數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計(jì)模型

數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計(jì)模型1第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五線性回歸實(shí)例選講－－牙膏的銷售量

1.問題建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型;預(yù)測在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量.收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價(jià).9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其他廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期2第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五明確問題一牙膏的銷售量確定關(guān)系：牙膏銷售量——價(jià)格、廣告投入內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析常用模型回歸模型×數(shù)學(xué)原理軟件30個銷售周期數(shù)據(jù)：銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用、同類產(chǎn)品均價(jià)銷售周期公司價(jià)(元)它廠價(jià)(元)廣告(百萬元)價(jià)差(元)銷售量(百萬支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51………………293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.263第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五2.基本模型x2yx1yy~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價(jià)格差x2~公司廣告費(fèi)用解釋變量(回歸變量,自變量)被解釋變量（因變量）

多元回歸模型4第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五Matlab統(tǒng)計(jì)分析rcoplot(r,rint)殘差及其置信區(qū)間作圖MATLAB7.0版本s增加一個統(tǒng)計(jì)量:剩余方差s2[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)statisticstoolbox解釋變量：矩陣顯著性水平：0.05

系數(shù)估計(jì)值

置信區(qū)間

殘差向量y-xb

置信區(qū)間

被解釋變量：列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：R2,F,p隨機(jī)誤差：正態(tài)分布均值為零回歸系數(shù)x=3.模型求解由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)x=[ones(size(x1)),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)程序5第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五4.結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123,故x22項(xiàng)顯著但可將x2保留在模型中即：y的90.54%可由模型確定、F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值、p遠(yuǎn)小于=0.05顯著性：整體顯著x2

：2置信區(qū)間包含零點(diǎn),但右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近

——x2對因變量y的影響不太顯著；3

顯著6第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7(百萬支)銷售量預(yù)測價(jià)差x1=它廠價(jià)x3-公司價(jià)x4估計(jì)x3，調(diào)整x4控制x1預(yù)測y得則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上7第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五5.模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2對y的影響有交互作用比較：置信區(qū)間,R28第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五比較:兩模型銷售量預(yù)測控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元(百萬支)區(qū)間[7.8230，8.7636]區(qū)間[7.8953，8.7592](百萬支)預(yù)測區(qū)間長度更短

略有增加

9第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五x2=6.5x1=0.2x1x1x2x26.比較:兩模型與x1,x2的關(guān)系10第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五討論：交互作用影響價(jià)格差x1=0.1價(jià)格差x1=0.3廣告投入y

（x2大于6百萬元）價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大x2價(jià)格優(yōu)勢y

價(jià)格差較小廣告作用大x1x211第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五多元二項(xiàng)式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）n維列向量12第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五完全二次多項(xiàng)式模型MATLAB中有命令rstool直接求解從輸出Export可得鼠標(biāo)移動十字線(或下方窗口輸入)可改變x1,x2,左邊窗口顯示預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間Rstool(x,y,’model’,alpha,’xname’,’yname’)13第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五牙膏的銷售量建立統(tǒng)計(jì)回歸模型的基本步驟根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識和經(jīng)驗(yàn)分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數(shù)形式(先取盡量簡單的形式).用軟件(如MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱)求解.對結(jié)果作統(tǒng)計(jì)分析:R2,F,p,s2是對模型整體評價(jià),

回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點(diǎn)檢驗(yàn)其影響的顯著性.

模型改進(jìn),如增添二次項(xiàng)、交互項(xiàng)等.對因變量進(jìn)行預(yù)測.14第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五非線性回歸實(shí)例選講－－酶促反應(yīng)

問題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中——嘌呤霉素(處理與否)——對反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響.酶促反應(yīng)由酶作為催化劑催化進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)生物體內(nèi)的化學(xué)反應(yīng)絕大多數(shù)屬于酶促反應(yīng)酶促反應(yīng)中酶作為高效催化劑使得反應(yīng)以極快的速度（103~1017倍）或在一般情況下無法反應(yīng)的條件下進(jìn)行酶是生物體內(nèi)進(jìn)行各種化學(xué)反應(yīng)最重要的因素15第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五建立數(shù)學(xué)模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系設(shè)計(jì)了兩個實(shí)驗(yàn)酶經(jīng)過嘌呤霉素處理酶未經(jīng)嘌呤霉素處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):底物濃度(ppm)0.020.060.11反應(yīng)速度處理764797107123139未處理6751848698115底物濃度(ppm)0.220.561.10反應(yīng)速度處處理131124144158160/方案16第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)嘌呤霉素處理xy未經(jīng)嘌呤霉素處理xyxy011/222

