電磁場與電磁波筆記

緒論1．電磁學與電磁場理論電磁學：麥克斯韋方程組的積分形式。它概括了全部已有的宏觀電磁現象的實驗事實，給出了用積分量描述宏觀電磁場的全部規(guī)律。電磁場理論：麥克斯韋方程組的微分形式。是在電磁學的基礎上，進一步研究宏觀電磁現象和電磁過程的基本規(guī)律及其計算方法的理論，是用數學方法描述空間任意一點、任意時刻電磁現象變化規(guī)律的理論。2．在電氣工程與電子工程中的地位電路理論和電磁場理論是電氣工程與電子工程學科基礎課程。電路理論：提供了計算由集總元件聯接起來的網絡和系統(tǒng)行為的方法和理論。電磁場理論：提供了解決所有電氣工程與電子工程問題的根本計算方法和理論，如集總元件伏安關系的建立和難以用電路理論解決的電磁問題等。電氣工程領域：能量的轉換、傳輸、分配和利用，旋轉電、機變壓器、輸電線路與電纜、電容器、電抗器電子工程領域：信息的發(fā)送、傳輸、接收與轉換，電波設備、光纖、遙感、遙測、遙控等。其他工程領域：電磁兼容、生物電磁場、無損電磁探傷、磁懸浮電磁場理論是理解、發(fā)展和實現一切與電磁現象與電磁效應相關技術必不可少的知識本源?！半姶艌隼碚摗笔歉叩葘W校電氣信息類專業(yè)的一門技術基礎課，其主要任務是：(1)在“大學物理”電磁學的基礎上，進一步闡述宏觀電磁場的基本規(guī)律，、開關設備、互感器等。、天線、雷達、衛(wèi)星、超導等。并根據電氣信息類各專業(yè)工程實際的需要，介紹有關電磁技術應用的基本知識；(2)應用場的觀點，培養(yǎng)學生對電氣信息工程中的電磁現象和電磁過程進行定性分析與判斷的初步能力，并進而掌握定量分析的基本技能；(3)通過電磁場理論的邏輯推理，培養(yǎng)學生正確的思維方法和嚴謹的科學態(tài)度?！瘛半姶艌觥闭n程內容是電氣信息類專業(yè)本科生所應具備知識結構的必要組成部分——電氣信息類各專業(yè)主要課程的核心內容都是電磁現象在特定范圍、條件下的體現，因此，分析電磁現象的定性過程和定量方法是電氣信息類各專業(yè)學生掌握專業(yè)知識和技能的基礎；●近代科學技術發(fā)展進程表明，電磁場理論是眾多交叉學科的生長點和新興邊緣學科發(fā)展的基礎；●教學實踐證明，本課程不僅將為電氣信息類學生專業(yè)課的學習提供必須的知識基礎，而且將增強學生面向工程實際的適應能力和創(chuàng)造能力，關系到學生基本素質培養(yǎng)的終極目標。第一章矢量分析1．1電磁場物理模型的構成1．源量點電荷：q、單位：C。電荷體密度：、單位：C/m3。電荷面密度：、單位：C/m2。電荷線密度：、單位：C/m。如果已知上述各種電荷的分布規(guī)律，則對應的q、、和都應是已知的空間坐標變量的函數。又若已知電荷均勻分布，則意味著這些源量都將是某個已知的常量。電流：i、單位：A。電流密度（面積電流）：J、單位：A/m2。面電流密度：、單位：A/m。2．場量電場強度：E、單位：V/m。磁感應強度（磁通密度）：B、單位：T。3．電磁性能參數電介質：介電常數、單位：F/m。真空中，13610-98.85410-120(F/m)磁介質：磁導率、單位：m。真空中，410-7(H/m)0導電媒質：電導率、單位：S/m4．媒質的構成方程（本構關系）電位移矢量：D、單位：C/m2。磁場強度：H、單位：A/m。DE構成方程（本構關系）：HBJE1．2矢量的代數運算1．矢量運算標量積（點積）：ABABcosAB，ABABABABxxyyzz。ABCABsine矢量積（叉積）：ABceeexyzABAAAxyzBBBxyz(x,y,z)、圓柱坐標系(,,z)和球坐標系(r,,)。2.正交坐標系統(tǒng)：直角坐標系FdlFdxFdyFdzxyz環(huán)量積分：通量積分：llFdSFdydzFdxdzFdxdyxyzSS1.3矢量場的散度考察通量“源”在場中各點的分布情況。作包圍P點的一相當小的封閉曲面S如圖示，則當V→0時，即V收縮為P點時，對于體積V的變化定義通量率的極限值為矢量F在P點的散度，記作圖FdSVddVdivFlimlimSVV0V0x2FxFxyzFxyzFFxyz,,,,,,xx2x000x000xx000x0,yz,00x2F,,000xFxyzFxyzFFxyz,,0,,0xx2x00x00xxx0,yz,00穿出這二個面的凈通量值為xx2yzyzFxxxyz,,00Fx,y,zFxx2x0000同理，對于另二組側面進行類同的分析計算。合成可得穿過整個平行六面體的凈通量FxyzFFdSFxxxyzyzxyzzyS而V=xyz，在直角坐標系下散度的表達式為FdSFFFzdivFlimV0xxyzySV又記為divFF可見，矢量場的散度是一個標量，它描述了矢量場在給定點的通量密度。若divF=0，則表明該點沒有產生通量的“源”（無源）；若divF0，則表明該點有產生通量的“源”，divF>0為正源，divF<0為負源。1.4矢量場的旋度考察環(huán)量“源”在場中各點的分布情況。作一圖條圍定面積為S的法向單位矢量，它與有向曲S的微小的有向曲線，令為len線l構成右螺旋關系，如圖所示。記作圖直角FdlcurlFlimS0Smaxenl可見，矢量場的旋度是一個矢量，其方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿足右螺旋定則，且為獲得最大環(huán)量位置的面積元的法線方向；其大小en表征了每單位面積上矢量場的最大環(huán)量。因此，旋度描述了旋渦源的強度。