分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點與題型歸納

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點與題型歸納兩個計數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數(shù)原理有兩類不同方案?，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N=m+n種不同的方法分步乘法計數(shù)原理需要兩個步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N=mXn種不同的方法011每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事12各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.等11每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事.12各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.二、常用結(jié)論.完成一件事可以有〃類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=m1+m2H \-mn種不同的方法..完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=m1Xm2X^Xmn種不同的方法.考點一分類加法計數(shù)原理.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.解析：按十位數(shù)字分類，十位可為123,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個兩位數(shù)答案：36.如圖，從A到。有種不同的走法（不重復(fù)過一點）. 示解析：分3類：第一類，直接由A到O，有（種走法； /JA第二類，中間過一個點，有A一B一O和A一C-O2種不同的走法；B C第三類，中間過兩個點，有A一B一C-O和A一C一B-O2種不同的走法.由分類加法計數(shù)原理可得共有（+2+2=5種不同的走法.答案：5.若橢圓藍(lán)琛=（的焦點在y軸上，且m￡{（,2,3,4,5},n￡{（,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為.解析：當(dāng)m=（時，n=2,3,4,5,6,7,共6個；當(dāng)m=2時，n=3,4,5,6,7，共5個；當(dāng)m=3時，n=4,5,6,7，共4個；當(dāng)m=4時，n=5,6,7，共3個；當(dāng)m=5時，n=6,7，共2個.故共有6+5+4+3+2=20個滿足條件的橢圓.答案：20.如果一個三位正整數(shù)如“a（a2%”滿足4Va2且a2>%，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如（20,343,275等，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為.解析：若a2=2,則百位數(shù)字只能選（，個位數(shù)字可選（或0,“凸數(shù)”為（20與（2（,共2個.若a2=3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2X3=6（個）.若%=4,滿足條件的“凸數(shù)”有3X4=（2（個，…，若a2=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8X9=72（個）.所以所有凸數(shù)有2+6+（2+20+30+42+56+72=240（個）.答案：240考點二 分步乘法計數(shù)原理［典例精析］（（已知集合X={—3,—2,一（,0,（,2},P（a,b）（a,b￡M表示平面上的點，則P可表示坐標(biāo)平面上第二象限的點的個數(shù)為（A.6B.(2A.6C.24 D.36(2有6名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有種不同的報名方法.［解析］((確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定。，由于a<0,所以有3種方法；第二步確定b，由于b>0,所以有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3X2=6.(2每項限報一個，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6X5X4=(20(種).［答案］(()A(2)(20［解題技法］利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略((利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.［題組訓(xùn)練］(.如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個TOC\o"1-5"\h\zF E焊接點A,B,C,D,E,F,如果焊接點脫落，整個電路就會不通現(xiàn)發(fā)一一二c現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有種. n 二l解析：因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個 —A B焊接點脫落，則電路就不通，故共有26-(=63種可能情況.答案：63.從一(,0,(,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)fx=ax2+bx+c的系數(shù)，則可組成個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有 個(用數(shù)字作答).解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著a,b”(aW0的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3X3X2=(8(個二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0,同上可知共有3X2=6(個偶函數(shù)答案：186考點三 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用［典例精析］TOC\o"1-5"\h\z11如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個 _區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)—— -一為1 |「丫匚|A.24 B.48C.72 D.9612如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是1A.48 B.18C.24 D.3613如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是1A.60 B.48C.36 D.24［解析］11分兩種情況:@A,C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B,D各有1種，有4X3X2=24種涂法@A,C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B,D各有2種，有4X3X2X2=48種涂法故共有24+48=72種涂色方法.12第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2X12=241個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24+12=361個）.13長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6X6=36，另含4個頂點的6個面1非表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6X2=12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36+12=48.［答案］11）C12）D13）B［解題技法］1.利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路11弄清完成一件事是做什么.12確定是先分類后分步，還是先分步后分類.13弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.14利用兩個計數(shù)原理求解.2.涂色、種植問題的解題關(guān)注點和關(guān)鍵11關(guān)注點：首先分清元素的數(shù)目，其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素12關(guān)鍵：是對每個區(qū)域逐一進(jìn)行，選擇下手點，分步處理［題組訓(xùn)練］TOC\o"1-5"\h\z.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求.. ,相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有 種. |I解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用， ;，這時A有4種涂法,B有3種涂法，C有2種涂法,D有1種涂法，共有4X3X2X1=241^涂法；二是用3種顏色，這時A,B,C的涂法有4X3X2=241種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24+24X2=721種）.答案：72.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有個1用數(shù)字作答）. .一解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三：.角形共有8X4=321個）.第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個.由分類加法計數(shù)原理知，共有32+8=401個）.答案：40［課時跟蹤檢測］A級.集合P={x,1},Q=』,1,2},其中x,歹￡{1,2,3,…，9},且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對反,歹作為一個點的坐標(biāo)，則這樣的點的個數(shù)是1

