三角形（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習課程標準方法突破

考點13三角形

課標對考點的要求

對三角形問題，中考命題需要滿足下列要求：

(1)理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。

(2)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。證

明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

(3)理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。

(4)掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

(5)掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。

(6)掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。

(7)證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。

(8)探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距

離相等的點在角的平分線上。

(9)理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段

兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

(10)了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的

高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。

探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°,及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的

三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形。

(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形。

(12)探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。

(14)了解三角形重心的概念。

重要考點解讀

一、三角形的基礎(chǔ)知識

三角形的概念：由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.

(-)三角形中的重要線段

1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類：

(1)按照角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

(2)按照邊分類有不等邊三角形和等腰三角形(等邊三角形)

3.三角形三邊的關(guān)系

定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.

推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.

(1)理論依據(jù)：兩點之間線段最短.

(2)三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這

三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍.

(3)證明線段之間的不等關(guān)系.

4.三角形的高。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高

線，簡稱三角形的高.

三角形的高的數(shù)學(xué)語言：

如下圖，AD是AABC的高，或AD是AABC的BC邊上的高，或AD_LBC于D,或NADB=/ADC=N90°.

注意：AD是AABC的高O/ADB=/ADC=90°(或AD_LBC于D)；

(1)三角形的高是線段；

(2)三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；

(3)三角形的三條高：

(i)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；

(ii)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；

(iii)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.

5.三角形的中線。三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線.

三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：

如下圖，AD是AABC的中線或AD是AABC的BC邊上的中線或BD=CD=‘BC.

2

A

(1)三角形的中線是線段；

(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；

(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心；

(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.

6.三角形的角平分線。三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三

角形的角平分線.

三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：

如下圖，AD是AABC的角平分線，或/BAD=/CAD且點D在BC上.

注意：AD是AABC的角平分線ONBAD=NDAC=，NBAC(或NBAC=2/BAD=2NDAC).

2

(1)三角形的角平分線是線段；

(2)一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；

(3)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；

(4)可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.

知識點四：三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。

(二)與三角形內(nèi)角外角有關(guān)的問題

1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。

2.推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

3.三角形的面積

S=-Xah

2

二、全等三角形基本知識

1.基本概念

(1)全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

(2)全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.(注意對應(yīng)的頂點寫在對應(yīng)的位置上)

(3)對應(yīng)頂點：全等三角形中互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點.

(4)對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.

(5)對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.

2.全等三角形的表示

全等用符號“絲”表示，讀作“全等于"。如aABC絲ADEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

3.全等三角形的性質(zhì)：

(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；

(2)全等三角形的周長相等，面積相等；

(3)全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等.

4.三角形全等的判定定理

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊”或“SAS”)

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角邊角”或“ASA”)

(3)邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)。

(4)角角邊定理：兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成AAS).

(5)直角三角形全等的判定：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直

角邊”或“HL”)

三、角的平分線基本知識

1.角的平分線定義：

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因

為0C是/AOB的平分線，所以/1=N2=，/AOB,或/A0B=2Nl=2/2.

2

類似地，還有角的三等分線等.

A

2.作角平分線

角平分線的作法（尺規(guī)作圖）

①以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、0B于C、I）兩點;

②分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P；

③過點P作射線0P,射線0P即為所求.

3.角平分線的性質(zhì)

（1）定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

符號語言：；0P平分NAOB,AP_LOA,BP±OB,.\AP=BP.

（2）逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

符號語言：AP10A,BPXOB,AP=BP,.?.點P在NAOB的平分線上.

注意：三角形的角平分線。三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫

做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：

如下圖，AD是△ABC的角平分線，或NBAD=/CAD且點D在BC上.

說明：AD是AABC的角平分線o/BAD=/DAC=LNBAC(或/BAC=2NBAD=2/DAC).

2

(1)三角形的角平分線是線段；

(2)一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部：

(3)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；

(4)可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.

4.角平分線的綜合應(yīng)用

(1)為推導(dǎo)線段相等、角相等提供依據(jù)和思路；

(2)在解決綜合問題中的應(yīng)用.

