數(shù)學建模方法回歸分析

數(shù)學建模方法回歸分析第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五一元線性回歸多元線性回歸回歸分析數(shù)學模型及定義*模型參數(shù)估計*檢驗、預(yù)測與控制可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）數(shù)學模型及定義*模型參數(shù)估計逐步回歸分析*多元線性回歸中的檢驗與預(yù)測第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五一、數(shù)學模型例1

測16名成年女子的身高與腿長所得數(shù)據(jù)如下：以身高x為橫坐標，以腿長y為縱坐標將這些數(shù)據(jù)點（xi，yi）在平面直角坐標系上標出.散點圖解答第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五一元線性回歸分析的主要任務(wù)是：第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五二、模型參數(shù)估計1．回歸系數(shù)的最小二乘估計第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五

其中??====niiniiynyxnx111,1，??====niiiniiyxnxyxnx11221,1.第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五三、檢驗、預(yù)測與控制1．回歸方程的顯著性檢驗第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五（Ⅰ）F檢驗法

（Ⅱ）t檢驗法第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五（Ⅲ）r檢驗法第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五2．回歸系數(shù)的置信區(qū)間第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五3．預(yù)測與控制（1）預(yù)測第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五（2）控制第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五四、可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）例2出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增大.我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān)系.對一鋼包作試驗，測得的數(shù)據(jù)列于下表：解答第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五散點圖此即非線性回歸或曲線回歸

問題（需要配曲線）配曲線的一般方法是：第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五通常選擇的六類曲線如下：第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五一、數(shù)學模型及定義第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五二、模型參數(shù)估計解得估計值()()YXXXTT1?-=b第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五三、多元線性回歸中的檢驗與預(yù)測

（Ⅰ）F檢驗法（Ⅱ）r檢驗法(殘差平方和)第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五2．預(yù)測（1）點預(yù)測（2）區(qū)間預(yù)測第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五四、逐步回歸分析（4）“有進有出”的逐步回歸分析.（1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者；（2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子；（3）從一個變量開始，把變量逐個引入方程；選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法：

“最優(yōu)”的回歸方程就是包含所有對Y有影響的變量,而不包含對Y影響不顯著的變量回歸方程.以第四種方法，即逐步回歸分析法在篩選變量方面較為理想.第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五這個過程反復進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止.逐步回歸分析法的思想：從一個自變量開始，視自變量Y對作用的顯著程度，從大到小地依次逐個引入回歸方程.當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉.引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步.對于每一步都要進行Y值檢驗，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對Y作用顯著的變量.第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計工具箱中的回歸分析命令1．多元線性回歸2．多項式回歸3．非線性回歸4．逐步回歸第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五多元線性回歸

b=regress(Y,X)1．確定回歸系數(shù)的點估計值：第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五3．畫出殘差及其置信區(qū)間：

rcoplot（r，rint）2．求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時為0.05）第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五例1解：1．輸入數(shù)據(jù)：x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';X=[ones(16,1)x];Y=[8885889192939395969897969899100102]';2．回歸分析及檢驗：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b,bint,statsToMATLAB(liti11)題目第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五3．殘差分析，作殘差圖：

rcoplot(r,rint)從殘差圖可以看出，除第二個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型

y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個數(shù)據(jù)可視為異常點.4．預(yù)測及作圖：

z=b(1)+b(2)*plot(x,Y,'k+',x,z,'r')ToMATLAB(liti12)第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五多項式回歸（一）一元多項式回歸

（1）確定多項式系數(shù)的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m）（2）一元多項式回歸命令：polytool（x，y，m）1．回歸：y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+12．預(yù)測和預(yù)測誤差估計：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項式在x處的預(yù)測值Y；（2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）

求polyfit所得的回歸多項式在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA；alpha缺省時為0.5.±第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五法一直接作二次多項式回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];[p,S]=polyfit(t,s,2)ToMATLAB（liti21）得回歸模型為：第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五法二化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];T=[ones(14,1)t'(t.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T);b,statsToMATLAB(liti22)得回歸模型為：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')預(yù)測及作圖ToMATLAB(liti23)第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五（二）多元二項式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05）n維列向量第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五例3

