高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第六章

階i分方程的階數(shù)：(1)一階(2)二階(3)三階2.指出以下各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：(1)xy2y,y5x2；解：由y5x2得y10x代入方程得xx25x1x2故是方程的解.；3cosx4sinx;3sinx4cosx代入方程得3sinx4cosx3sinx4cosx0故是方程的解.(3)y2y0,代入方程得故不是2ex方程的解.(4)y(12)y12y0,C1e1xC2e2x.代入方程得xiCxi故是方程的解.3.在以下各題中,2xy2xyy得x2y22e2x(C2e2x)C2)(C121e1xC222e2x(C2e2x)C2)(C12驗(yàn)證所給二元方程為所給微分方程的解:xyxxyC2cxy2yy0代入微分方程，等式恒成立xy證：方程yln(xy)兩端對2故是微分方程的解.yy2y0,yIn(xy).得『血)InInycxy丄1y1x2x2(y1)2將y，y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解4.從以下各題中的曲線族里，找出滿足所給的初始條件的曲線:C2C12C2x)e2x25.求以下各微分方程的通解：(1)xyylny0.xdy1dxxyIny解：別離變量yInyddIn1積分得InxInInIn解：別離變量,得積分得⑶@yex)dx解：別離變量,積分得得通解為(4)cosxsinydx解：別離變量，得積分得 (exyey)dy0.eyeydxsinxcosydycosxdxsinxcosydysinyInsinxInc得通解為yxy解：別離變量，得積分得得通解為sinysinxc.yy2xxdx2x212ce2lx2Ci11積分得得通解為(7)42x解：別離變量,積分得即為通解yx2dyy3y(8)yexy解：別離變量，得積分得ydyeydyexdx6.求以下各微分方程滿足所給初始條件的特解:解：別離變量，得積分得0;eydye2xdx2故方程特解為y(2)yy解：別離變量,積分得冗e將X2，y代入上式得故所求特解為2(e2(e)yxn2yyinyctanx2sinxe7.求以下齊次方程的通解:dx原方程變?yōu)閮啥朔e分得uuuux-dudx^2-u1cx一xcx一x2即通解為：2ylnx⑵xjylnxxdyy.yInuuxxxxxInc積分得即方程通解為⑶y那么dxuu(lnu1)ln(lnu1)Innucxxcx1e2y)dxxydx0—令x，原方程變?yōu)閤原方程變?yōu)閐y22xyxydxxydy那么dxduxxxduux一dxux2yxyx2積分得故方程通解為那么x原方程變?yōu)?u22InxInc1y2y2ln2lnx2lnc1x2In(cx2)(cc2))dx3xy2dy0.3x3x33y_x3丄xux——dx3u2dx3u2u12uu12u33積分得iiy以x代替￥yxydyxdxy原方程變?yōu)閤那么xdux-dxdux-dx積分得x1 x1In(1In(1u)22arctanuICn1yyyy別離變量,dydvxyyc _cdyIn(v'2In2yIn8.求以下各齊次方程滿足始條件的解：yxyux令，那么得別離變量，得積分得2?X//3xux2du2udxu3u23dxdu3uux3lnuIn(u1)In(u1)IncxInuInux32x得方程通解為22yx223故所求特解為ux解：設(shè)y,原方程可變?yōu)?yy那么dx32xxuxxx1lnxInc積分得2.得方程通解為22x(InxInc)故所求特解為9.利用適當(dāng)?shù)淖儞Q化以下方程為齊次方程，并求出通解:(1)(2x5y3)dx(2x4y6)dy0yYuX5Y25丫5Y4丫2X也udX4丫X25u24u4u22du4u27u21(4u3ln(4u27udXX6u24uu1146u24uu114u16u27u2)6u22)Inu2)Inu2InC2(C2cf)InX1(8u7)u.24u27u212In(4u7u2)24u7u226426lnXX(4u1)(u2)c22X6(4u7u2)C2代回并整理得yxyxcccj(2)(xy1)dx(4yx1)dy0;yxxy14yx1作變量替換，令xX1,yY0Y原方程化為令YuXdYXY1XdXX4Y14丫XudXdXduXdX4u214u積分得2代回并整理得⑶〔xy〕x14u21lnX14u2u21d(1一-------214u2)2u11arctan2uln(14u)9c22即2lnXln(14u)arctan2ucInX2(14u2)arctan2ucdx3v4x1xx原方程化為代回并整理得1dvdxvv1dvdxvv223v3v4vln(vvln(v2)xc13v2ln(v2)2xc,x3y2ln(xy(c2q)xdu1dy解：令uxy,那么dxdx原方程可化為別離變量，得積分得故原方程誦解為uxu22x1uxxc12xc.2ci)10.