耦合波導(dǎo)理論

第二章線性電光效應(yīng)的耦合波理論2001年，She等人提出一種全新的理論，它從麥克斯韋方程出發(fā)，考慮二階非線性極化強(qiáng)度（也就是只考慮線性電光效應(yīng)），忽略其余高階極化強(qiáng)度，推出關(guān)于線性電光效應(yīng)的耦合波方程，得到在電場作用下的晶體中光的兩個獨(dú)立電場分量的解析解。這種方法，可運(yùn)用于研究光在任意一個方向的電場作用下沿任意方向傳播的各種線性電光效應(yīng)的情況，并且不單可以用于研究光的振幅調(diào)制，也可以容易去解決光的相位調(diào)制問題。另外對于給定的一個晶體（點(diǎn)群），能根據(jù)需要利用該理論進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。這全新的耦合波理論相對折射率橢球理論來說，它的物理圖象清晰，得到的結(jié)果是解析解，不用再作任何數(shù)學(xué)變換。我們不單可以方便地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，而且也可用于電光調(diào)制器等電光器件性能的分析。它的出現(xiàn)拓展電光材料的選擇范圍和優(yōu)化調(diào)制器的調(diào)制方式，從而引起了電光效應(yīng)研究領(lǐng)域內(nèi)新一輪的探索。2.1理論推導(dǎo)波在介質(zhì)中傳播時，能夠通過介質(zhì)內(nèi)的非線性極化而相互作用將導(dǎo)致形形色色的非線性光學(xué)現(xiàn)象，如高次諧波、參量轉(zhuǎn)換、受激散射等等。電光效應(yīng)就是其中的一種非線性光學(xué)現(xiàn)象。電（波）與光（波）的互作用，實(shí)質(zhì)上又可以看作是幾個處于不同波段的電磁波在非線性介質(zhì)中的波耦合過程，因此可以象非線性光學(xué)那樣，通過求解耦合波方程來獲得電光作用的有關(guān)知識。對于普克爾效應(yīng)，是入射波為光3）+電波@m）產(chǎn)生一個輸出光波（?+?m）的三波耦合過程。對于電光效應(yīng)，它涉及到的是光與物質(zhì)的相互作用，光是由麥克斯韋方程或場方程描述，物質(zhì)體系是由光學(xué)布洛方程描述。于是我們采用類似非線性光學(xué)方法，首先給出相應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度，把電場所感生的附加極化矢量當(dāng)成一個微擾量AP，再將它視為新的極化光源引入麥克斯韋波動方程，通過整理最后可得到相應(yīng)的耦合波方程。線性電光效應(yīng)耦合波理論就是以麥克斯韋波動方程為基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)推導(dǎo)出來的。我們可以由麥克斯韋方程組和物質(zhì)方程推導(dǎo)出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V*V*E()+竺地!"^2P*(t)

