兩曲線間距離

寧夏銀川一中2021屆第四次月考兩曲線間距離問題若羽a,b均為任意實(shí)數(shù)，且(a+2"+(b-3)2=1,則(％-a)2+(ln%-b)2的最小值為A.3-J2 B.18 C.3J2-1 D.19-皈答案：D解法一：不等式記圓心(-2,3)到曲線f(x)=ln%的距離最小值為d,(%—lnx+5)2故d2=(x+2)2+(lnx—3)2> 2 18當(dāng)且僅當(dāng)x+2=lnx-3和x-lnx=1同時(shí)成立，即x=1時(shí)取等號(hào)故圓上的(a,b)到曲線f(x)=lnx的距離最小值為3亞-1綜上，(x-a)2+(lnx-b)2的最小值為包2-1)2=19-6<2.解法二：直接法記圓心(-2,3)到曲線f(x)=lnx的距離最小值為d,故d2=f(x)=(x+2)2+(lnx-3)2=x2+4x+4+ln2x-6lnx+9知，f(x)=2x+4+匣%-6xx乂f"(x)=2x2-2lnx+8x22 4(x+<)(x-\')令g(x)=2x2-2lnx+8,有g(shù)f(x)=4x-_=x x知g，(』)=0,0<x<<2,g,(x)<0,x〉匕g,(x)>02 2 2故f以x)=g(<E)=9+1n2>0，故f(x)單調(diào)增min2而f，(1)=0,知0<x<1,f，(x)<0,x>1,f，(x)>0綜上可知，d2i=18，得di=1"2,所求最小值為(d -1)2=(3?！?)2=19—6<2.min解法三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)點(diǎn)C(-2,3)P(x0,lnx0)在曲線f(x)=Inx上，點(diǎn)Q(a,b)在圓C:(x+2)2+(y-3)2=1上，則(x-a)2+(Inx-b)2其幾何意義為|PQ|2,min又|PQ2>|PM|2=(|PC-1)2如下圖2，PN為過點(diǎn)P的切線，當(dāng)CP1PN時(shí)，CM>CN>CP,CP取最小值得Inx-3+x(x+2)=0,0 0 0令g(t)=12+21+Int-3,有g(shù)，⑺=21+2+1>0t知g(t)在(0,+8)上單調(diào)增，又g⑴=0,知P(1,0)綜上可知，(|綜上可知，(|pc|-1)2=((1+2)2+(0-3)2-1)=19-622.解法四：切圓法記圓心。(-2,3),M(a,b),P(x,1nx)，則圓Q的半徑r=1,故|PM\=|PQ|—r=|PQ|—1，min min min以點(diǎn)Q為圓心，作圓與曲線f(x)=lnx相切，切點(diǎn)為N(t,lnt),又f(x)=lnx,f'(t)=1，知k =—t,tQN故直線QN的方程為y—Int=—t(x—Int)代入點(diǎn)Q(—2,3)，得3—Int=—1(—2—t),即3—Int=12+21(t>0)令g(t)=12+21+Int—3,有g(shù)，⑺=21+2+1>0，知g(t)在(0,+s)上單調(diào)增t又g(1)=0，可得N(1,0)，故|PM2 =(|PQ\—1)=(QN\—11=(3v2—1)2=19—6<2min min．如下圖所示：評(píng)論與賞析：本題是探求兩曲線的距離問題，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和切線方程知識(shí)使問題得到解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).解法一連續(xù)兩次使用不等式予以放縮，關(guān)鍵在于等號(hào)恰好在同一值取得，如果不能再同一處取得等號(hào)，問題將無法解決，但是可以作為做題必要性嘗試，技巧性比較強(qiáng)；解法二是直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，然后通過多次求導(dǎo)探求原函數(shù)的單調(diào)性，然后得出其最值，這類方法主要是要求學(xué)生具備相當(dāng)?shù)挠?jì)算能力，要做到膽大心細(xì)；解法三是直接利用距離的幾何意義，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)條件，再構(gòu)造函數(shù)，探求其最小值；解法四是構(gòu)造圓與已知曲線相切，利用相切的幾何條件得出相關(guān)代數(shù)式，后面解答過程與解法三相同，解法三與解法四充分利用到數(shù)形結(jié)合的思想，使問題得到完美解決，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解決距離問題的簡(jiǎn)潔性和直觀性，有助于學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的形成，是解決此類問題的