A.9C.15A.9C.15D.21解析：選B當(dāng)x=2時，xWy，點的個數(shù)為1*7=7.當(dāng)xW2時，丁尸Q,?,尸y.」.x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.因此滿足條件的點共有7+7=141個）..某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為1A.504 B.210C.336 D.120解析：選A分三步，先插第一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法.故共有7X8X9=504種不同的插法..已知兩條異面直線a,b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為1A.40 B.16C.13 D.10解析：選C分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8+5=13個不同的平面..從集合｛1,2,3,4,…，10｝中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集有1A.32個 B.34個C.36個 D.38個解析：選A將和等于11的放在一組：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.從每一小組中取一個，有。2=21種）.共有2X2X2X2X2=321個子集..從集合｛123,???，10｝中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為1A.3 B.4C.6 D.8解析：選D當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可，也有4個.故共有8個為1,3,9；當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為，也有4個.故共有8個OnnnD12D34ACB9.將1,2,3,…，9這9個數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為1A.6種 B.12種C.18種 D.24種解析：選A根據(jù)數(shù)字的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5,6,7,8這4個數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5,6,7這3個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個位置固定，此時共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法.7.12019郴州模擬用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有1A.4320種 B.2880種D.720種C.1440D.720種解析：選A分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6X5X4X3X3X4=43201種不同的涂色方法.8.12019惠州調(diào)研我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”1如2013是“六合數(shù)”，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有1A.18個 B.15個C.12個 D.9個解析：選B由題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)，十位數(shù)，個位數(shù)之和觸4,0,0組成3個數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031由2,2,0組成3個數(shù)，分別卻20,202,022；由2,1,1組成3個數(shù)，分別為211,121,112,共有3+6+3+3=151個）.9.在某一運動會百米決賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有種.解析：分兩步安排這8名運動員.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排.故安排方式有4X3X2二24（種）.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有5X4X3X2X（=（20（種）.故安排這8人的方式共有24X（20=2880（種）.答案：2880（0.有A,B,C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有種（用數(shù)字作答）.解析：由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個操作人員中選3人去操作這三種型號的電腦”這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：第（類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號，有2X2=4種方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人分別去操作這三種型號的電腦，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人分別去操作這三種型號的電腦，只有（種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有（種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有4+2+（+（=8種選派方法.答案：8B級（.把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有（A.24種 B.4種C.43種 D.34種解析：選C第（封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法.只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種投法.2.用數(shù)字0,（,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（A.（44個 B.（20個C.96個 D.72個

解析：選B由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當(dāng)萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2X4X3X2=48個偶數(shù)；當(dāng)萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有3X4X3X2=72個偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有48+72=1201個）.3.如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有1A.24種 B.72種C.84種 D.120種解析：選C如圖，設(shè)四個直角三角形順次為A,B,C,D，按A一BC-D順序涂色，下面分兩種情況：11A,C不同色E主意：B,D可同色、也可不同色，D只要不與A,C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色：有4X3X2X2=48種不同的涂法.12A,C同色E主意：B,D可同色、也