2二次曲線上的四點(diǎn)共圓問題的完整結(jié)論

xx2+y2+c'x+d'y+e'=0 ②二次曲線上的四點(diǎn)共圓問題的完整結(jié)論百年前，著名教材《坐標(biāo)幾何》 著中曾提到橢圓上四點(diǎn)共圓的一個(gè)必要條件是x2y2這四點(diǎn)的離心角之和為周角的整數(shù)倍橢圓——十二=1（〃>0,b>0）上任一點(diǎn)A的坐標(biāo)可a2b2以表示為（〃cos9,bsin9）（9￡,角°就叫做點(diǎn)A的離心角，證明方法十分巧妙，還要運(yùn)用高次方程的韋達(dá)定理.這一條件是否充分，一直是懸案.在20世紀(jì)80年代編寫《數(shù)學(xué)題解辭典（平面解析幾何）》時(shí)，仍未解決.到20世紀(jì)年代初編寫《中學(xué)數(shù)學(xué)范例點(diǎn)評(píng)》時(shí)，才證明了此條件的充分性.［1,2］2016年高考四川卷文科第20題，2011年高考全國大綱卷理科第21題，200年5高考湖北卷理科第21題（也即文科第22題）及200年2高考江蘇、廣東卷第20題都是關(guān)于二次曲線上四點(diǎn)共圓的問題（見文獻(xiàn)［3,4筆］者）曾.由200年5的這道高考題得出了二次曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)簡潔充要條件（其證明也很簡潔但有技巧）：若兩條直線l：y—y=k（X—X）（i=1,2）與二次曲線i 0i 0r:ax2+by2+ex+dy+e=0（a中b）有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k+k=0.12文獻(xiàn)［2］還用此結(jié)論證得了“橢圓上的四點(diǎn)共圓的充要條件是這四點(diǎn)的離心角之和為周角的整數(shù)倍”.文獻(xiàn)［5］用較長的篇幅得出了下面的兩個(gè)結(jié)論（即原文末的命題7、8）：結(jié)論1拋物線y2=2px的內(nèi)接四邊形同時(shí)內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中有一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ).結(jié)論2圓錐曲線mx2+ny2=1（mn豐0,m豐n）的內(nèi)接四邊形同時(shí)內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中有一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ).請(qǐng)注意，文獻(xiàn)［5中］所涉及的直線的斜率均存在，所以這兩個(gè)結(jié)論均正確.但不夠完整，本文將給出二次曲線上的四點(diǎn)共圓問題的完整結(jié)論，即文末的推論4.定理 若兩條二次曲線ax2+by2+ex+dy+e=0（a豐b），a'x2+b'y2+c'.x+dy+e'=0有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓.證明過這四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式（九,N不同時(shí)為0）：九（ax2+by2+ex+dy+e）+從（a'x2+b'y2+e'x+dy+e'）=0 ①式①左邊的展開式中不含xy的項(xiàng)，選從=1時(shí)，再令式①左邊的展開式中含x2,y2項(xiàng)a—b的系數(shù)相等，得^=-——此時(shí)曲線①即b—a的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無軌跡.而題中的四個(gè)交點(diǎn)都在曲線②上，所以曲線②表示圓這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓定理若兩條直線l:ax+by+c=0(i=1,2)與二次曲線iiiir:ax2+by2+cx+dy+e=0(a中b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是ab+ab=0.TOC\o"1-5"\h\z12 21證明由l,l組成的曲線即12(ax+by+c)(ax+by+c)=01 1 12 2 2所以經(jīng)過它與r的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式(九,從不同時(shí)為0)：九(ax2+by2+cx+dy+e)+從(ax+by+c)(ax+by+c)=0 ③1 1 12 2 2必要性.若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則存在九,從使方程③表示圓，所以式③左邊的展開式中含xy項(xiàng)的系數(shù)^(ab+ab)=0而從。