c2dt20dt2根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則，VxVxE=V(V?E)-V2E(2-2)這樣可得：82「fT-E(t)]d2Pnls(t)/、\o"CurrentDocument"V[V-E(t)]-V2E(t)+[8「刀=f―8^~)(2-3)3為介質(zhì)的相對介電張量，r0為真空中的磁導(dǎo)率，c為真空中的光速，E(t)為介質(zhì)中的總電場強(qiáng)度，Pnls(t)為只與電場強(qiáng)度E(t)有關(guān)的介質(zhì)非線性極化強(qiáng)度，暫不考慮旋光效應(yīng)。當(dāng)光尚方向傳播時，電場強(qiáng)度可分為平行和垂直于1的兩個分量，因?yàn)榇藭r光波理想化為單色平面電磁波，平行r的分量E〃(t)為零，所以我們只需保留E(f)垂直于傳播方向r上的分量E±(t)。在沒有自由電荷的均勻介質(zhì)中和在P<<￡oE的情況下，有V?E=0，這樣方程(2-3)可變?yōu)?-V2-V2E上(t)+1fW(2-4)其中在單色波近似下，外加電場后晶體中總的電場強(qiáng)度可表示為：―1_一E(t)=E(0)+[_E(o)e-s+c.c.](2-5)2E(0)為外加直流電場或頻率遠(yuǎn)小于o的低頻電場；c.c.表示電場的復(fù)共軛部分；將(2-5)式代入(2-4)式的左邊，可得：-V2E.(t)+82[m°)L=-2e&tV2E「o)-2竺周?E(o)]【e-血(2-6)由于電光晶體所產(chǎn)生的線性電光效應(yīng)比其所產(chǎn)生的二次電光效應(yīng)強(qiáng)得多，并且在實(shí)際應(yīng)用中常利用立方晶系晶體或均質(zhì)體來產(chǎn)生二次電光效應(yīng)，因此由電光品體產(chǎn)生的二次電光效應(yīng)就顯得不重要了。在這里我們只考慮線性電光效應(yīng)的貢獻(xiàn)，而認(rèn)為由于相位失配其它各二階非線性效應(yīng)以及更高階非線性效應(yīng)可以被忽略，所以在求解(2-4)式時，把非線性激勵項(xiàng)作為一種微擾來處理。所以有：1「，、Pnls(t)=P(2)(t)=2P(2)(o)e-iot+c.c.(2-7)是方程(2-4)式的右邊:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一^82P：LSG)=1目①2P(2)(①)e-s(2-8)\o"CurrentDocument"。8t22。^由(2-6)和(2-8)式，則式(2-4)可變?yōu)?\o"CurrentDocument"V2E(w)+竺B-E(w)]=―目。①2P(2)(①)(2-9)一般說來，在相位失配的情況下，頻率為W的單色平面波在各向異性晶體中傳播時沒有倍頻產(chǎn)生，電場可分為兩個相互正交的偏振分量E?w)，E2(w)，設(shè)K、K2分別為E1(w)，E2(?)所對應(yīng)的波矢，因此我們可定義:E(w)=E(w)+E(w)=E(r)e%.r+E(r)eKr(2-10)TOC\o"1-5"\h\z1212如果k=k，E(w)，E(w)分別表示光電場強(qiáng)度的兩個相互垂直的分量；如果1212k衛(wèi)k，E(w)，E(w)分別代表兩個折射率不同，在晶體的傳播中各自獨(dú)立的電1212場強(qiáng)度。例如，在各項(xiàng)異性晶體中E1(w)，E2(w)分別表示。光和e光的電場強(qiáng)度。故(2-9)式可變?yōu)椋簑2一，、_,、一一￡V2E(w)+一[U.E(w)]=—^w2P(2)(w)(2-11)j1c2j!10j1j=1,2線性電光效應(yīng)可以與二階電極化率張量X(2)聯(lián)系起來，應(yīng)只包含二階非線性極化強(qiáng)度，忽略高階的，其表達(dá)式為:(2-12)P(2)(w)=2s0X⑵(w，0):E(w)E(0)=2sX(2)(w，0):E(r)E(0)e.r+2sX⑵(w，0):E(r)E(0)e，k2.0102s0為真空中的介電常數(shù)，X⑵(w，0)為二階極化率張量。(2-12)另外以方面又有:V2[E(r)eikr]=[—k2E(r)+2ikdEi(r)+d2Ei(r)詢燈(2-13)drdr2在線性響應(yīng)和介質(zhì)無耗的情況下，偏振矢量和場振幅E(r)都是恒定的，與波通過介質(zhì)時所運(yùn)行的距離r無關(guān)。而在非線性響應(yīng)的情況下，即使介質(zhì)是無耗的，偏振矢量和場復(fù)振幅也都是r的函數(shù)。然而，因?yàn)榉蔷€性激勵項(xiàng)是作為對線性效應(yīng)