(半速度點(diǎn))分析Michaelis-Menten模型待定系數(shù)=(1

,2)基本模型酶促反應(yīng)的速度底物濃度酶促反應(yīng)的基本性質(zhì)底物濃度較小時(shí)，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；底物濃度很大、漸進(jìn)飽和時(shí)，反應(yīng)速度趨于固定值數(shù)據(jù)分析17第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五解決方案一：線性化模型

經(jīng)嘌呤霉素處理后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值（×10-3）置信區(qū)間（×10-3）15.107[3.5396.676]20.247[0.1760.319]R2=0.8557F=59.2975p<0.0001對1

,2非線性

對1,2線性

18第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五線性化模型結(jié)果分析

x較大時(shí)，y有較大偏差1/x較小時(shí)有很好的線性趨勢,1/x較大時(shí)出現(xiàn)很大的起落

1/y1/xxy線性化：參數(shù)估計(jì)時(shí)x較?。?/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參數(shù)的確定改進(jìn)：非線性模型19第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五beta的置信區(qū)間[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)回歸分析：非線性statisticstoolbox解釋變量：矩陣模型的函數(shù)M文件名參數(shù)估計(jì)值殘差參數(shù)初值被解釋變量：列估計(jì)預(yù)測誤差的Jacobi矩陣betaci=nlparci(beta,R,J)解決方案二：非線性化模型

MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

20第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)%beta的置信區(qū)間MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

functiony=f1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x==…………;y=…………;beta0=[195.80270.04841];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’f1’,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betacibeta0~線性化模型估計(jì)結(jié)果Matlab程序21第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五半速度點(diǎn)(達(dá)到最終速度一半時(shí)的底物濃度x值

)為o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果

非線性模型結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1212.6819[197.2029，228.1609]20.0641[0.04570.0826]其他輸出命令nlintool給出交互畫面最終反應(yīng)速度為給出交互畫面拖動畫面的十字線，得y的預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間畫面左下方的Export輸出其它統(tǒng)計(jì)結(jié)果。剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.933722第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響,用未經(jīng)嘌呤霉素處理的模型附加增量的方法?；旌戏磻?yīng)模型底物濃度示性變量x2示性變量：x2=1表示經(jīng)過處理，x2=0表示未經(jīng)處理未經(jīng)處理的最終反應(yīng)速度經(jīng)處理后最終反應(yīng)速度增長值未經(jīng)處理的反應(yīng)的半速度點(diǎn)經(jīng)處理后反應(yīng)的半速度點(diǎn)增長值23第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五用nlinfit和nlintool命令參數(shù)初值：基于對數(shù)據(jù)的分析

o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果估計(jì)結(jié)果和預(yù)測剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.4000參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1160.2802[145.8466174.7137]20.0477[0.03040.0650]152.4035[32.413072.3941]20.0164[-0.00750.0403]2置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明2對因變量y的影響不顯著經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點(diǎn)參數(shù)未經(jīng)處理經(jīng)處理混合模型求解24第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五簡化的混合模型

估計(jì)結(jié)果和預(yù)測參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1166.6025[154.4886178.7164]20.0580[0.04560.0703]142.0252[28.941955.1085]簡化的混合模型形式簡單參數(shù)置信區(qū)間不含零點(diǎn)剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.5851，比一般混合模型略大o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果未經(jīng)處理經(jīng)處理25第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)際值一般模型預(yù)測值Δ(一般模型）簡化模型預(yù)測值Δ(簡化模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478……………191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812簡化混合模型的預(yù)測區(qū)間較短，更為實(shí)用、有效.預(yù)測區(qū)間為預(yù)測值Δ一般混合模型與簡化混合模型預(yù)測比較.結(jié)果分析26第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五酶促反應(yīng)評注注：非線性模型擬合程度的評價(jià)無法直接利用線性模型的方法，但R2與s仍然有效。反應(yīng)速度與底物濃度的關(guān)系非線性關(guān)系求解線性模型求解非線性模型機(jī)理分析嘌呤霉素處理與否對反應(yīng)速度與底物濃度關(guān)系的影響混合模型發(fā)現(xiàn)問題，得參數(shù)初值引入0-1變量簡化模型檢查參數(shù)置信區(qū)間是否包含零點(diǎn)27第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五先用線性模型來簡化參數(shù)估計(jì)，但由于變量的代換已經(jīng)隱含了誤差擾動項(xiàng)的變換，因此，除非變換后的誤差項(xiàng)仍具有常數(shù)方差，一般情況下我們還需要采用原始數(shù)據(jù)做非線性回歸，而把線性化模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果作為非線性模型參數(shù)估計(jì)的迭代初值。28第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型三軟件開發(fā)人員的薪金薪金——資歷、崗位、學(xué)歷建立模型：分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考資歷~從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理~1=管理人員，0=非管理人員；教育~1=中學(xué)，2=大學(xué)，3=更高程度46名軟件開發(fā)人員的檔案資料