四、線段垂直平分線問題

1.線段的垂直平分線定義

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.

2,線段垂直平分線的做法

求作線段AB的垂直平分線.

D

作法：(1)分別以點A,B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C,D兩點；

說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點了.

(2)作直線CD,CD即為所求直線.

說明：線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.

3.線段垂直平分線的性質(zhì)：

(1)線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

(2)線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一.同時

也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線

段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.

到線段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線

段兩個端點的距離相等的所有點的集合.

4.三角形的外心

三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心一

外心.

說明：

（1）三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（三線共點），該點即為三角形外接圓的圓心.

（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與

斜邊中點重合.

（3）外心到三頂點的距離相等.

5.尺規(guī)作圖

線段的垂直平分線作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，

畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.

最后要點題即“XXX即為所求”.

6.中考出現(xiàn)考查線段的垂直平分線問題的基本類型

類型一：線段的垂直平分線定理。

類型二：線段的垂直平分線的逆定理。

類型三：線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用。

類型四：尺規(guī)作圖。

五、等腰、等邊三角形問題

（一）等腰三角形

1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫

頂角，底邊和腰的夾角叫底角.

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”).

要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的

相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

(~)等邊三角形

1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

2.性質(zhì)

性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；

性質(zhì)2：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線。

3.判定

(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形；

(2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

(3)有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。

六、直角三角形問題

(-)勾股定理和勾股定理逆定理

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a'+bJc?。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c),那么這個三角形是直角三角形。

3.勾股數(shù)

能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即4+從二。?中，a,〃，c為正整數(shù)時，稱a,

b,c為一組勾股數(shù)

(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個條件：①滿足.+62=。2；②都是正整數(shù).兩者缺一不可.

(2)將一組勾股數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2+4=c2(但不一定是勾股數(shù))，以它們?yōu)檫?/p>

長的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長的三角形是直角三角形.

(二)直角三角形的判定及性質(zhì)

1.直角三角形的判定

(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形；

(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形；

(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形；

(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。

2.直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形的兩銳角互余；

(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；

(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

重要問題解題思維方法總結(jié)

一、三角形中的三調(diào)重要線段的價值

三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的

關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系.另外，要注意區(qū)分三角形的中線和中位線.中線：連接三

角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.

二、判定全等三角形方法概述

1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素(其

中至少有一個元素是邊)對應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊(角)準確地確定要補充的邊(角)，

有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路：

'找夾角fSAS

(1)已知兩邊v找直角HL

找第三邊一SSS

.一邊為角的對邊f(xié)找另一角fAAS

；一［找夾角的另一邊一SAS

(2)已知一邊、一角一邊為角的鄰邊找夾角的另一角一ASA

找邊的對角fAAS

.I

'找夾邊f(xié)ASA

(3)已知兩角＜遼曰7224A

找具中一角的對邊f(xié)AAS

2.若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補

短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目.

三、等腰或者等邊三角形解題方法要領(lǐng)

1.等腰(邊)三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時需要判斷幾何圖形中是否存在等腰

（邊）三角形?？筛鶕?jù)已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其

定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形

的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合.

2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常

將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。

3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三

角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。

四、直角三角形問題

在緊緊抓住勾股定理后，在直角三角形中，30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質(zhì)常常用于計算

三角形的邊長，也是證明一邊（30。角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù).當題目中已

知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時，我們可運用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生

的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

五、勾股定理

1.應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶“2+/>2=^時，斜邊只能是以若6為斜邊，則關(guān)系

式是“2+/42；若“為斜邊，則關(guān)系式是按+°2=。2.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時必須進行分類討論，以免漏解.

中考典例解析

【例題1】（2021山東濟寧）如圖，四邊形A8CD中，ZBAC^ZDAC,請補充一個條件，使△

ABC絲△AOC.

【答案】AD=AB（答案不唯一）.