由旋度定義可知，FdlFdlFdlFdlFdlFxFyFxFyx1y2x3y4ll1l2l3l4可得FFxy,xy2Fx1xy00xy,00Fx2FFxy,yxyy200同理xy,00Fxy2,Fx3Fxyxy00xy,00Fx2FFxy,yxyy400xy,00代入環(huán)量計算式，有FFFdlxxyyxyl由此根據旋度的定義式，有FdlFFyxcurlFlimlxyxyzS0F與(curlF)y的計算式同理，可得(curl)。合成為一個矢量式，得矢量場的旋度x為FFFFFFxcurlFecurlFecurlFecurlFeexezyzyyzzxxyxxyyzzxyz或寫成便于記憶的行列式，即eeezxycurlFFxyzFxFFyz1.5標量場的梯度考察標量場等值面的變化率。設等值面方程為圖標量場梯度的圖示(x,y,z)=C標量場(x,y,z)在圖中P點沿dl方向的變化率，此即方向導數為lxyzcoscoscosxlylzlxyz方向導數值與所選取的方向dl有關。記該dl方向的單位矢量為el，可知eecosecosecoslxyz定義eezzgradexxyy為標量場的梯度，記作gradeyezzexxy其中，可見，標量場的梯度是一個矢量。此時，方向導數可改寫成lgradeell1.6場論基礎散度定理（高斯定理）：FdSFdVSV斯托克斯定理：FdSFdlSl無散場：無散場是散度恒為零的場，即F0A0由矢量恒等式可以看出，無散場可以用另一個矢量的旋度表達，即FAF的矢量位。一般稱矢量A是矢量場無旋場：無旋場是旋度恒為零的場，即F0由矢量恒等式0可以看出，無旋場可以用另一個標量的梯度表達，即ForF一般稱標量是矢量場F的標量位。亥姆霍茲定理：若矢量場F(r)在無界空間中處處單值，且其導數連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V中，則該矢量場唯一地由其散度和旋度所確定，且可被表示為一個標量函數的梯度和一個矢量函數的旋度之和，即FrrAr式中FrdV1r4rrV1FrArdV4rrV可見，對于無界空間，當所論矢量場的散度和旋度均為零時，即()=0與()Arr=0，則矢量場F(r)也隨之消失。常用矢量恒等式：(V)=V+V，(A)=A+A(A)=A+A，(AB)=B(A)A(B)V=2V，A=(A)2A(A)=0V=0，第三章恒定電場3．1電流與電流密度電流：單位時間穿過面積S的電荷量。qdqi(t)limt0tdt電流密度矢量：對于空間中不均勻運動電荷流動用電流密度矢量描述，JI正電荷流動方向或電場方向。大小為：JlimA/m2，S法線方其方向為SS0向與電場強度方向一致。電流密度矢量可表為：JvvJJiiiV為電荷運動速度矢量，為電荷密度。在導電媒質中的恒定電流稱為傳導電流，在非導體區(qū)中的電流如真空中的電子或離子運動形成的電流稱為運流電流?？臻g任一截面通過的電流：(,)i(t)JrtdSS面電流和表面電流線密度I?用于描述薄層內電流，表面線電流密度A/m，其中線元JllS垂直于面電荷運動方向。?電流線密度矢量可表為Jv其中為面電荷密度，是電荷運動S速度矢量。v流線電Ivl恒定電場中的基本變量：?恒定電流空間中存在的電場稱為恒定電場。主要討論導電媒質中電荷在電場作用下的運動及有關問題。其中的兩個基本變量為電流密度和電場強度。?要在導體中保持恒定電流，必須維持恒定電場。場中帶電體的任何部分電荷分布保持恒定。?根據金屬電子論及有關試驗，在各項同性的導電媒質中，電流密度與電場強度之間的關系為：J(r)E(r)此即歐姆定律的微分形式，其中為電導率，單位：西門子/米。電功率在恒定電流場中，沿電流方向截取一段元電流管，如圖所示。該元電流管中的電流密度J可認為是均勻的，其兩端面分別為兩個等位面。在電場力作用下，dt時間內有dq電荷自元電流管的左端面移至右端面，則電場力作功為dW=dUdq于是外電源提供的電功率為dPdWdtdqdUdUdIEdlJdSEJdV圖dt故電功率體密度pPEJE2J2dVd或寫成一般形式p=EJ此即焦耳定律的微分形式。?電源將其他形式的能量（化學能等）轉換成電能?電源內部存在一種可將正負電荷分離開來的非庫侖力F’，和由其產生的等效電場源負極指向正極。電源電動勢E’＝F’/e。E’的方向由電E'dll?等效電場E’維持電極兩端電壓一定。源兩極上的電荷一定，電源正負電在電源以外的庫侖電場E由此電源內部，合場強為E＋E’。荷確定。在電3.2導電媒質中恒定電場的基本方程及分界面上的邊界條件1．恒定電場由麥克斯韋組的磁場旋度方程，對于導電媒質中的傳導電流密度J，有cHJc上式兩邊取散度，得J0c又由麥克斯韋組的另一旋度方程E0而導電媒質的構成方程為JEc由此可見，導電媒質中(電源區(qū)域外)恒定電場具有無散無旋場。3．不同媒質分界面上的邊界條件兩種不同導電媒質分界面上的邊界條件：類同于靜電場的討論，在兩種不同導電媒質分界面上場量的邊界條件為(JJ1)=0en2J1n=J2n或(EE1)=02E1t=E2t或en對于線性且各向同性的兩種導電媒質，有如下類比于靜電場的折射定律tgtg1122良導體與不良導體分界面上的邊界條件：J2當電流從良導體流向不良導體時，如圖所示，設en，由折射定律可知，只要90，就有0。22121P這表明，當電流由良導體側流向不良導體側時，電流2線總是垂直于不良導體(0)。換句話說，這時可以112J1不計良導體內部的電壓降，而把良導體表面可近似看圖由良作為等位面。1Jc1+++++++E2t+2UE2nE2Jc1E2tEE22n圖導體與理想介質分界面上的邊界條件：此時，由于Jc2n=0，必然有Jc1n=0；且E1t=E2t，電場強度的切向分量連續(xù)。應指出的是，雖然E1n=Jc1n/=0，但E2n0，其結果將使導體外表面處的1電場強度E，與導體表面不相垂直，如圖所示。