編號薪金資歷管理教育01138761110211608103……………451920717024619346200129第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型假設(shè)假設(shè)：y~薪金，x1~資歷（年）

x2=1~管理人員，0~非管理人員1~中學(xué)2~大學(xué)3~更高？假設(shè)：資歷每加一年薪金的增長是常數(shù)；管理、教育、資歷之間無交互作用教育=模型：線性回歸回歸系數(shù)隨機(jī)誤差中學(xué)：x3=1,x4=0；大學(xué)：x3=0,x4=1；更高：x3=0,x4=030第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型求解

x1~資歷(年)

x2=

1~管理，0~非管理中學(xué)：x3=1,x4=0;大學(xué)：x3=0,x4=1;更高：x3=0,x4=0Matlab程序:xinjindata.mxinjin.m

xinjindata.m：序號、工資y、資歷x1、管理x2、學(xué)歷、x3、x4、xx

xinjin.m：M=dlmread('xinjindata.m');x1=M(:,3);x2=M(:,4);x3=M(:,6);x4=M(:,7);y=M(:,2);x=[ones(size(x1))x1x2x3x4][b,bi,r,ri,s]=regress(y,x)31第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五R2,F,p模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546管理人員薪金多6883中學(xué)程度薪金比更高的少2994大學(xué)程度薪金比更高的多148

a4置信區(qū)間包含零點(diǎn)解釋不可靠!結(jié)果參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a011032[1025811807]a1546[484608]a26883[62487517]a3-2994[-3826-2162]a4148[-636931]R2=0.957F=226p=0.00032第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)果分析殘差分析法殘差

與資歷x1的關(guān)系殘差大概分成3個水平6種管理—教育組合混在一起，未正確反映33第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

與管理x2—教育x3、x4的關(guān)系殘差全為正，或全為負(fù)，管理—教育組合處理不當(dāng)應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3,x4的交互項(xiàng)組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合殘差分析34第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型改進(jìn)增加管理x2與教育x3,x4的交互項(xiàng)R2,F有改進(jìn)回歸系數(shù)置信區(qū)間不含零點(diǎn)模型可用參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a011204[1104411363]a1497[486508]a27048[68417255]a3-1727[-1939-1514]a4-348[-545–152]a5-3071[-3372-2769]a61836[15712101]R2=0.999F=554p=0.000Matlab:xinjin3.m35第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五消除了不正常現(xiàn)象異常數(shù)據(jù)(33號)去掉殘差分析e~x1

e~組合36第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五去掉異常數(shù)據(jù)后的結(jié)果模型改進(jìn)R2：0.9570.9990.9998F：226

55436701置信區(qū)間長度更短參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a011200[1113911261]a1498[494503]a27041[69627120]a3-1737[-1818-1656]a4-356[-431–281]a5-3056[-3171–2942]a61997[18942100]R2=0.9998F=36701p=0.000037第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五殘差分析殘差圖正常模型的結(jié)果可以應(yīng)用

~x1

~組合38第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型應(yīng)用制訂基礎(chǔ)薪金資歷為0：x1=

0管理—教育組合：6種大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低組合管理教育系數(shù)基礎(chǔ)薪金101非管理+中學(xué)a0+a39463211管理+中學(xué)a0+a2+a3+a513448302非管理+大學(xué)a0+a410844412管理+大學(xué)a0+a2+a4+a619882503非管理+更高a011200613管理+更高a0+a218241教育1中學(xué)：x3=1,x4=02大學(xué)：x3=0,x4=13更高：x3=0,x4=039第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五評注對定性因素：如管理、教育可以引入0-1變量處理0-1變量的個數(shù)應(yīng)比定性因素的水平少1殘差分析：可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷引入交互作用項(xiàng)常常能夠改善模型剔除：異常數(shù)據(jù)有助于得到更好的結(jié)果另：可以直接對6種管理—教育組合引入5個0-1變量40第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)過程是研究隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)演變過程規(guī)律性的學(xué)科廣泛地應(yīng)用于通信、控制、生物、地質(zhì)、經(jīng)濟(jì)、管理、能源、氣象等許多領(lǐng)域馬氏鏈(MarkovChain)模型：時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程系統(tǒng)在每個時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）隨機(jī)過程實(shí)例選講－－馬氏鏈模型41第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型一健康與疾病人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變保險(xiǎn)公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計(jì),以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)設(shè)對特定年齡段的人今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7若某人投保時(shí)健康,問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率問題142第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五在一個離散時(shí)間集合T={0,1,2,…}和一個有限或可列無窮的狀態(tài)空間S={1,2,…}上，一個隨機(jī)過程在任一時(shí)刻從一個狀態(tài)以一定的概率向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移（或保持原狀態(tài)不變）。記Xn為時(shí)刻n時(shí)時(shí)刻過程所處的狀態(tài)，n＝1,2,…，假定：在時(shí)刻0,過程所處的狀態(tài)X0是S上的一個隨機(jī)變量；在任一時(shí)刻n，給定X0，…