【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

添加的條件是

理由是：在△A8C和。中

，AC=AC

<ZBAC=ZDAC>

AD=AB

.?.△ABC^AADC(SAS)

故答案為：AD=AB(答案不唯一).

【例題2】(2021浙江紹興)如圖，在△ABC中，ZA=40°,E分別在邊AB,AC上，連結(jié)CD,BE.

(1)若/ABC=80°,求NBDC,NA8E的度數(shù)；

(2)寫出/BEC與NBDC之間的關(guān)系，并說明理由.

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NBOC=/8CO=L（18（r-80°）=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角定理

2

得到/ACB=180°-40°-50°=60°,推出△BCE是等邊三角形，得到NE8C=60°,于是得到結(jié)論；

⑵設(shè)/8反'=5/引北=。,由于a=/A+NA8E=40°+/ABE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/CBE=NBEC

=a,求得NA8C=NABE+NCBE=ZA+2ZABE=40°+N48E,推出NC8E=NBEC=a，于是得到結(jié)論。

解：（1）,.?/A8C=80°,BD=BC,

/.ZZBCD=A（1800-80°）=50°,

2

,.?N4+NABC+N4CB=180°,NA=40°,

ZACB=180°-40°-50°=60°,

"：CE=BC,

.'.△BCE是等邊三角形，

AZEBC=60°,

NABE=/ABC-NEBC=2Q°;

（2）NBEC與N8OC之間的關(guān)系：ZBEC+ZBDC=\IO°,

理由：設(shè)NBEC=a,NBOC=0,

在△A8E中，a=NA+/A8E=40°+NABE,

,;CE=BC,

：.ZCBE=ZBEC=a,

NABC=NABE+NCBE=/A+4NABE=40°+NABE,

\'CE=BC,

:.NCBE=NBEC=a,

：.NABC=NABE+NCBE=NA+2NA8E=40°+2ZABE,

在△BOC中，BD=BC,

：.ZBDC+ZBCD++2NA8E=180°,

.?.0=70°-NABE,

.,.a+p=40°+ZABE+100-ZABE=]10°,

：.ZBEC+ZBDC=M0°.

【例題3】（2021云南）如圖，在四邊形A8CQ中，AD=BC,AC^BD,AC與2。相交于點E.求證：Z

DAC=NCBD.

【答案】見解析。

【解析】證明ACD4四△OCB(SSS),即可求解.

證明：在△DC4和AOCB中，

AD=BC

,AC=BD,

DC=CD

.?.△CCA絲ZXOCB(SSS),

：.ZDAC=ZCBD.

【點評】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

【例題4】(2021江西)如圖，在△ABC中，乙4=40°,NABC=80°,BE平分乙4BC交AC于點E,

E￡>_LAB于點。，求證：AD=BD.

B

【答案】見解析。

【解析】先證明NA=NA3E得到△A8E為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】證明：：BE平分乙48c交4c于點E,

/.ZABE=XzABC=^X80°=40°,

22

VZ4=40°，

ZA=ZABE,

...△A8E為等腰三角形,

"JEDA-AB,

:.AD=BD.

【例題5】用1876年美國第十七任總統(tǒng)加菲爾德Garfield的方法證明勾股定理

【答案】見解析。

【解析】以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把

這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.

,/Rt△EAD<RtACBE,

二ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

二ZAED+ZBEC=90°.

,ZDEC=180°-90°=90°.

/.△DEC是一個等腰直角三角形,

它的面積等于4c2

又：ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD〃BC.

ABCD是一個直角梯形，它的面積等于S==(a+b)2……①

又因為這個直角梯形的面積等于三個小三角形面積之和，即5=2X{ab+1c2……②

由①②得

\（a+b）'=2Xab+yc"

化簡：a2+b2=c\

從而結(jié)論得到證明。

考點問題綜合訓(xùn)藪

一、選擇題

1.（2021新疆）如圖，在RtZXASC中，ZACB=90°，NA=30°,A8=4,CO_LAB于點。，E是A8的

【答案】A

【解析】利用三角形的內(nèi)角和定理可得NB=60°,由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)定理可得CE=BE=2,利