然而，分量E2t與E2n相比是極2其微小的，因而在研究導體外表面附近的電場時，可以略去E2t分量的影響。即近似為靜電場中導體的邊界條件。也就是說，當分析載有恒定電流的導體外部電場時，可以應用靜電場分析方法。兩種有損電介質分界面上的邊界條件：如圖所示，在兩種有損電介質的分界面上，J2應有,,PEE2n2n1121同時，還有J1EE圖nn1221聯立求解，得分界面上自由電荷面密度為12J2n2112由此可見，只有當兩種媒質參數滿足條件時，其上表面自由電荷才為2112零，即=0。3．3恒定電場與靜電場的比擬1．靜電比擬法將均勻導電媒質中的恒定電場與無源區(qū)中均勻介質內的靜電場相比較，可以看出，兩者有如下表的對應關系。均勻導電媒質中的恒定電場無源區(qū)中均勻介質中的靜電場D0J0cE0E-E0E-DEJEc2=02=0qDdSIJdScSS顯然，只要兩者對應的邊界條件相同，則恒定電流場中電位、電場強度E分別與靜電場中的電位、電場強度E和電位移矢量D和電流密度Jc的分布將的分布相果場中兩種媒質分區(qū)均勻，當恒定電場與靜電場兩者邊界條件相似，一致。如且兩者對應的電導率與介電常數之間滿足如下物理參數相似的條件時：2112則兩種場在分界面上的線與對應的線折射情況相同。根據以上相似原理，JDc就可以把一種場的計算和實驗結果，推廣應用于另一種場。這就是靜電比擬法。由靜電比擬法，有GC因此，可以利用電容的計算方法計算電導或電阻，反之亦然。即AEdSPBJdScJ,U0GIEdlSEdlSUllDdSEdSCqSSEdl圖UEdlll例1：內外導體半徑分別為a和b的同軸電纜，如圖所示導體間外施電壓U。試求其因絕緣介質不完善而引起的電纜內的泄漏電流密度及其單位長絕緣電0阻。[解]：（1）解法一：恒定電場分析法量，作一半徑為的同軸單位圓電場強度E和泄漏電流密度J均只有徑c向分柱面，且令單位長泄漏電流為I，則I2I2Jc，E內外導體間電壓為IlnbbUUEd2aAB0a由此可知泄漏電流密度為UabJbe0clna電纜的單位長絕緣電阻為RUI0lnba12（2）解法二：靜電比擬法在同軸電纜分析中，已求得電場強度為UEbeab0ρlna故泄漏電流密度JEUbe0lnabρca同理，單位長電導可以由單位長度電容求得，即電纜的單位長絕緣電阻為R111lnba2GC2．接地電阻接地技術是保障人身和設備的一項電氣安全措施。計算接地體的接地電阻是恒定電場計算的一項重要工作。下面計算圖示埋于大地的半球形接地體的接地電2ii土壤aa土壤土壤(a)電流阻。由鏡象法得：線1u1RGiia2ri12adr23．跨步電壓電力系統(tǒng)接地體一旦有電流通過，由于接地電阻的存在，在地面上存在電位分布。此時，人E時，將威脅人的生命。對于如圖所示的半球形接地器，由鏡象法，地面上任意點r22體跨步的兩足之間的電壓稱為跨步電壓。當跨步電壓超過允許值IrP的電位為IIrEdrdr2r2r2rP如圖繪出了地面電位分布。設人的跨步距離為b，在距半球中心距離r點的跨步電壓為I2rI112rbr2r2IbrBUddrI2aElABrbA設U為人體安全的臨界跨步電壓（通0常小于5070V），可以確定危險區(qū)半Ioa徑r為0PABbrIb2UJrr00圖3.4電導與電阻的計算仿照靜電場的處理，引入標量電位函數(r)作為輔助場量，即令E=-，可得電位滿足拉普拉斯方程，即2=0例1：設一扇形導電片，如圖所示，給定U。試求導電片兩端面電位差為內電流場分0布及其兩端面間的電阻。[解]：采用圓柱坐標系，設待求場量為電位，其邊值問題為：20,D1,,z22200圖扇U0積分，得=C+C12由邊界條件，得CU，C0012U故導電片內的電位0電流密度分布為UU00JEee對于圖示厚度為t的導電片兩端面的電阻為RU0UU00U0btlnaIdJSbetdeSa例2：設一平板電容器由兩層非理想介質串聯構成，如圖所示。其介電常數率分別為，和，，厚度分別為d11221和電導和d，外施恒定電壓U，忽略邊緣效應。試求：,dd201112(1)兩層非理想介質中的電場強度；(2)單位體U0,22圖非理想介質的平板電容器中的恒定電流場積中的電場能量密度及功率損耗密度；(3)兩層介質分界面上的自由電荷面密度。[解]：(1)忽略邊緣效應，可以認為電容器中電流線與兩介質交界面相垂直，用邊界條件EE1122又有電壓關系EdEdU11220聯立求解兩式，得UUE120，E10dddd212211221(2)兩非理想介質中的電場能量密度分別為w1E2，w1E2e1211e2222相應的單位體積中的功率損耗分別為pE2222pE2，111(3)分界面上的自由電荷面密度為2112U12J21dd12012122第四章恒定磁場4.1磁感應強度?在運動電荷的周圍，除了電場，還存在一種稱為磁場的物質。描述磁場特性的基本物理量：磁感應強度。磁場的表現：對于引入場中的運動電荷有作用。如電荷q以速度運動，磁場對其對作用力為v力的fq(vB)對運動電荷的作用力又稱洛侖茲力。洛侖茲力不做功。通有電流I的導dl磁場線元在磁場中所受到的力dfdNqvBnSdlqvBIdlB流有力相作用。而磁場是由電流產生的。下面用磁感應強度的定義磁場對電和從實驗得的出磁場力定律確定電流產生的磁感應強度。安培力定律說明：兩個電流元Idl段和Idl之間的力正比Idl和Idl1,反比于他們之間距離。1221122于真空中兩個線電流回路?；芈?是引起場的源回路，回路2是試驗回路?？