設(shè)某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下，建立回歸模型，預(yù)測平均收入為1000、價格為6時的商品需求量.法一直接用多元二項式回歸：x1=[10006001200500300400130011001300300];x2=[5766875439];y=[10075807050659010011060]';x=[x1'x2'];rstool(x,y,'purequadratic')第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”,則beta．rmse和residuals都傳送到MATLAB工作區(qū)中.將左邊圖形下方方框中的“800”改成1000，右邊圖形下方的方框中仍輸入6.則畫面左邊的“PredictedY”下方的數(shù)據(jù)由原來的“86.3791”變?yōu)?8.4791，即預(yù)測出平均收入為1000．價格為6時的商品需求量為88.4791.第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五在MATLAB工作區(qū)中輸入命令：beta,rmseToMATLAB(liti31)第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)果為:b=110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats=0.970240.66560.0005法二ToMATLAB(liti32)返回將化為多元線性回歸：第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五非線性回歸（1）確定回歸系數(shù)的命令：

[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）1．回歸：殘差Jacobi矩陣回歸系數(shù)的初值事先用M文件定義的非線性函數(shù)估計出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)x．y分別為矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量.2．預(yù)測和預(yù)測誤差估計：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit

或lintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯著性水平為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA.±第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五例4

對第一節(jié)例2，求解如下：2．輸入數(shù)據(jù)：

x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];

beta0=[82]';3．求回歸系數(shù)：

[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；

beta得結(jié)果：beta=11.6036-1.0641即得回歸模型為：ToMATLAB(liti41)題目第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五4．預(yù)測及作圖：

[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；

plot(x,y,'k+',x,YY,'r')ToMATLAB(liti42)第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五例5財政收入預(yù)測問題：財政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān).表中列出了1952─1981年的原始數(shù)據(jù)，試構(gòu)造預(yù)測模型.

解設(shè)國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口、固定資產(chǎn)投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財政收入為y，設(shè)變量之間的關(guān)系為：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解.第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五1．

對回歸模型建立M文件model.m如下:

functionyy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;

第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五2.

主程序liti6.m如下:X=[598.00349.00461.0057482.0020729.0044.00…………..2927.006862.001273.00100072.043280.00496.00];y=[184.00216.00248.00254.00268.00286.00357.00444.00506.00...271.00230.00266.00323.00393.00466.00352.00303.00447.00...564.00638.00658.00691.00655.00692.00657.00723.00922.00...890.00826.00810.0]';beta0=[0.50-0.03-0.600.01-0.020.35];betafit=nlinfit(X,y,'model',beta0)ToMATLAB(liti6）第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五

betafit=0.5243-0.0294-0.63040.0112-0.02300.3658即y=0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6結(jié)果為:第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五逐步回歸逐步回歸的命令是：

stepwise（x，y，inmodel，alpha）運行stepwise命令時產(chǎn)生三個圖形窗口：StepwisePlot，StepwiseTable，StepwiseHistory.在StepwisePlot窗口，顯示出各項的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間.StepwiseTable

窗口中列出了一個統(tǒng)計表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計量剩余標準差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對應(yīng)的概率P.矩陣的列數(shù)的指標，給出初始模型中包括的子集（缺省時設(shè)定為全部自變量）顯著性水平（缺省時為0.05）自變量數(shù)據(jù),

階矩陣因變量數(shù)據(jù)，階矩陣第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五例6

水泥凝固時放出的熱量y與水泥中4種化學成分x1、x2、x3、x4

有關(guān)，今測得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個線性模型.1．數(shù)據(jù)輸入：x1=[7111117113122111110]';x2=[26295631525571315447406668]';x3=[615886917221842398]';x4=[6052204733226442226341212]';y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]';x=[x1x2x3x4];第45頁，共51頁，2023年，2月20日，星期五2．逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：

stepwise(x,y)得圖StepwisePlot

和表StepwiseTable圖Stepw