數(shù)學基礎(chǔ)多項式矩陣理論

數(shù)學基礎(chǔ)多項式矩陣理論第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五奇異和非奇異：對方多項式而言，Q(s)線性相關(guān)和線性無關(guān)：對象是有理分式域中的一組多項式向量

第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五注意：第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五秩：與通常矩陣秩的定義相同第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五單模矩陣：一類特殊的多項式矩陣方陣，非奇異方多項式矩陣Q(s)，若detQ(s)是獨立于s的一個非零常數(shù)，則稱其為單模矩陣。性質(zhì)：（1）Q(s)為單模陣Q(s)的逆也是多項式矩陣；（2）Q(s)為單模陣Q(s)非奇異；（3）單模矩陣的逆陣也是單模矩陣；（4）單模矩陣的乘積也是單模矩陣。第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五初等變換：（1）行（列）交換；（2）用一非零實或復(fù)數(shù)乘以某行或列；（3）用某行（列）乘以一個多項式加到另一行（列）上注：（1）初等行（列）變換初變換的矩陣Q(s)左乘（右乘）初等矩陣；（2）初等矩陣都是單模矩陣；（3）對Q(s)進行一系列初等變換，相當于Q(s)左乘和（或）右乘單模矩陣；（4）單模矩陣可以分解成同維的初等矩陣的乘積，反之，初等矩陣的乘積為同維的單模矩陣。第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五7.7埃爾米特形多項式矩陣的規(guī)范形之一。Hermite形的特征，見書；化為Hermite的算法：只通過一系列的行初等運算即可化為行Hermite形，即性質(zhì)：對多項式矩陣做行（列）初等運算，不改變其Hermite形

第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五7.8公因子和最大公因子一.公因子的定義相同列數(shù)的兩個多項式矩陣間可以定義右公因子(是多項式矩陣).假定N(s)和D(s)列數(shù)相同,若則R(s)稱為N(s)和D(s)的右公因子.相同行數(shù)的兩個多項式矩陣間可以定義左公因子(是多項式矩陣).假定B(s)和A(s)行數(shù)相同,若

則Q(s)稱為B(s)和A(s)的左公因子.第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五二.gcd(最大公因子)的定義gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一個右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一個其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)則稱R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一個左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一個其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)則稱Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五三.如何求gcd

以gcrd為例.第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五Why:第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五三.Gcd的性質(zhì)以gcrd為例(1)gcrd不唯一.

若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是單模矩陣,

則W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五(2)D(s),N(s)的所有g(shù)crd在非奇異性和單模性上相同,即若R1(s)是D(s),N(s)的一個gcrdR2(s)也是D(s),N(s)的一個gcrd

則R1(s)非奇異R2(s)非奇異

R1(s)單模R2(s)單模(3)(4)gcrdR(s)可表示為R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多項式元的次數(shù)可以高于D(s),N(s)元多項式的次數(shù).第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五7.9互質(zhì)性一.右互質(zhì)和左互質(zhì)D(s)和N(s)列數(shù)相同,可以定義gcrd.若gcrd為單模陣,則稱D(s)和N(s)右互質(zhì).A(s)和B(s)行數(shù)相同,可以定義gcld.若gcld為單模陣,則稱A(s)和B(s)左互質(zhì).二.右互質(zhì)判據(jù)判據(jù)1:貝佐特等式判據(jù)D(s),N(s)右互質(zhì)存在X(s),Y(s)多項式矩陣使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五證明:必要性:已知D(s),N(s)右互質(zhì)，證等式成立充分性：等式成立，證D(s),N(s)右互質(zhì)令R(s)為D(s),N(s)的一個gcrd.只要證R(s)單模。

第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五判據(jù)2：秩判據(jù)判據(jù)3：非右互質(zhì)判據(jù)第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五三.Gcrd構(gòu)造關(guān)系式的一個性質(zhì)第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五7.10列次數(shù)和行次數(shù)一.次數(shù)多項式的次數(shù)：多項式向量的次數(shù)：所有元多項式中，s的最高冪次。多項式矩陣中，有列次數(shù)（列向量的次數(shù)）和行次數(shù)（行向量的次數(shù)）之分。第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五列次數(shù)行次數(shù)第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五二.多項式矩陣的列（行）次表示式1.列次表示式上例中的M(s)可表示為一般地，第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五2.行次表示式第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五7.11

既約性一.既約性的定義此處是對非奇異多項式矩陣定義的，方陣（可推廣至非方）。M(s)列既約：M(s)行既約：注：列既約和行既約之間無必然的聯(lián)系；M(s)為對角陣時，列既約等價于行既約。二.既約性判據(jù)如果已求出detM(s),則可利用定義判斷；利用列（行）次表示式第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五三.非既約矩陣的既約化通過左乘或右乘單模矩陣