蓽y得試驗回路所受到的力IdlIdle4()rF2102211r2ll12其中0是真空中的磁導率，國際單位制中，其值為410－7亨利/米（H/m）.dl段受到dl段的作用力df21IdlIdler)IdldB4(02211r21222源回路上dl在離其r處引起的dBdB1)(Idler011r24整個源回路l引起的磁感應強度1Idle對于不同形式的電流源，有：()BdBr,畢奧－沙伐爾－拉普拉斯定律011r420JreRdVlJ：1cB(r)4R2體電流cVSKreRdSB(r)4R2面電流：K0IdleB(r)4R2線電流I：0Rl對照靜電場中電荷作體分布時電場強度的表達式rd14(')'Er()RR3(')'0rdS14Er()RR30S由畢奧—沙伐定律計算磁感應強度zz2P221(dzdzIdzLI1e1RPRz121IP(,3o2P3(a)(b)圖有限應該注意，由畢奧—沙伐定律計算磁感應強度時，積分均為矢量積分。而對于具有對稱性場分布特征的問題，應用安培環(huán)路定律更加簡單。例1：計算真空中載流I的有限長直導線所引起的磁感應強度。計算圖(a)所示場點P處的B；然后，點P、P和P處的B的計算。[解]：首先，推廣至圖(b)所示任意場123(1)場點P處的磁感應強度采用圓柱坐標系，取元電流Idz，在點P處產生的dB為sinze4Idzd，I4IddzzeRdBee00R02z24R2z2232從而44zL044IdzIIIsine0LBeee000z2322z2x200(2)場點P、P和P處的磁感應強度123基于場點P處B的解答，不難理解圖(b)中任意場點、和P處的B分PP123別為4I0IeBsinsin()e2sinsin04112P1114Ie02Bsinsin1P224I0Ie0sinsin2Bsin()sin()e43211P33(3)推論：對于P點，若L→∞，則B為140IIBsinsinee0222l這正是應用安培環(huán)路定律的計算結果。Io例2：計算真空中半徑為a，載流為I的無限長直圓柱導體內部和外部的磁場。00(a)[解]：應用安培環(huán)路定律，B得(1)導體內部(<a)20a2Bdl2BIl故有oaBIe(a)02a(b)2(2)導體外部(>a)圖Bdl2BI0lIB2e(a)故有z0Idz圓柱導體內、外B值隨坐標的變化曲線dzL示于圖(b)。zRyoABdALP(x,x圖長直4.2磁通連續(xù)性定理安培環(huán)路定律?穿過任意面積S的B通量稱為磁通。BdSS由于沒有始端和終端，沒有供線發(fā)出或中止的源或漏，對于任意閉合面BBBdS0此即磁通連續(xù)性原理。S真空磁場中的安培環(huán)路定律真空中無限長直導線中通以電流I，由其引起離軸線r遠處的磁感應強度?IB0r2?場中取一條半徑為r的磁感應線作積分回路，IdlIBdl00dlI0rr22lll如果取任一包圍電流的回路，dlcosrdBdlIIIrd2dIrcosdl000rl2220ll0如積分回路沒與電流交鏈，Bdl＝0l如積分路徑l所交鏈的電流不止一個，Bdl＝（I1I2I3)0l真空的磁場中，沿任意回路取的線積分，等于真空的磁導率乘該回路所限定面積上穿過的電流的代數和Bdl＝。nIk0k1l電流方向與積分回路繞行方向成右手螺旋關系時，電流取正號，否則取負號。在一些對稱的情況下，可用上式簡便計算。B例一無限長同軸電纜截面如圖。芯線通有均勻分布的電流I，外皮通有量值相同，方向相反對電流，試求各部分磁感應強度。解：本題是平行平面場，B線是中心位于芯線軸上的同心圓。（1）芯線內，r<R1，電流密度J=I/R12,作一半徑為r的圓作為積分回路，用柱坐標，穿過圓面積的電流I’為IRr2r2I'rdrdIR221001r22IBdlBrdR02l01r2Br2IR021IrB0R22(2)絕緣層中R1<r<R2,取一半徑為r的圓作積分回路，穿過圓面積的電流為I12I0Brd0BrI20IB0r2(3)外導體R2<r<R3,取一半徑為r的圓作積分回路，穿過圓面積的電流為I’。rR2R2r22I'III32R2R2RR223232IR2r2B03rR2R22（4）電纜外r>R3,320B4.3物質的磁化磁化強度和磁場強度4.3.1物質的磁化，磁化強度與電場與電介質相互作用，使電介質極化，產生附加電場一樣，磁場會對放狀態(tài)之中。磁化介質也會產生附加B'入其中的磁介質發(fā)生作用，使介質處在磁化的磁場。磁場中任一點的磁場強度BBB'0物質的原子或分子中的任一電子環(huán)繞原子核的運動和自旋都能產生磁效應。這種運動的束縛電荷形成環(huán)形電流，稱為原子電流（或安培電流），它們不產生電荷遷移，但能產生磁感應強度。原子電流是一很小的閉合電流?？捎么排紭O子的概念面積為dS的載流回路，的正方向與回路電流的正方向成右手螺旋關系。dS場中任一點到回路中心的距離比回路的尺度大得多。外場B在磁偶極子中看成是均勻的。pIdS2）定義磁偶極矩：m單位制中單位（A.m真空中磁偶極子在離它r遠處產生的磁感應強度4pB0esinre'm[2cos]r3在外場下磁偶極子所受到的轉矩BTpBm磁偶極子的轉動方向總是力圖使它自己的磁場與外磁場方向一致，即力圖增pm強外磁場。和同向時是穩(wěn)定位置，反向時是不穩(wěn)定的。B描述磁化程度的宏觀量：磁化強度單位體積中的磁偶極矩。plimMmiVV0未磁化時，是隨機分布的。為零。ppmimip在外磁場作用下，原子電流受到向外磁場方向的轉矩，不為零。mi磁化后物質中存在磁化引起的體電流密度和面電流密度。MJmMnJms?對比靜電場中極化的有關公式lim,pqdpP0PndQ'dSP'PP有導磁媒質存在時的磁感應強度要考慮到磁化電流的影響。r稱為媒質的磁導率，單位是亨/米(H/m)，為相對磁導率。