陜西省中考數(shù)學(xué)歷年（2016-2022年）真題分類匯編專題11銳角三角函數(shù)解析版

陜西省中考數(shù)學(xué)歷年（2016-2022年）真題分類匯編專題11銳角三角函數(shù)一、單選題1．如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊A．32 B．35 C．37【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：∵BD=2CD=6，∴CD=3，∵直角△ADC中，tan∠C=2∴AD=CD?tan∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=A故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件知BD=2CD=6，則CD=3，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AD，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.2．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，則弦BC的長(zhǎng)為（）A．33 B．43 C．53 D．63【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，則BC=2BD，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12∵⊙O的半徑為4，∴BD=OB?cos∠OBC=4×32=23∴BC=43．故選：B．【分析】首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案．此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（）A．423 B．22 C．82【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【解答】∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=8，∴AD=42，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD=ADtan60°=42∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD?tan30°=463×∴AE=AD-DE=42故答案為：C.【分析】根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出AD的長(zhǎng)，在Rt△ABD中，根據(jù)正切函數(shù)的定義由BD=ADtan4．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C=30°，⊙O的半徑為5，若點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，在△ABP中，PB=AB，則PA的長(zhǎng)為（）A．5 B．532 C．52 【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外接圓與外心；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】連接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=5，則Rt△PBD中，PD=cos30°?PB=32×5=5∴AP=2PD=53，故答案為：D．【分析】連接OA、OB、OP，由等腰三角形性質(zhì)得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形內(nèi)角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出OB⊥AP，AD=PD，由等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，在Rt△PBD中，由銳角三角函數(shù)得出PD=cos30°?PB從而求出AP.二、填空題5．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分．A．一個(gè)多邊形的一個(gè)外角為45°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．B．運(yùn)用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：317sin73°52′≈．（結(jié)果精確到0.1）【答案】8；11.9【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算器在數(shù)的開(kāi)方中的應(yīng)用；多邊形內(nèi)角與外角；計(jì)算器—三角函數(shù)【解析】【解答】解：（1）∵正多邊形的外角和為360°∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=82）317in73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案為：8，11.9【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先分別求得317和sin73°52′的近似值，再相乘求得計(jì)算結(jié)果．本題主要考查了多邊形的外角和以及近似數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和定理以及近似數(shù)的概念．在取近似值時(shí)，需要需要運(yùn)用四舍五入法求解．6．計(jì)算：2sin60°=．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值【解析】【解答】解：2sin60°=2×32=3【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)性質(zhì)可知，sin60°=3/2，將該值代入即可求解.7．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分．A．如圖，在△ABC中，BD和CE是△ABC的兩條角平分線．若∠A=52°，則∠1+∠2的度數(shù)為．B.317tan38°15′≈【答案】64°；2.03【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算器在數(shù)的開(kāi)方中的應(yīng)用；三角形內(nèi)角和定理；計(jì)算器—三角函數(shù)；角平分線的定義【解析】【解答】A、∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，∴∠1=12∠ABC、∠2=1則∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=故答案為：64°；B、317故答案為：2.03．【分析】A、由已知條件和三角形內(nèi)角和得出∠ABC+∠ACB=128°；由角平分線定義得出∠1=12∠ABC，∠2=1B、由計(jì)算器得出答案.三、計(jì)算題8．計(jì)算：（﹣1）2017+tan45°+327【答案】解：原式=﹣1+1+3+π﹣3=π．【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值【解析】【分析】因2017為奇數(shù)，所以（﹣1）2017=-1，又因特殊角的三角函數(shù)值tan45°=1，根據(jù)立方根的性質(zhì)327=3，另任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值均為正數(shù)，則四、解答題9．一座吊橋的鋼索立柱AD兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示.小明和小亮想用測(cè)量知識(shí)測(cè)較長(zhǎng)鋼索AB的長(zhǎng)度，他們測(cè)得∠ABD為30°，由于B、D兩點(diǎn)間的距離不易測(cè)得，通過(guò)探究和測(cè)量，發(fā)現(xiàn)∠ACD恰好為45°，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離約為16m.已知點(diǎn)B、C、D共線，AD⊥BD.求鋼索AB的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】解：在△ADC中，設(shè)AD=x.∵AD⊥BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x.在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD=30°，∴AD=BDtan即x=3解之，得x=8∴AB=2AD=16∴鋼索AB的長(zhǎng)度約為(【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】設(shè)AD＝x，在等腰直角三角形ADC中用含x的代數(shù)式表示出CD=AD=x，在Rt△ABD中，用三角函數(shù)tan30°=ADBD10．如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N.他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù).于是，他倆上樓來(lái)到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等.已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N.【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性質(zhì)可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）.答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80m.【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，可得四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，可以證明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，進(jìn)而可得商業(yè)大廈的高M(jìn)N.11．小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹(shù)的高度。一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹(shù)前，由于有圍欄保護(hù)，他們無(wú)法到達(dá)古樹(shù)的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹(shù)周圍的空地上選擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器DC，測(cè)得古樹(shù)的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著BG方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)帶點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測(cè)傾器的高度CD=0.5米。已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹(shù)的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝0.5，在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°，由題意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴EFAB=FG解得：BD＝17.5，∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，∴這棵古樹(shù)的高AB為18m.【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CH＝BD，BH＝CD＝0.5，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AH＝CH＝BD，故AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，進(jìn)而判斷出△EFG∽△ABG，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出EFAB12．A，B兩地被大山阻隔，若要從A地到B地，只能沿著如圖所示的公路先從A地到C地，再由C地到B地．現(xiàn)計(jì)劃開(kāi)鑿隧道A，B兩地直線貫通，經(jīng)測(cè)量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道開(kāi)通后與隧道開(kāi)通前相比，從A地到B地的路程將縮短多少？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB與D，∵AC=20km，∠CAB=30°，∴CD=12AC=12×20=10km，AD=cos∠CAB?AC=cos30°×20=103km，∵∠CBA=45°，∴BD=CD=10km，BC=2CD=102≈14.14km∴AB=AD+BD=103【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】解非直角三角形時(shí)，若出現(xiàn)特殊角（30°、45°、60°），可過(guò)三角形的某一頂點(diǎn)作垂線，使特殊角處于直角三角形中，利用三角函數(shù)得出邊之間的關(guān)系，本題中所求的縮短距離就是求（AC+BC﹣AB）.13．某市一湖的湖心島有一棵百年古樹(shù)，當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達(dá)，每年初春時(shí)節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離，于是，有一天，他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來(lái)測(cè)量這個(gè)距離．測(cè)量方法如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°，此時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米，然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°，這時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請(qǐng)你利用以上測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【答案】解：如圖，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN=x米，則B