用等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

VZACB=90",NA=30°,

.*.ZB=60°,

是AB的中點力B=4,

.?.CE=B￡=1ABJ-X4=2-

.?.△3CE為等邊三角形，

'：CD1.AB,

.?.D￡=BD=±BEU.X2=1-

2.（2021重慶）如圖，在△ABC和△OCB中，ZACB=-ZDBC,添加一個條件，不能證明△ABC和△DCS

全等的是（）

D

A./ABC=NDCBB.AB=DCC.AC=DBD./A=NO

【答案】B

【解析】根據(jù)證明三角形全等的條件AAS,SAS,ASA,SS5逐一驗證選項即可.

在△A8C和△OCB中，

■:NACB=/DBC,BC=BC,

A：當NABC=N￡>CB時，/\ABC^/\DCB(ASA),

故A能證明；

B：當A8=￡>C時，不能證明兩三角形全等，

故B不能證明；

C：當AC=O8時，AABgADCB(SAS),

故C能證明；

D：當NA=N￡)時，AABC^ADCB(AAS),

故。能證明.

3.(2021浙江紹興)如圖，Rt^ABC中，NBAC=90°工，點。是邊8c的中點，以A。為底邊在其右側(cè)

4

作等腰三角形AOE,連結(jié)CE,則出的值為()

AD

D.2

【答案】D

【解析】設(shè)DE交4c于7,過點E作EH_LCD于凡首先證明E4=EZ)=EC,再證明/E8,可得結(jié)論。

設(shè)￡>￡交AC于T,過點E作于H.

E

VZBAC=90°,BD=DC,

:?AD=DB=DC,

：.ZB=ZDAB9

?；NB=NADE,

???NDAB=NADE,

:.AB〃DE、

：.ZDTC=ZBAC=90°,

■:DT〃AB,BD=DC,

：.AT=TCt

:?EA=EC=ED,

：.ZEDC=ZECD,

9：EHLCD.

:?CH=DH,

?.*DE//AB,

：.ZEDC=ZB,

：.ZECD=ZB,

cosZECH=cos>B=—y

4

???C—H_—8—，

EC4

?EC—EC=o

ADCD

故選：D.

4.（2020?棗莊）如圖，在△ABC中，A8的垂直平分線交A8于點。，交BC于■點、E,連接AE.若BC=6,

AC=5,則△ACE的周長為（）

A

D,

BEC

A.8B.11C.16D.17

【答案】B

【解析】在△ABC中，AB的垂直平分線交A8于點￡）,交8c于點E,連接AE.若BC=6,AC=5,則4

ACE的周長為

垂直平分A8,

:.AE=BE,

：.AACE的周長=AC+CE+AE

^AC+CE+BE

=AC+8C

=5+6

=11.

5.（2020?自貢）如圖，在RtAABC中，N4CB=90°,NA=50°,以點8為圓心，8C長為半徑畫弧，

交AB于點D,連接CD,RiJZACD的度數(shù)是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

\?在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=50°,

.?.NB=40°,

?；BC=BD,

；.NBCD=NBDC=與(180°-40°)=70°,

/.ZACD=90°-70°=20°,

6.（2020?甘孜州）如圖，等腰4ABC中，點。，E分別在腰AB,AC上，添加下列條件，不能判定△ABE

也△ACQ的是（）

A.AD=AEB.BE=CDC.ZADC^ZAEBD.NDCB=/EBC

【答案】B

【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)得NABC=NACB,AB=AC,然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進

行判斷.

:△ABC為等腰三角形,

AZABC^ZACB,AB^AC,

...當AD=AE時，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABEg/XACD；

當NAEB=NADC,則根據(jù)“A4S”可判斷△ABE-zMCD：

當NDCB=NEBC,則/A2E=NACZ),根據(jù)“ASA”可判斷△ABEg△ACZ).

7.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若BD

是△ABC的高，則的長為（）

B.士后

A.c*"D.—y/13

13

【答案】D

【解析】根據(jù)勾股定理計算4c的長，利用面積差可得三角形A8c的面積，由三角形的面積公式即可得到

結(jié)論.