根據媒質的磁化性能，可分為以下三種類型：(1)抗磁性媒質：當不存在外磁場時，這類媒質的原子中的合成磁矩為零。在外磁場作用下媒質中合成磁場減弱，如銀、銅、鉍、鋅、鉛和汞等屬抗磁性媒質。(2)順磁性媒質：當不存在外磁場時，這類媒質的原子中合成磁矩并不為零，僅因熱運動之故，其宏觀的合成磁矩為零。在外磁場作用下媒質中合成磁場增強。如鋁、錫、鎂、鎢、鉑和鈀等屬順磁性媒質。(3)鐵磁性與亞鐵磁性媒質：這類媒質在外磁場作用下會發(fā)生顯著的磁化現產生顯著的磁性，如鐵、鎳、鈷等屬這類鐵磁性媒質(>>r象。在外磁場作用下)，這種鐵磁性媒質的磁性能還存在非線性、磁滯與剩磁現象。另一類稱為亞鐵1磁性媒質，如鐵氧體等，其磁化現象稍遜于鐵磁媒質，但剩磁小，且電導率很低。值得指出，鐵磁媒質因其高磁導率的特性，在電磁裝置中得到了極其廣泛的應用，以滿足工程上高磁場能量密度和高磁場強度的應用需求。同樣，鐵氧體因其電導率很低，高頻電磁波可以進入其中，且具有如高頻下渦流損耗小等一可些貴的特性，從而在高頻和微波器件中獲得廣泛的能也有均勻與非均勻，線性與非線性，各向同性點。對于均勻媒質J=M=(H)=H=0應用。媒質磁化性與各向異性等特mmm可見，在均勻媒質中束縛電流密度為零。4.3.2一般形式的安培環(huán)路定律在有導磁媒質的磁場中，任意取一閉合回路l，磁感應強度沿l的積分Bdl(II)0ml其中I是自由電流，Im是磁化后引起的電流。BdlIMdS00lSMdSMdlMdlSlBdlI00HdlIllBMH0/BMdlI(/)l0稱為磁場強度。lH其中I是穿過回路l所限定面積的自由電流（不包括磁化電流）的代數和。電流正負號選取同真空中安培環(huán)路定律。對比靜電場中介質極化情況，qq'DdSqEdSDEP0SS0?對各項同性的線性媒質MHHHm(1H)m()BHMr0式中：是媒質磁導率，單位亨/米（H/m)，00＝/為相對磁導率。0r在無限大均勻各項同性導磁媒質中，如果電流分布一定，磁場中各點的磁感B應強度的方向與真空時相應的方向一致，但量值是真空時的r倍。0換成r即可得到導磁媒質中只需將真空時的相應表達式中的B此時BH以及的表達式。且有IBdlkl4.4恒定磁場的基本方程分界面上的邊界條件1．恒定磁場的基本方程由麥克斯韋方程組，描述恒定磁場的基本方程為HJB0cBH媒質的構成方程為2．恒定磁場的有旋性在自由空間中，由基本方程可以得出，在恒定磁場問題磁感應強度矢量B與傳導電流密度J之間的關系為cBJ0c上式表明，源于電流的磁場具有旋渦場的特性，表明了磁力線與電流源之間相互交鏈的基本特征。利用斯托克斯I3定理，得安培環(huán)路定律：lI4Bdl00nJdSIkI1cSk1lS式中，電流I正負，取決于電流kI0方向與積分回路繞行方向是否2符合右手定則。當方向相符時為圖環(huán)量正；反之取負值。如圖，有：Bdl(III)3012l3．恒定磁場的無散性基本方程還表明了恒定磁場的磁感應強度的散度處處為零，具有無散(無源)性。磁力線是無頭無尾的閉合曲線，即磁通連續(xù)性原理。4．邊界條件媒質分界面上的邊界條件：對應于B=0，有或en(B2-B1)=0B1n=B2n表明在兩種媒質分界面上的磁感應強度的法向分量是連續(xù)的。對于旋度方程H=Jc，取圖示跨越分界面的矩形回路l。設分界面上存在面電流K=Ke(該面電流密度的單位矢量es=enet，且與矩形回路l符合右手定則)，s由安培環(huán)路定律，得HdlHlHlKl12t11t1lH2t-H1t=K或en(H-H)=K21通常分界面上不存在宏觀的自由面電流分布，即K=0，則有HH或en(H-H)=0=1t2t21此時，當兩種媒質線性且各向同性，恒定磁場的折射規(guī)律為tgtg1122鐵磁媒質的邊界條件：設>>，由恒定磁場折射定律，必有0，即122B1n=B2n；HH2t0=1t這表明在鐵磁媒質與空氣分界面的空氣側，磁力線幾乎垂直于鐵磁表面。4.5標量磁位標量磁位的引入：在無源區(qū)，中H=0。這表明在無源區(qū)磁中場是無旋的，可以仿照靜電場那樣引入一個標量磁位函數，即mHm式中，標量磁位的單位是安培(A)。若選定Q點為標量磁位參考點，即=0，mQ則任意點P的標量磁位為QHdlmPP需要特別注意的是標量磁位的使用僅限于無電流分布的區(qū)域。此外，標m量磁位與標量電位不同，它不具有任何物理意義。與矢量磁位一樣，它純m粹是為了計算方便而引入的一個輔助標量函數。磁壓的概念：標量磁位的等值面（線）稱為等磁位面（線），等磁位面（線）處處與B線正交。也可以用等磁位面（線）的分布描繪磁場的分布。類比于靜電場的電壓定義，空間M點和N點之間的磁壓定義為NUHdldmNmMNmmMmNMmM可見，兩點的磁壓即為兩點的標量磁位之差。應該指出，當磁場中存在電流分布時，兩點間的磁壓不僅與該兩點的位置有關，而且還與積分路徑相關。如圖所示，如取一與電流I相互交鏈的閉合路徑PnQmP，由安培環(huán)路定律，有HdlIMnMnNmM將上式寫為HdlHdlImrIMnNMmN如取積分回路交鏈電流k，次則HdlHdlkIN圖MrNMmN顯然，M、N兩點間磁壓與所取積分路徑關。這說明在存在電流的區(qū)域，即使在中選定了標量磁位的參考點，其標量磁可以是多值函數。S相磁場+m_m位仍l為解決在電流區(qū)域中應用標量磁位值性問題，一般采用磁屏障的方法。如的多I圖所圖示，規(guī)定積分路徑l不許穿越載流回路所限定的某一曲面S(磁屏障)，這樣就保證了兩點之間磁壓與積分路徑無關。標量磁位的泛定方程：將標量磁位和媒質的構成方程代入B=0，得()00m如果媒質均勻，得20m位滿足拉普拉斯方程。m可見，標量磁4．