函數(shù)與方程巧聯(lián)姻

函數(shù)與方程巧聯(lián)姻函數(shù)與方程不僅是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，而且有著密切的聯(lián)系，形成一個完整的知識體系，涉及知識面廣，可帶動初中數(shù)與式，方程與函數(shù)的知識聯(lián)系，運用靈活性大，可強化解題方法、技巧的訓練，形成能力．1、一次函數(shù)與二元一次方程（組）二元一次方程與一次函數(shù)既有著本質(zhì)的區(qū)別，又有著內(nèi)在的聯(lián)系.具體地講：區(qū)別：(1)二元一次方程有兩個未知數(shù)，而一次函數(shù)則有兩個變量；(2)二元一次方程有一個等式表示兩個未知數(shù)的關(guān)系，而一次函數(shù)既可以有一個等式表示兩個變量之間的關(guān)系，又可以有列表或圖象來表示兩個變量之間的關(guān)系.聯(lián)系：(1)在直角坐標系中分別描出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函數(shù)的圖象上.如方程2x+y=5有無數(shù)組解，如…，以這些解為坐標的點(1，3)、(2，1)；…都在一次函數(shù)y=－2x+5的圖象上；(2)在一次函數(shù)圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程.如一次函數(shù)y=－x+2的圖象上任取一點(－3，3)，則一定是二元一次方程x+y=2的一組解.在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)y=－2x+4與y=圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解，反之也成立.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的圖象就沒有交點，則兩個一次函數(shù)圖象就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)圖象平行時，相應的二元一次方程組就無解.例1、用作圖象的方法解二元一次方程組解由3x+2y=5，得y=－，由x+y=1，得y=－x+1.在同一直角坐標系內(nèi)作出一次函數(shù)y=－的圖象L1和y=－x+1的圖象L2，如圖，觀察圖象，得L1、L2的交點為(3，－2)，即二元一次方程組的解是2、二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程從形式上看十分相似，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.當拋物線的y的值為0時，就得到一元二次方程，拋物線與x軸是否有交點就取決于一元二次方程的根的情況.一般來說，當>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標是此方程的兩個實數(shù)根；當=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸的只有一個交點，此交點的橫坐標是方程的根；當<0時，方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點.例2、已知拋物線的圖象與x軸有兩個交點為，且，求m的值.【分析】令y=0，則，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解.值得注意的是，此題求出m的值后，必須檢驗一元二次方程的△的取值，因為若△<0，方程無解，拋物線與x軸也無交點.解：令y=0，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，，，∴，當時，得方程，而△=，當時，得方程，而△=，∴.例3、已知二次函數(shù)（1）若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍.（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的取值.【分析】此題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來解，當拋物線與x軸有兩個不同的交點，可利用>0來確定k的取值范圍.當拋物線的頂點在x軸上，說明拋物線與x軸只有有一個的交點，可利用=0