由勾股定理得：AC=、/22+32=舊,

SMBC=3X3-1xlx2-|xlx3-1x2x3=3.5,

17

??-AC?BD=一,

22

/-V13BD=7,

7、U

:.BD=IT-

8.(2020?臨沂)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,CD//AB,則N8CO=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NACB,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求NBCD

???在△A8C中，AB=ACfZA=40°,

AZACB=70°,

YCD〃AB,

：.ZACD=180°-ZA=140°,

:.NBCD=ZACD-NAC8=70°.

9.（2020?聊城）如圖，在△ABC中，AB=AC,NC=65°,點力是8C邊上任意一點，過點。作。尸〃

A8交AC于點E,則//石。的度數(shù)是（）

BD

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出NB=NC=65°,由平行線的性質(zhì)得出NCOE=N3=65°,再由三角形

的外角性質(zhì)即可得出答案.

\'AB=ACtZC=65°,

，/B=NC=65°,

'：DF//AB,

???NCDE=NB=65°,

AZFEC=ZCDE+ZC=650+65°=130°.

10.(2020?南充)如圖，在等腰△ABC中，3。為NA3C的平分線，ZA=36°,AB=AC=afBC=b,則

CD=()

a+ba-b

A.------B,C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出8Q=3C=A。，進而解答即可.

?.?在等腰△4BC中，8拉為NA8C的平分線，ZA=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

???NA8￡>=36°=NA,

:?BD=AD,

：.ZBDC=ZA+ZABD=12°=ZC,

:.BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：.CD^AC-AD=a-b

11.(2020?山東煙臺)如圖，△。4人為等腰直角三角形，OAi=l,以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角

形OA2A3,再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4,…，按此規(guī)律作下去，則04的長度為()

A.(0)nB.(V2)c.(―)nD.(―)

'22

【答案】B

【解析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案.

?.?△OA1A2為等腰直角三角形，OAi=1=(0)。，

：.OM=y/2:

2

AOA2A3為等腰直角三角形，...OA3=2=(V2)：

?..△OA3A4為等腰直角三角形，...OA4=20=(夜)3.

VZXOA4A5為等腰直角三角形，OOA5=4=(>/2)4...........

.?.OAn的長度為(百)山.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵.

12.(2022江蘇蘇州模擬)AABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長為()

A.42B.32C.42或32D.37或33

【答案】C.

【解析】此題應(yīng)分兩種情況說明：

(1)當△"(：為銳角三角形時，在Rt^ABD中，

^VAB^AD^VlB2-122，

在RtAACD中，

CD=VAC2-AD2=V132-122=5

，BC=5+9=14

.'.△ABC的周長為：15+13+14=42；

(2)當aABC為鈍角三角形時，

在RtaABD中，BD=^/AB2_AD2=Ayi52_122=9,

在RtaACD中，CD=7AC2-AD^V132-12^5-

BC=9-5=4.

.,.△ABC的周長為：15+13+4=32

...當△ABC為銳角三角形時，Z^ABC的周長為42；當△ABC為鈍角三角形時，ZXABC的周長為32.

13.(2022江西模擬)/XABC中，a、b、c是三角形的三條邊，若(a+b)2-c2=2ab,則此三角形應(yīng)是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】先對已知進行化簡，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行判定.

V(a+b)2-c2=2ab,

.-.a2+b2=c%

...△ABC是直角三角形.

二、填空題

1.(2020?蘇州)如圖，在△ABC中，已知AB=2,AD±BC,垂足為。，BD=2CD.若E是A。的中點，

則EC=

【答案】1

【解析】設(shè)AE=ED=x,CD=y,根據(jù)勾股定理即可求出答案.