6矢量磁位由亥姆霍茲定理，磁感應強度B(r)應為B(r)(r)A(r)式中1BrdV0(r)4BrrrV1rrJJrcrArdVdVcdV00444RVVV式中A稱為矢量磁位。在SI單位制中，矢量磁位的單位是韋伯/米(Wb/m)。需要說明的是矢量磁位A不是一個物理量，不能被測量，僅是一個為簡化計算引入的數學上的輔助矢量函數。對于不同形式的電流源，有：JrA(r)4RdV體電流J：0ccV0dS'KrA(r)4R面電流K：線電流I：S'Idl'A(r)4R0l'上段討論表明，自由空間中任意點的磁感應強度等于該點矢量函數A的旋度。若已知J(r)，可以先計算矢量磁位A，然后再通過計算A旋度計算磁感應c強度B。即JrcB(r)A4RdV0V由矢量恒等式，得Jr11JrJreJrJre()()RR2''cRRRRR2cccc將上式代入B，得JreRdVB(r)4R20cV這正是畢奧—沙伐定律。由該定律可以直接計算電流源在自由空間的磁感應強度B。自由空間中的磁場計算思路一：利用畢奧—沙伐定律直接計算電流源在自由空間的磁感應強度。思路二：先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感應強度。此外，在無電流分布的恒定磁場區(qū)域中，由于H=0，也可以引入一個類似于靜電場標量電位函數的標量磁位m作為輔助函數，以簡化恒定磁場的計算。由矢量磁位計算磁感應強度由于元電流矢量產生相同方向的元矢量磁位A，這使得在一些問題中A的計算比B的計算更加簡單。例1：計算空氣中長度為2L的長直載流導線在空間P點的矢量磁位和磁感應強度。[解]：取圓柱坐標系，由于電流沿z軸方向，故矢量磁位只有z方向分量，即I0zlnL2dzdzIILLAAezzeeLlne00224RL42z2zzL當L>>時，可表示為2I2LlneA0z從而得2IABAeez0與例1結果相符。討論：從上例可以看出，盡管B的結果與例1相同，在我們給出的標量電位和矢量磁位的計算公式中，均假定電荷和電流分布在有限區(qū)域，此時，它們的參考點選擇在無限遠處。但是，例2不滿足這但當L時A不存在。其原因在于，個條件，電流延伸到了無限遠，這是，它們的參考點應選擇在有限區(qū)域內的任意一點。仍以例2為例討論如下，此時線電流的矢量磁位公式修改為IdlA(r)4R'C0l'式中C為常矢量，取決于矢量磁位參考點的選擇。在有限區(qū)域內任取一點為磁位參考點，設選與線電流I相距的點為矢量Q0磁位參考點，應有2I2LAQlneC000zI2LlneC2故有0z0P點的矢量磁位為222I2LI2LIAlnelnelne00000zzz相應的磁感應強度為2IABAeez0與上例結果相符。例2：圖示無限長直平行輸電線，半徑為間距大于a、線離為2b且遠a。試計算的矢量磁位和穿過輸電線間z單位長的磁通量。II[解]：本例為平行平面磁場，故只需計算xoy平面中任一場點PAo(0,-b(0,b,y01Q1022處的矢量磁位即可。由例1且設矢P量磁位參考點位Q，則P點的矢量圖磁位為AII0ln010ln02Ae22z12II0ln0ln01e222z102間單位長的磁通量，將矢量磁位參考點選在原點上，則=01為計算穿過輸電線02，得Ix2yb2lne2IAln2e004x2yb2zz1穿過輸電線間單位長的磁通量為ΦBdSAdSAdlSSl2I(bab)I(bab)I(2baI2baln(bab)22ln(bab)22ln)20ln00044(a)a2另外，也可以應用安培環(huán)路定律計算，即()2by2by()2by2by()()IIIIbaΦBS()edS2()dyd0000xSS02II(by)I2ba[ln(by)ln(by)]ln|0lnba0ba002(by)0a與由矢量磁位直接計算結果相同。由本例可以看出：穿過任意曲面S的磁通量也可以直接利用矢量磁位A在該曲面S的曲線l上的環(huán)量來計算，曲面S的法線l的繞向滿足右手方向與曲線螺旋關系，即ΦBdSAdlSl例3：求圖示半徑為（磁耦極子）在遠處的矢量磁位和磁感a的載流小圓環(huán)應強度。[解]：采用圖示球坐標系。定義mISa2Iez見A僅有方向分量且與無關，為簡化計算，我們將場點選在=0的平面。如圖所示取兩個電為磁耦極子的磁矩?？闪髟?，得adacosdII0cos0Ar2(,)4R2R00式中11R[(asin)2(rsinacos)2(rcos)2]2(r2a22arsincos)2由于R>>a，有1112a11a1(sincos)2(sincos)rrRrr所以2d(1arsincos)aI0Iacos(1arsincos)cos(,)Ar0dr2r00a2IsinSIsinmerr0004r4r4222(sinA)e1rr(rA)e1BArsinra2Ia2I2m(2cosesine)4r3rcosesine0004r4r3r3矢量磁位的泛定方程基于矢量磁位、麥克斯韋方程和媒質的構成方程，得A的引入AJ0c由矢量恒等式A(A)2A，有(A)2AJ0c由亥姆霍茲定理可知，僅由B=A定義矢量磁位A并不是唯一的，還必須A。為簡化分析，A0同時規(guī)定A的散度，才能唯一地確定令上式稱為庫倫規(guī)范。這樣，有如下矢量泊松方程2AJ0c在無源區(qū)中，，則上式成為矢量拉普拉斯方程=0Jc2A0在直角坐標系中，矢量形式的泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為相應的三個坐標分量的方程。但在其它正交曲線坐標系下，矢量的分量一般是相互耦合的。