA． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)分布列可得：，則，因為，故，即．令（）則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減又因為所以與大小無法確定故選：D．6．（2022·浙江紹興·模擬預測）設，隨機變量的分布列分別如下，則(

)012P012PA．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】設隨機變量為X，其可能的取值是，對應概率為，則其數(shù)學期望(均值)為，其方差為：，則，，；，，；∴，若，則，，故，即，故A正確，B錯誤；若，則，但無法判斷與1的大小，故無法判斷的大小，故CD錯誤．故選：A．7．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得，隨機變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（

）A．B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C．D．當最小時，【答案】ABC【解析】由題意，，，故選項A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為，故選項B正確；隨機變量X的期望值，可知方差，當時，，故選項C正確；當時，，故選項D錯誤.故選：ABC.題組二題組二利用均值做決策1．（2023·全國·高三專題練習）某學校組織“紀念共青團成立100周年”知識競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學需要先選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，只有答對當前的問題才有資格從下一類問題中再隨機抽取一個問題回答．A類問題中的每個問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分．已知小康同學能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(1)若小康按照的順序答題，記X為小康的累計得分，求X的分布列；(2)相比較小康自選的的答題順序，小康的朋友小樂認為按照的順序答題累計得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．【答案】(1)答案見解析;(2)小樂的判斷正確；理由見解析【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，30，50，60所以X的分布列為X0305060P0.60.160.0480.192（2）由（1）知，．若小康按照順序答題，記Y為小康答題的累計得分，則Y的所有可能取值為0，10，30，60,所以故小樂的判斷正確.2．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？【答案】(1)答案見解析(2)甲通過面試的概率較大【解析】(1)設為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，由題意可得的可能取值為：，，所以，，，所以的分布列為：123由題意可得，所以，，，，所以的分布列為：0123(2)，.，，因為，所以甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強，則甲通過面試的概率較大.3．（2022·全國·模擬預測（理））污水處理廠同時對兩套污水處理系統(tǒng)進行改造升級，現(xiàn)進入到系統(tǒng)調(diào)試階段，受各種因素影響，經(jīng)測算，污水處理量變化情況的分布如下．系統(tǒng)甲：日污水處理量增加保持不變降低系統(tǒng)乙：日污水處理量增加保持不變降低(1)若至少有一套系統(tǒng)的日污水處理量增加的概率大于，求的取值范圍．(2)已知改造前甲、乙兩套系統(tǒng)的日污水處理量分別為萬噸和萬噸．若，你認為改造后哪套系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大？請說明理由．【答案】(1)(2)乙系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大，理由見解析【解析】(1)若至少有一套系統(tǒng)的日污水處理量增加的概率大于，則兩套系統(tǒng)的日污水處理量都不增加的概率小于，，解得：，又，，；的取值范圍為.(2)記為改造后甲系統(tǒng)的日污水處理量；為改造后乙系統(tǒng)的日污水處理量；則所有可能的取值為，，；所有可能的取值為，，；，，；，，；，，，乙系統(tǒng)的日污水處理量的期望更大.4．（2023·全國·高三專題練習）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【解析】(1)由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4(2)設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴(3)丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.5．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾）甲，乙兩隊進行籃球比賽，已知甲隊每局贏的概率為，乙隊每局贏的概率為．每局比賽結(jié)果相互獨立．有以下兩種方案供甲隊選擇：方案一：共比賽三局，甲隊至少贏兩局算甲隊最終獲勝；方案二：共比賽兩局，甲隊至少贏一局算甲隊最終獲勝．(1)當時，若甲隊選擇方案一，求甲隊最終獲勝的概率；(2)設方案一、方案二甲隊最終獲勝的概率分別為，討論的大小關系；(3)根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【解析】(1)設甲隊選擇方案一最終獲勝為事件A.(2)若甲隊選擇方案一，則甲隊最終獲勝的概率為若甲隊選擇方案二，則甲隊最終獲勝的概率為因為所以.(3)在方案一中，若甲隊第一局贏，則甲隊最終獲勝概率會變大，此時繼續(xù)比賽即為方案二，故方案二甲最終獲勝的概率會變大．題組三題組三均值與其他知識綜合1．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）2022年冬奧會剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項運動讓人們津津樂道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設定的賽道滑下的雪上競速運動項目，冬季奧運會高山滑雪設男子項目、女子項目、混合項目．其中，男子項目設滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5個小項，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術項目，現(xiàn)有90名運動員參加該項目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運動員進入勝者組，直接進入第二輪比賽，排名在后60位的運動員進入敗者組進行一場加賽，加賽排名在前10位的運動員從敗者組復活，進入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運動員水平相當．(1)從所有參賽的運動員中隨機抽取5人，設這5人中進入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復活？試用你所學過的數(shù)學和統(tǒng)計學理論進行分析．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為;(2)最有可能有1人能復活．【解析】(1)每位運動員進入勝者組的概率為，且，所以，其中．所以，，，所以X的分布列為X012345P其數(shù)學期望為．(2)設從敗者組選取的10人中有k人復活．因為每位敗者組運動員復活的概率為，所以，所以．當最大時，應滿足即解得，又因為，所以，即最有可能有1人能復活．2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預測）已知兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量和，根據(jù)市場分析，和的分布列如下：(1)在兩個項目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項目，萬元投資項目，表示投資項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差之和.則當為何值時，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).【解析】(1)依題意得：102041624，.(2)設投資項目所獲利潤為，投資項目所獲利潤為.，故當時，取得最小值.3．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預測（理））某從事智能教育技術研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試．經(jīng)過一個階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們“向量數(shù)量積”知識點掌握情況進行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226用樣本頻率估計概率，并假設每位學生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識點相互獨立．(1)從兩校高一學生中隨機抽取1人，估計該學生對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的概率；(2)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)從甲校高一學生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學生和一名不使用“AI作業(yè)”的學生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學生沒有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關系．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為；(3)；【解析】(1)在兩所學校被調(diào)查的200名學生中，對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的學生有140人，所以估計從兩校高一學生中隨機抽取1人．該學生對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的概率為(2)依題意，，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故(3)由題意，易知服從二項分布，，服從二項分布，，故.4．（2022·廣東佛山·模擬預測）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．(1)若，比賽結(jié)束時，設甲獲勝局數(shù)為X，求其分布列和期望；(2)若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為，求的最大值．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)【解析】(1)由題意可知，隨機變量X的可能取值為0、1、2、3，則，，，隨機變量X的分布列如下：X0123P則(2)甲隊只勝一場的概率為，則．故當時，，遞增；當時，，遞增；則5．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②【解析】(1)解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個