求以下線性微分方程的通解:(i)yyexyeedxc222x3—y-y-yx解：方程可化為由通解公式得22xeA(x31(x32)xx132yexdxcyxdxccx—xx—xsinxesinxe;ecosxdxcosxdxsinx(4)y4xy4x；解：方程可化為(4x)dx4x)dxxx2ee22x2cy2(x2)3；di1y2(xdxx2eLdxexxexex24xe2xdx1x)2x)2(x2)ln(x2),dxc2(x2)dxcc(x2)12.求以下伯努利方程的通解:2x4x2~-xydzy，那么有2ydzy，那么有2x4x2x21(12)z(1zsinx(12)z(1zsinxcosxdx4x3cze4x2dxze4x2dx11.求以下線性微分方程滿足所給初始條件的特解:exeinoxsx1)dxccexsinx11.求以下線性微分方程滿足所給初始條件的特解:x即為原方通解.edxx33故所求特解為1(2)y-(2xyxcosx)yx12+x323x+x323x2yexe-dxdxcc1c11yx—yx—e故所求特解為22eex2+3lnxx23lnxd,xc1x2.c2xc2xC3zy解:令z3zxdxez2x1zx2x1cexcx1)即為原方程通解13.求以下各微分方程的通解:(1)yxsinx;12xCi33sinxcxC2x16CxeXdxxexC2ex2exyx；y,那么原方程變?yōu)閤3ic1)dxxexc1xc2)dx2exC2c2exC2cx2213)exqxc2yy那么p原方程可化為p原方程可化為yp2)0即dpdpdy當(dāng)p0時(shí)，dy1p2arctanpyCdyitan(ycjlnsin(ydyitan(ycjC1yarcsC11dxdxdxy-dxlny(InxG)dxxlnxxGXC2xlnxjxC2(q(1q))11dxarcsinxc.1x2(7)xyy0.(arcsinx令yp,那么得cjdx1ppxpxJ—x2dxJ—x2O|Xc2.得pgx故xxcjnxc2(8)y3y10.解：令py，貝y解：令py，貝ydydpp——10,pdpyd原方程可化為dy1212g2p尹2p2y2&dyydy2y2.Gy212(y212c1x2c214求以下各微分方程滿足所給初始條件的特解:(1)y3y10,yx11,yy解：令yp，那么3dpypd?原方程可化為112-p222p2121y2y2y2c1—dyy1i,y1,yp0知，c1解：令yp，那么2x或y1,Yx1x⑵x2原方程可化為所求特解為1x1解：yarctanxG當(dāng)x0,y0，得c1arctanxdxxarctanxxarctanxln(1故所求特解為xx)xarctanx01,y1e」仲e22-In2x2122yx1c1)C1c1)C11)CxC2C2原方程可化為pp21冬dxp21arctanpxGtan(xG)Gtan(Gtan(xxy得ydy.所求特解為2ydy.解：令yp，那么原方程可化為積分得以x0,y22即yp,y解：令原方程可化為ydye2ydx00代入上式得qC2y,yx01,yyiarcsiney鼻x-2即yInsecx解解得()故原方程通解為故原方程通解為故原方程通解為解得程通解為pdp3y2dyCicosxx13c21320空2i220空2iCsinxr23r屮12故所求特解為15.求以下微分方程的通解:解：特征方程為解得故原方程通解為yy解：特征方程為解得2y0;xxc2e2x⑹y3y2y02解：特征方程為2解得故原方程通解為16.求以下微分方程滿足所給初始條件的特解:yy3yyy3y2cce2解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為(2)4y4y解：特征方程為0,Yx0CC612,y2c23xCC1C2解得通解為由初始條件得故方程所求特解為29y3)y4y29y解：特征方程為解得通解為由初始條件得故方程所求特解為yyYX0解：特征方程為解得12222CCCC1CC22y(2x)e0,Yx00,yx15;4r29r5iye2X(Gcos5xc2sin5x)e2x[(5c22c1)cos5x2q)sin5x]C0015C23e2xsin5xr2250r5i1,2通解為由初始條件得故方程所求特解為17.求下各微分方程的通解：yyyy2ex;c2c2Ccos5xi5Gsin5x5c252cos5xCsin5x25C2sin5x故原方程通解為ri0,x代入原方程得2AexAexAex2exyexGex5x22x1.x2Ce2對應(yīng)齊次方程通解為比擬等式兩邊系數(shù)得c),代入原方程得2(6ax2b)5(3ax23pbxx33-,3-,c35CCC2故方程所求通解為2故方程所求通解為iyy2y3xex.「11,Gc1ecc1ec?e2x令y(AxB)e代入原程得77x257x5對對應(yīng)齊次方程通解為yex(ciQecx)e2x3xex3故所求通解為y(GQx)eA,B3那么21,21,23r故所求通解為2令y22x原方程yexsin2x;相應(yīng)齊次方程的通解為yexgcos2xc2sin2x)令y