0(否則③表示曲線r，不表示圓，所以ab+ab=0.12 21 12 21充分性當(dāng)ab+ab=0時(shí)，式③左邊的展開式中不含xy的項(xiàng)，選從=1時(shí)，再令式③12 21aa一bb左邊的展開式中含x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等，即九a+aa=九b+bb，得九二+2—一i2 i2 b一a此時(shí)曲線③即x2+y2+c'x+dy+e=0 ④的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無軌跡.而題中的四個(gè)交點(diǎn)都在曲線④上，所以曲線④表示圓這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓推論 若兩條直線與二次曲線r:ax2+by2+cx+dy+e=0(a豐b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù).證明設(shè)兩條直線為l：ax+by+c=0(i=1,2)，由定理2得，四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要iiii條件是ab+ab=0.TOC\o"1-5"\h\z12 21(1)當(dāng)l/〃即ab=ab時(shí)，得四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件即ab=ab=0也即1 2 12 21 12 21a=a=0或b=b=0.12 12(2)當(dāng)l與l不平行即ab豐ab時(shí)，由ab+ab=0得ab中0,ab中0，所以四個(gè)1 2 12 21 12 21 12 21

(〃、a交點(diǎn)共圓的充要條件即-尸+I=0也即直線l,l(〃、a交點(diǎn)共圓的充要條件即-尸+I相反數(shù).由此可得欲證成立.高考題1(2016年高考四川卷文科第20題)已知橢圓E：x2+y2=1(a>b>0)的一a2b2 (個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P01\ —73,-在橢圓E01\ —73,-在橢圓E上.271(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為5的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線0M與橢圓E交于C,D，證明：|M4卜|MB|=|MC|-|MD|.x2解(1)(過程略)橢圓E的方程是1+y2=1.(2)設(shè)A(*)，B(x2,y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0).x2可得于x2可得于+y2=1,

41(x+x)(x一x)=-(yi+y2)(yi-y(x+x)(x一x)=-(yi+y2)(yi-y2)所以k+k=0ABCD1二k2ABkCDd—x+x—t 22 -4"1+y2) -4y0，由推論1得A,B,C,D四點(diǎn)共圓.再由相交弦定理，立得|MA\?|MS|=|MC|?|MD競(jìng)賽題1(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽第13題)設(shè)A、B為雙曲線y2x2--=^上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,2)為線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn).(1)確定人的取值范圍；(2)試判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？并說明理由.y2簡解(1)用點(diǎn)差法可求得直線AB的方程是y=X+1,由直線AB與雙曲線x2-彳二九交于不同的兩點(diǎn)，可得九＞—1且太中0.y2得直線CD的方程是y=-X+3，由直線CD與雙曲線X2交于不同的兩點(diǎn)，可得九＞-9且入w0.所以九的取值范圍是(-1,0)D(0,+8).(2)在(1)的解答中已k+k=0，所以由推論1立得A,B,C,D四點(diǎn)共圓.ABCD筆者還發(fā)現(xiàn)還有一道競(jìng)賽題和四道高考題及均是二次曲線上的四點(diǎn)共圓問題,所以用以上定理的證法均可給出它們的簡解.這五道題及其答案分別是：高考題 年高考全國大綱卷理科第題即文科第 題已知拋物線Cy2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QFI-fPQI.(1)求c的方程；(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.(答案：(1)y2=4x；(2)X-y-1=0或x+y-1=0.)高考題 年高考全國大綱卷理科第題即文科的題如圖所示，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C:X2+y2=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-\；2的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OA+OB+OP=0.圖證明：點(diǎn)P在C上;(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上.