，

Xn-1，

Xn時(shí)，Xn＋1的條件分布只與Xn有關(guān)，而與X0，…

，

Xn-1無關(guān)。滿足上述條件的隨機(jī)過程為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。馬氏鏈43第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五醉鬼在路中央，向前一步的概率為p,向后退一步的概率為1-p,他的運(yùn)動是一種隨機(jī)走動，是一種馬爾可夫鏈。狀態(tài)空間S={0,±1,±2,…}無限狀態(tài)馬氏鏈。一只荷蘭豬在一個分成四個房間的籠子里隨機(jī)運(yùn)動，當(dāng)它在任一時(shí)刻、處于任一房間是地，在下一時(shí)刻的概率為1/3，是一種馬爾可夫鏈。狀態(tài)空間S={1,2,3,4}44第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型給定a(0)預(yù)測

a(n),n=1,2…0.80.20.30.7健康患病狀態(tài)：轉(zhuǎn)移：轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移概率今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病45第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五狀態(tài)符號分析已知狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移方程可見：

Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,…無關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性46第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五n=input('n=')A=zeros(2,n+1);A(1,1)=input('a01=');A(2,1)=1-A(1,1);fori=1:nA(1,i+1)=0.8*A(1,i)+0.7*A(2,i);A(2,i+1)=0.2*A(1,i)+0.3*A(2,i);endA數(shù)值分析p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病47第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五n時(shí)：狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)設(shè)投保時(shí)n0123……∞健康a1(n)10.80.780.778……7/9a2(n)00.20.220.222……2/9疾病a1(n)00.70.770.777……7/9a2(n)10.30.230.223……2/9結(jié)果狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移概率48第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五狀態(tài)健康和疾病：Xn=1~健康,Xn=2~疾病第3種狀態(tài)：死亡Xn=3已知：p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1若某人投保時(shí)健康,問n年后各狀態(tài)的概率問題249第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型0.10.0210.80.180.250.65狀態(tài)：轉(zhuǎn)移：轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移概率健康患病死亡50第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五n=input('n=')A=zeros(3,n+1);A(1,1)=input('a01=');A(2,1)=input('a02=');A(3,1)=1-A(1,1)-A(2,1);fori=1:nA(1,i+1)=0.8*A(1,i)+0.65*A(2,i)+0*A(3,i);A(2,i+1)=0.18*A(1,i)+0.25*A(2,i)+0*A(3,i);A(3,i+1)=0.02*A(1,i)+0.1*A(2,i)+1*A(3,i);endA51第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測a(n),n=1,2…分析初始狀態(tài)最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3

一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。n0123……50……∞a1(n)10.80.7570.7285……0.1293……0a2(n)00.180.1890.1835……0.0326……0a3(n)00.020.0540.0880……0.8381……152第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五理論狀態(tài)基本方程馬氏鏈的基本方程狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移概率53第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

1、正則鏈馬氏鏈的兩個重要類型任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)w~穩(wěn)態(tài)概率例1：特征向量定義對于馬氏鏈，若存在一正整數(shù)N，使其轉(zhuǎn)移矩陣的N次冪MN>0（每一分量均大于0），則稱此馬爾鏈為一正則（regular）鏈。54第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五存在吸收狀態(tài)一旦到達(dá)就不會離開的狀態(tài)且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)

2、吸收鏈有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣：n-r個非吸收狀態(tài)有r個吸收狀態(tài)55第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五模型二鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售售量很小商店的庫存量不大以免積壓資金一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)：平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略每周末檢查庫存量僅當(dāng)庫存量為零時(shí)，才訂購3架供下周銷售否則，不訂購。問題：估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。背景與問題56第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五分析與假設(shè)需求：顧客的到達(dá)相互獨(dú)立需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定計(jì)算不同的需求概率失去銷售機(jī)會：需求超過庫存動態(tài)過程概率存貯策略：周末庫存量為零時(shí)訂購3架,周初到貨；否則，不訂購周末的庫存量：0,1,2,3周初的庫存量：1,2,3共三種狀態(tài)用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性在穩(wěn)態(tài)情況下——時(shí)間充分長以后計(jì)算該存貯策略失去銷售機(jī)會的概率、每周的平均銷售量動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會（需求超過庫存）的概率不同.57第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律模型Dn~第n周需求量：泊松分布

狀態(tài)變量：Sn~第n周初庫存量均值為1需求量需求量進(jìn)貨量狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣58第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五則計(jì)算Dn~第n周需求量，均值為1