的一種微擾來處理的，因此我們可以認(rèn)為電場復(fù)振幅因子E（r）是1的慢變化函數(shù)。于是考慮慢變振幅近似竺也?k竺史，由式（2-4），（2-13）和c2=-^，我們dr2dr80七可以得到：ik。"空也+ikev冬1dr2drdrdr(2-14)①2①2=——z(2)(①，0):E(r)E(0)e"-一*⑵(①，0):E(r)E(0)皿C21C22在忽略離散效應(yīng)的情況下，我們記:E(r)=E(r)a(2-15)（2-16）E(r)=E(r)bE(0)=E0c我們分別用a、b來點(diǎn)乘方程(2-14(2-15)（2-16）dE1(r)-i①2a偵(2)(3,0):bcE(r)Eei^kr+i-^^a?*⑵"):acE(r)Edrkc220kc210dE2(r)-i①2b?*(2)(①，0):acE(r)Eei心+i①2b?*⑵(必，0):bcE(r)Edrk2c20k2c20其中Ak-k2—匕，對于無損耗介質(zhì)的，*⑵（。0）是實(shí)數(shù)且滿足全對稱性排列，即有：a*⑵（必，0）:bc-b?*（2）（必，0）:ac（2-17）設(shè)n設(shè)n，，n2分別為兩光波E，E2在介質(zhì)中的折射率，有:（2-18）（2-19）（2-20）k-nk-n—k（2-18）（2-19）（2-20）TOC\o"1-5"\h\z1101c2202c把(2-17)和(2-18)式代入方程組(2-16)，則該方程組變?yōu)椋篸E(r)kk,八、，、i-i0a?*⑵(—，0):bcE(r)EeiAkr+10a?*(2)(—，0):acE(r)Edrn20n10\o"CurrentDocument"dE(r)kk、——-i—0a?*(2)(—，0):bcE(r)EeiAkr+1—b?*⑵(—，0):bcE(r)Edrn210n220又有電光張量兀元/二階非線性極化率之間的關(guān)系:1，、*(2)(①，0)-—_(88)yjkl2jjkkjkl

,、,、,為有效電光系數(shù)，其表達(dá)式為:eff1eff2eff3r=￡(e8)(aybc)eff1jjkkjjkikij^dr=￡(88)(ayac)（2-21）eff2jjkkjjklklr=乙(e8)(bybc)eff3jjkkjjklklj,k,l2x(2)(—①，①，0)

jkl（2-21）8jj8kk又得dE(r)drdE(r)drdE(r)

——2—

drk—i—ar2neff1021k—i—arEE2n2eff1kEE(r)e&r—i—^rEE(r)1

ke-iAkr一i—卜rEE2（2-22）1(r)2(r)我們再令d1=d1=2TrfE01AkRd3=肅refE02d2=才rf211/k口d4=肅ref3E0.2（2-23）于是經(jīng)過（2-22）經(jīng)過整理最終可得耦合波方程組如下（2-24）匪1(r)=—idE(r)eiMr一idE(r)dr1221北Ir)=—idE(r)e-心一idE(r)dr31422.2線性電光效應(yīng)耦合波理論的應(yīng)用（2-24）在電光效應(yīng)的應(yīng)用問題上，主要存在兩個問題：第一是在確定了直流電場的方向、入射光的傳播方向以及電光張量元的情況下，如何得到出射光場的兩個相互正交的偏振分量E1（?）和E2@）的表達(dá)式?這在上節(jié)的基本理論的介紹中已經(jīng)詳細(xì)的分析過了。第二是關(guān)于調(diào)制深度的問題，即我們?nèi)绾卧谝粋€給定的直流電場下達(dá)到最大的調(diào)制深度？對于這問題，可以應(yīng)用線性電光效應(yīng)的耦合波方程組的普遍解來解決。它在電光調(diào)制方面的應(yīng)用，不單可以進(jìn)行縱向和橫向調(diào)制，而