高考題2005年高考湖北卷文科第22題(即理科第21題))設(shè)A,B是橢圓高考題3x2+y2=九上的兩點(diǎn)，點(diǎn)式(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與該橢圓交于C,D兩點(diǎn).(1)確定人的取值范圍，并求直線AB的方程；(2)試判斷是否存在這樣的九，使得A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上？并說明理由.(答案：(1)九的取值范圍是(12,+8)，直線AB的方程是x+y-4=0；(2)當(dāng)九〉12時(shí)時(shí)，均有A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上.)y2高考題2002年高考江蘇卷第20題)設(shè)A,B是雙曲線x一彳=1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)NN(1,2)是線段AB的中點(diǎn).(1)求直線AB的方程；(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于。,D兩點(diǎn)，那么A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓？為什么？(答案：(1)y=x+1；(2)是.)競(jìng)賽題2(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽試題第一試第三題)如圖2所示，拋物線y2=2x及點(diǎn)尸(1,1)，過點(diǎn)P的不重合的直線1、l與此拋物線分別交于點(diǎn)A,B,C,D.12證明：A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線1與1的傾斜角互補(bǔ).12圖圖推論 設(shè)二次曲線r:ax2+by2+ex+dy+e=0(a豐b)上的四個(gè)點(diǎn)連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，在該四邊形的的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中：若有一對(duì)直線的斜率均不存在，則另兩對(duì)直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)；若有一對(duì)直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)，則另兩對(duì)直線的斜率也均存在且均互為相反數(shù)，或另兩對(duì)直線的斜率中有一對(duì)均不存在另一對(duì)均存在且互為相反數(shù).證明設(shè)圓內(nèi)接四邊形是四邊形ABCD，其兩組對(duì)邊AB與CD、AD與BC及對(duì)角線AC與BD所中的直線分別是l:ax+by+c=0(i=1,2)TOC\o"1-5"\h\z1i1i 1i 1il:ax+by+c=0(i=1,2)2i2i 2i 2il:ax+by+c=0(i=1,2)3i3i 3i 3i由定理中的充分性知，若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則以下等式之一成立：ab+ab=0,ab+ab=0,ab+ab=01112 1211 2122 2221 3132 3231再運(yùn)用定理2中的必要性知，若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則以上等式均成立.再由推論1的證明，可得欲證成立.推論2的極限情形是推論3設(shè)點(diǎn)A是定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上的定點(diǎn)但不是頂點(diǎn)，E、F是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AE、AF的斜率互為相反數(shù)，則直線EF的斜率為曲線C過點(diǎn)A的切線斜率的相反數(shù)(定值).由推論3可立得以下三道高考題中關(guān)于定值的答案： /一3V 一X2 y2 一高考題6(2009年高考遼寧卷理科第20(2)題)已知A1,-是橢圓C:―+^-=1上I2) 4 3的定點(diǎn)，E、F是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AE、AF的斜率互為相反數(shù)，證明EF直線的斜1率為定值，并求出這個(gè)定值.(答案：-.)高考題7(2004年高考北京卷理科第17(2)題)如圖3,過拋物線y2=2px(p〉0)上一定點(diǎn)P(x,y)(y〉0)作兩條直線分別交拋物線于A(x,y),B(x,y).當(dāng)PA與PB的斜率存00 0 1 1 2 2y+y在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求^的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).(答案:y0y+yrip-u 2-=-2；k=-——.)y ABy00圖3高考題8(2004年高考北京卷文科第17(2)題)如圖3,拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2),A(x,y),B(x,y)均在拋物線上.當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角11 22互補(bǔ)時(shí)，求y1+y2的值及直線AB的斜率.(答案：J1+J2=—4；kAB=T.)推論 設(shè)二次曲線r:ax2+by2+cx+dy+e=0(a豐b)上的四個(gè)點(diǎn)連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形只能是以下三種情形之一：(1)兩組對(duì)邊分別與坐標(biāo)軸平行的矩形；(2)底邊與坐標(biāo)軸平行的等腰梯形；(3兩)組對(duì)邊均不平行的四邊形，但在其兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中，每對(duì)直線的斜率均存在且均不為0且均互為相反數(shù).證明推論2中的圓內(nèi)接四邊形，只能是以下三種情形之一：(1)是平行四邊形.由推論2知，該平行四邊形只能是兩組對(duì)邊分別與坐標(biāo)軸平行的矩形.(2)是梯形.由推論2知，該梯形的底邊與坐標(biāo)軸平行，兩腰所在直線的斜率及兩條對(duì)角線所在直線的斜率均存在且均不為0且均互為相反數(shù)，可得該梯形是底邊與坐標(biāo)軸平行的等腰梯形.(3)兩組對(duì)