設(shè)A￡=EC=x,CD=y,

C.BD^ly,

'：AD1BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

在Rt/\ABD中，

/MB2=4jc2+4y2,

?*.x2+y2=L

在RtZkCDE中，

EC1=x1+y2—\,

：.EC^\

2.（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABO和△ABC中，ND4B=/C48,點A、B、E在同一條直線上,

若使△48。嶺△ABC,則還需添加的一個條件是.（只填一個即可）

【答案】4D=AC（NC=NC或/A8D=NA8C等）.

【解析】利用全等三角形的判定方法添加條件.

?；NDAB=NCAB,AB=A8,

,當添加A￡）=AC時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABOZZ\A8C；

當添加/Q=NC時，可根據(jù)“AAS”判斷△AS。絲△ABC；

當添加時，可根據(jù)“ASA”判斷△A8Q絲/XABC.

3.(2020?遼陽)如圖，在△ABC中，M,N分別是和4C的中點，連接MM點E是CN的中點，連

接ME并延長，交BC的延長線于點D.若BC=4,則CD的長為.

【答案】2

【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=a8C=2,MN//BC,依據(jù)(A4S),即可

得到CD=MN=2.

,：M,N分別是AB和AC的中點，

是△4BC的中位線，

:.MN=%C=2,MN//BC,

:.NNME=/D,ZMNE=ZDCE,

..?點￡是CN的中點，

:.NE=CE,

:.AMNE咨ADCE(A4S),

：.CD=MN=2.

4.(2020?安順)如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB=EA,/A=2NC8E,CO垂直于BE的延長線于

點。，BD=8,4c=11,則邊BC的長為.

B

E

D

【答案】4V5

【解析】延長8。到F,使得。尸=8￡>,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理即可求出答案.

延長3。到F,使得

'：CD1BF,

.?.△8C/是等腰三角形，

：.BC=CF,

過點C點作C，〃A8,交于點”

,NABD=NCHD=2/CBD=2NF,

：.HF=HC,

VBD=8,AC=11,

：.DH=BH-BD=AC-BD=3,

:.HF=HC=8-3=5,

在Rt/XCDH,

二由勾股定理可知：CD=4,

在RtABCD中，

：.BC=v'82+42=4訪

5.（2020?齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個等腰三角形的周長是

【答案】10或11.

【解析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可.

①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4,

???此時能組成三角形，

二周長=3+3+4=10；

②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4,

此時能組成三角形，

所以周長=3+4+4=11.

綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11.

6.（2020?濟寧）已知三角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是—（寫出一個即可）.

【答案】4

【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取

值范圍，即可得出結(jié)果.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

第三邊應(yīng)大于6-3=3,而小于6+3=9,

故第三邊的長度3<xV9,這個三角形的第三邊長可以，4.

7.（2020?臺州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6,E,尸是邊8C上的三等分點.分別過點E,F

沿著平行于BA,CA方向各剪一刀，則剪下的△?！晔闹荛L是.

【答案】6

【解析】根據(jù)三等分點的定義可求EF的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

?.?等邊三角形紙片A8C的邊長為6,E,尸是邊BC上的三等分點，

：.EF=2,

?:DE"AB、DF//AC,

...△OE廠是等邊三角形，

剪下的△￡）"的周長是2X3=6.

8.（2020?黑龍江）如圖，RtZ\ABC和尸中，NB=ND,在不添加任何輔助線的情況下，請你添加

一個條件___________,使RtAABC和RtAEDF全等.

【答案】AB=ED.

【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，可以是AB=￡?；?c=。尸或AC=EF或AE=CF等，

只要符合全等三角形的判定定理即可.

添加的條件是：AB=ED,

理由是：,在△ABC和△￡￡）尸中

Z="

-AB=ED1

^LA=￡DEF

:.△ABCWXEDF（ASA）

9.（2020?北京）如圖，在△ABC中，AB=AC,點。在BC上（不與點B,C重合）.只需添加一個條件

即可證明△ABO鄉(xiāng)△ACQ,這個條件可以是（寫出一個即可）.

【解析】由題意可得NA8C=/4C。，AB^AC,即添加一組邊對應(yīng)相等，可證△A8O與△AC。全等.