且還可以進(jìn)行斜向調(diào)制。在解決問題的過程中可以看到，所有分析的關(guān)鍵是要算出有效電光系數(shù)ef1ef苛ef苛同之前的其他理論方法相比較，我們的方法簡單明了。不競可以分析單軸晶體，對雙軸晶體的問題也可以容易解決。現(xiàn)在我們按k0和k0兩種情)兄進(jìn)行分析。2.2.1k0時的分析對于強(qiáng)度調(diào)制，在以下兩種情兄中是k0的。一、光波沿單軸晶體的光軸傳播時七。。帶入式(2-21)、(2-23)，經(jīng)過整理得:kn^1(222kd工［(42k)csin2七。。帶入式(2-21)、(2-23)，經(jīng)過整理得:kn^1(222kd工［(42k)csin2ccos2](2-25)1k)ccos22csin2]k6k0,且旅界位1，2,3)，由式(2-25)則可算出d10，此種情兄不適用于耦合波方程組，不需要做進(jìn)一步討論。但對于弘不全為零的晶體，我們可以適當(dāng)調(diào)節(jié)角，使d10，而d2d40，此時可獲得最大的調(diào)制深度。(i)6kck0，取/4時有d2d40，這種情兄可以在32,3m，6m2的k對稱點(diǎn)群的晶系中實(shí)現(xiàn).(ii6kck0，使k(2kik)cktan2(2-26)26kckk就有d2d40，就可以在42m，4，3，32，3m，6，6m2對稱點(diǎn)群的晶體中實(shí)現(xiàn)。二、光波在無中心反演對稱性的立方晶體中傳播時43m和23對稱點(diǎn)群的晶體就是屬于沒有中心反演對稱性的立方晶體，它們的非零電光系數(shù)之間的關(guān)系為(2-27)同理，為了得到最大的振幅調(diào)制深度，必需找到d2-d4=0時的d1的最大值。運(yùn)用方程(2-21),(2-23)和(2-27)我們可以得到d=(2-27)同理，為了得到最大的振幅調(diào)制深度，必需找到d2-d4=0時的d1的最大值。運(yùn)用方程(2-21),(2-23)和(2-27)我們可以得到d=、”0凡r[c(ab+ab)+c(ab+ab)+c(ab+ab)]1263123322311331221(2-28)在a-a=1，b-b=1，c-c=1以及a-b=0的條件下，運(yùn)用拉格朗日乘法我們可以在d2-d4=0的情況下得到氣的最大值。如果直流電場的方向是任意的，就會有無窮多組(a,b,c)使得d1取到最大值；如果運(yùn)用無限條件c?a=1或者c?b=1，就可得到最小的半波電壓。2.2.2Rk。0時的分析當(dāng)Ak>>d時，i即光波稍偏離光軸傳播時，利用積分中值定理得電光效應(yīng)耦合波方程組近似為竺#=-idE(r)dr21dE(r)—才——=-idE(r)(2-29)方程組的解為E(o)=E(0)ei(k1-d2)rE2(①)=E2(0)ei(k2-d4)r(2-30)這與r=0時所得結(jié)果相同。對于相位調(diào)制，我們可取E(0)=0，或E(0)=0,reff1則有E(①)=E(0)ei(k1-d2)rE?(①)=0(2-31)R(①)=0E2(?)=E2(0)ei(k2-d4)r(2-32)當(dāng)Ak?d1時，振幅調(diào)制的結(jié)果是根據(jù)方程（2-29）計(jì)算的，由于方程不包含d,d3的項(xiàng)，所以對于電光強(qiáng)度調(diào)制，不需要考慮^,d3的值。相位調(diào)制的結(jié)果是根據(jù)（2-31）或（2-32）計(jì)算的，同樣不包含d，d的項(xiàng)，所以同樣不需要考慮d，131從方程（2-21）和（2-23），我們可以得到（2-33）（2-34）d=*0.0氣Z（ysin2甲+ycos2甲一2ysin甲cos甲）c221k2（2-33）（2-34）d=*0氣￡（n4ycos20cos2甲+n4ycos20sin0+n4ysin20-42n01k02ke3k2kn2n2ysin20sin甲一n2n邛sin20cos甲+n2n2ycos20）c如果是雙軸品體的情況，設(shè)n，n，n分別為晶體的三個主折射率，兩個獨(dú)立的尤yz偏振分量的單