A=BA=0，不難推出如下邊界條件矢量磁位表達的邊界條件：由于和A=A12e(1A1A)K1n212標量磁位表達的邊界條件：類似于靜電場標量電位的邊界條件的推導，標量磁位媒質分界面上的邊界條件為=m1m2m1nm2n12而對應于鐵磁媒質與空氣分界面，由于鐵磁媒質表面為等磁位面，其邊界條件為==Cm1m2m1nm2n12磁場的計算例1：在圖示含氣隙的環(huán)形鐵芯上緊密繞制N匝線圈，環(huán)形鐵芯的磁導率為>>，圓環(huán)的平均半徑為R，線圈半徑為a<<R，氣隙寬度為d<<R。當線圈載0流為I時，試求鐵芯及氣隙中的磁感應強度和磁場強度。[解]：設忽略漏磁通，鐵芯中B和H的方向沿環(huán)形的圓周方向，由于R>>a，鐵芯內磁場分布均（此時僅法向分量），勻。由于氣隙寬度d<<R，由邊界條件有H=H0又應用安培環(huán)路定律，得Hd+H(2R-d)=NI解得，鐵芯中的磁場強度為NId2RdHr氣隙中的磁場強度為NIrd2RdHH0r鐵芯和氣隙處的磁感應強度為d2RdNIBBr可見在鐵芯中，因>>，H=-0。故0圖m工程分析中往往將鐵磁媒質近似看作一等磁位體，而磁壓集中施加在鐵芯的氣隙處。例2：半徑為a的長直圓柱導體內外的磁場。z軸為圓柱導體通有電流密度J。試寫出矢量磁位的邊值問題并求導體解：選圓柱坐標系，軸線。矢量磁位僅有z方向分量，其邊值問題為1ddAd1aa)J,d(01ddA2)0,d(d1dA1dA,2AA0,a1dd0120A有限值，=01解得0J2ClnCA1412AC2lnC34由邊界條件，上述四個待定系數為00Ja24Ja22CJa2lnaC0,CC3,,02124JAaa2),0(a241Ja22aA2ln,0由B=A得JBaa無限長載流導線的鏡像法。,021Ja202B,2例3：推導圖示無限大平面媒質中(a)(b)(c)上半圖(a)所示將線電流I放置在媒質中，在媒質分界面上的束縛電流1解：按圖分別由圖（b）和圖（c）的鏡像電流I和I表示。由邊界條件，得’’’2a2aI''cosIIcos1'cos122aI2aI'I''sinsinsin2a2a解得2I2I，I1I1221例4：設一根載流為I的無限長直導線平行放置圖示在半無限大鐵磁媒質μ(→∞)上方，導線與鐵磁媒質平面間的距離為h。試求在空氣和鐵磁媒質中的磁場?！?。由鏡2[解]：本例中空氣為媒質=，鐵磁媒質象法知：10在上半空間，磁場可由均勻媒質中的線電流I和I=I計算如下。在上半空0間任一場強度為點P處的磁II2r2H2ree211rx2(yh)2式中，1rx2(yh)22在邊界上場強度為(y=0)，任一點P處的磁I(x2h2)Ix圖Hcose(x2h2)ey1/2y線電上述結果再次表明磁力線垂直于鐵磁媒質的表面。在下半空間，磁場可由I≈0計算。顯然，因I≈0，故鐵磁媒質中磁場強能略而不計，其值是度H≈0。但是，磁通連續(xù)，所以鐵磁媒質中B絕不可I22r222rI2reIe00BHe23033綜合以上解答，可以定性地描繪本例的場圖如圖示。4.8電感與電容、電阻參數類似，電感是反映線圈磁場能量的集總參數，必須通過磁場的分析來計算。1．自感在線性媒質中，線圈的自感定義為自感磁鏈與其激磁電流I之比，即LI(H)取決于線圈幾何形狀、尺寸以及媒質磁導率。當載流導體截面較大時，通常又將鏈分為內磁鏈和外磁鏈兩i自感磁o部分之和。如圖所示，閉合管a的磁通圖與載流導體電流I完全交鏈，構成外磁i鏈的一部分；而閉合管b則僅與載流導體的部分電流I交鏈，構成內磁通。o對于這種部分交鏈的情況，其匝數以載流I為基數，以I應計為分數，其匝比為I/I。于是，內磁鏈為IdIiS此時，自感L為內自感L與外自感L之和，即ioLioioLLiIIIIo例1：計算圖示同軸電纜的單位長自感（設其外殼厚度可予忽略）。[解]：為計算自感，設電纜中電流為I。圖同軸鏈o(1)外磁2Ibln0Ib0d2aoa(2)內磁鏈i內導體中磁感應強度為BI2I002a2ai22此時，匝比為2I'1IIIa22a222Ia2a2I2a40d03ddBda2ii于是，內磁鏈2a8Id34Ia00i0最后，得同軸電纜的單位長自感為L241bln0ioLLIaio值得注意，內自感Li僅與圓導體的長度有關，而與半徑無關。2．互感在線性媒質中，線圈k與線圈h的互感定義為線圈k上交鏈的互磁連與kh線圈h的電流I之比，即hMkh(H)khhI同理，線圈k對線圈h的互感定義為Mhk(H)hkkI我們將證明Mkh=Mhk兩個線圈的互感取決于他們的形狀、尺寸、相互位置和媒質的磁導率。例2：計算圖示兩對輸電線間的單位長互感。圖[解]：設導線之間的距離D、D、D和D均遠大于導線半徑。設在ACADBCBD導線AB(回路1)通有電流I，在導線CD（回路2）交鏈的互磁通穿過面積CD’和面積C’D，即20IDIdDBdSADdBC'02MASDDACBDID(lnADlnDDBC')IDD(lnADlnDBC)DACBD002D2ACBD單位長互感為MBCBDDDADlnM0I2DDAC3.電感計算的一般公式dll自感：設電流集中在回路的軸線上。r利用矢量磁位A計算外磁鏈?；芈返膬戎芙鏻為積分路徑，外磁鏈為ldl4Idldl圖Adl0rolll則，外自感為4dldl0Lorll當線圈由N匝細導線密繞組成時，則單匝回路上的磁通增大N倍，而該磁通又與N匝回路相交鏈，故外自感為IoN0dldlN2oLoI4rll可見，此時外自感L與N2正比，為單匝回路外自感N的2倍。o對于內自感，一般均采用近似計算法不。論回路形狀如何其，內自感計算可等同于無限長直導線的情況，回路的內自感為線圈l的乘長以度單位長內自感，即Ll08i一般而言，回路的內自感遠小于外自感，所以回路的自感為L=L+L≈Lolio1互感：圖示兩個回路，設回路2中通電流I，在回路1的軸線上任一點處產生的矢2dl1P量磁位為rI4rdllA2022Pdl2l2在回路1上交鏈的互磁鏈為I4dldlI12Adl21022r1P圖l1l1l2于是，回路2對回路1的互感為dldlM1212210I4r2l1l2同理可得可見dd2llM2121410Ir1l2l1M=M1221若回路1和回路2分別由N和N匝細導線密繞而成，則互感為12NN0dldl1MM2124r1221l1l2上述計算回路電感的一般公式被稱為諾以曼公式。4.9磁場能量與力1．載流回路系統(tǒng)中的磁場能量單個載流回路的磁場能量：設回路電流i從零緩慢增長到終值I，回路磁通鏈隨之由零值緩慢增長到終值，并在載流回路產生感應電壓u，在dt內電源作功為dW=uidt，且全部轉換為磁場能量儲存在磁場中，即dWm=dW=uidt=id=iLdi在線性媒質中，單個載流回路的磁場能量為WdWiLdi21LI221ΨIImm0由上式，若已知單個載流回路的電流及其磁場能量，則可方便地計算該回路的自感為L2WmI2n個載流回路的磁場能量：令各個回路電流均按比例系數為m(0≤m≤1)由零值緩慢增長到終值，在線性媒質中，在某一時刻，各回路電流i(t)m(t)Ik，=k磁鏈k(t)=m(t)k。在dt內電源在n個載流回路中作功為kknnndWdWitdψtmIdmΨmIΨdmkkkkmk1k1k1該n個載流回路的磁場能量為121nnWdWIΨmdmIΨkkkkmmk1k10在線性媒質中，以k號載流回路為例，其磁鏈可表示為自感磁鏈和互感k磁鏈之和，即LIMIMIMILIMInkKk11k22knnkkkhhkLkMkh1hk代入磁場能量公式，得n個載流回路的磁場能量為W1LI21LI21LI2MIIMIIMII(n1)nn1n21222nn112212121313m1MII1ITLInnnLI2kk22khkhk1k1h1hk式中，I為各載流回路電流列向量L，為載流回路電感矩陣。2．磁場能量密度設各載流回路均單匝回路，且設載流回路為體電流分布，則元電流Idl=JdV。kk注意到求和式化為體積分，則有112AJdVnW2IdAlkkmk1lkV將J=H代入上式，并利用矢量恒等式(HA)=A(H)-H(A)及散度定理，得12112dVHAWmA(H)dVdVHA2VVV121HAdSHBdV2SV11設場域無界，即S為無限大球面，因H∝，A∝，而S∝r，當r→∞時第一2rr2項積分應等于零。因而，有1WHBdVm2V上式表明，磁場能量分布于整個磁場空間中。磁場能量的體密度為w21HBm對于各向同性線性媒質，有1B22wH2m2例1：設圓柱導體的半徑為a，計算其單位長度的內電感。I[解]：設圓柱導體電流為，由安培環(huán)路定理，得圓柱導體中的磁場強度為IH2a2i圓柱導體內單位長度的磁場能量為2a11II2a22dd000WmHdV222iV因此，單位長度的內電感為8L2WI2m0顯然，通過磁場能量計算電感參數是十分方便的。磁場力計算的虛位移法在電磁學中，我們學過兩種磁場力的計算方法，即運動電荷受到的磁場力dF=dqvB(又稱為洛侖茲力)和元電流Idl受到的磁場力dF=IdlB（又稱為安培力）。此外，我們也可以借助磁場能量來計算磁場力。對于恒定磁場，能量平衡方程為dW=dg+dWFgmd表示電源提供的能量，W為廣義坐標變化dg而引起的磁場kgm式中，dW=∑Idk能量增量，Fdg為在dg方向上，磁場力作的功。常電流系統(tǒng)：設定載流回路的電流保持不變，Ik=常量，有nd(I)kk1212Id1dWndWgIk常量k12kkmk1這表明電源提供的能量一半作為磁場能量的增量，另一半作為克服磁場力的作功，即FdgdWmIk常量g由此，得FdWWgmmdggIIk常量常量k常磁鏈系統(tǒng)：設定載流回路的磁鏈保持不變，常量，有=kFdgdWmk常量g上式表明，磁場力作功所需能量取自于系統(tǒng)磁場能量的減少。得FdWWggmmdg常量k常量k盡管上述計算方式不同，但其值相同，即FWWmmggk常量k常量例1：計算無限長平行載流導體的單位長受到的磁場力。[解]：設導體電流為I，導體半徑為節(jié)例題知，a，導體軸心距位D。由上其單位長電感為1lnDL4a0載流導體的單位長磁場能量為W1LI22mD，則載流由虛位移法，取廣義坐標為導體單位長受到的磁場力為I20W1LF1mI22D2DDIC磁場力（廣義力）的正方向為廣義坐標D增加的可見兩導線在沿線間距D方向，F的作擴展的方向上分別受到磁場力用，即兩載流導線相斥。1例2：求圖示電磁鐵對銜鐵的吸力。設鐵心截面積為S，空氣隙長度為l，并忽略空氣隙處邊緣效應，認為氣隙中磁場均勻分布。[解]：應用虛位移法。由于鐵磁材料的相對磁導率遠大于氣隙，故該電磁鐵系統(tǒng)的磁場能量可近似認為存儲在兩氣隙內，即2B2BWm2Sl2SlSl2000電磁力為圖電磁鐵的起重力FWlB22SmSC00式中，負號表示磁場力的方向與氣隙增加的方向相反，也就是說，磁場力是電磁鐵作用于銜鐵的吸力。第五章邊值問題靜電場和恒定電場的分析歸結為求解相應的泊松方程或拉普拉斯方程。給定邊值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一解。三類給定邊值：f(s)nf(s)nf(s)f(s)當媒質不均勻時，作為定解條件還需加入輔助邊界條件12,1n2n1212如果場域擴展為無界區(qū)域，還需提出無限遠處的邊界條件。微分方程與邊界條件一起構成邊值問題。5．1分離變量法基本思路：當待求電位函數是二個或三個坐標變量的函數時，分離變量法是直接求解偏微題，其步驟是：首先，結合場域邊界形