"：AB=AC,

：.ZABD=ZACD,

添加BD=CD,

.,.在△48。與△4CO中

AB=AC

zABD=￡ACD'

（BD=CD

：./\ABD^/\ACD（SAS）,

10.（2020?泰州）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形

成的角為65°,則圖中角a的度數(shù)為.

【答案】140°.

【解析】求出NACQ,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NAFC,求出NOP8,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可.

如圖，

VZACB=90°,NDCB=65°,

/.ZACD=ZACB-ZACD=900-65°=25°,

VZA=60°,

.\ZDFB=ZAFC=180°-ZACD-ZA=180°-25°-60°=95°,

VZ￡>=45°,

AZa=ZD+ZDFB=450+95°=140°

11.（2020貴州黔西南）如圖所示，在RtaABC中，ZC=90°,點D在線段BC上，且NB=30°,ZADC

=60°,BC=3g，則BD的長度為.

4

【答案】2G

【解析】首先證明DB=AD=2CD,然后再由條件BC=3后可得答案.

解:VZC=90°,ZADC=60°,

/.ZDAC=30°,

「1

ACD=—AD.

2

VZB=30°,ZADC=60°,

AZBAD=30°,

???BD=AD,

???BD=2CD.

???BC=3g，

.?.CD+2CD=3石,

，CD=6，

/.DB=2x/3.

【點撥】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30。角所對的直角

邊等于斜邊的一半.

三、解答題

1.（2021四川瀘州）如圖，點。在AB上，點E在AC上，AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE.

CE只要證明4Z）=AE即可，而證明aABE四△AC。，則可得AE）=AE.

證明：在△48E與△ACO中

ZA=ZA

<AB=AC，

ZB=ZC

/.AABE^AACD(ASA).

：.AD=AE.

:.BD=CE.

2.（2020?荷澤）如圖，在△A8C中，/ACB=90°,點E在AC的延長線上，于點C,若8C=

ED,求證：CE=DB.

【答案】見解析。

【解析】由“AAS”可證△ABCgZkAEZ）,可得AE=A8,AC=A。，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論.

證明：'CEDLAB,

AZADE=ZACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,

：./XABC^AAED(A45),

：.AE=AB.AC=AD,

:?CE=BD.

3.(2020?南充)如圖，點C在線段3。上，且AB_L3￡>,DELBD,AC_LCE,BC=DE,求證：AB=CD.

【解析】證明(ASA),可得出結(jié)論.

證明：'：ABLBDfED工BD,AC1.CE,

AZACE=ZABC=ZCDE=90°,

ZACB+ZECD=90°,ZECD+ZCED=90Q,

ZACB=ZCED.

在△ABC和△CDE中，

NACB=NCED

BC=DE'

LABC=Z.CDE

：./\ABC^ACDE(ASA),

：.AB=CD.

4.(2020?銅仁市)如圖，NB=/E,BF=EC,AC//DF,求證：△ABC9XDEF.

【答案】見解析。

【解析】首先利用平行線的性質(zhì)得出NACB=N川芯進而利用全等三角形的判定定理ASA,進而得出答案.

證明：'.,AC//DF,

：.NACB=ZDFE,

'：BF=CE,

：.BC=EF,

在△ABC和△￡)《尸中，=EF，

&CB=UFE

.?.△ABC四△DEF(ASA).

5.(202()?無錫)如圖,已知A8〃C￡>,AB=CD,BE=CF.

求證：(1)AABF^ADCE；

(2)AF//DE.

【分析】(1)先由平行線的性質(zhì)得/B=NC,從而利用SAS判定△48FgZ\OCE；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得/4FB=/DEC,由等角的補角相等可得N4FE=NOEF,再由平行線的判

定可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)?.,AB”。。，

:.NB=NC,

,:BE=CF,

:.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△A8尸和△￡)(?￡■中，

AB=CD

,:zB="，

=CE

:.AABFgADCE(SAS)；

(2)'：/\ABF^/\DCE,

二ZAFB=ZDEC,

NAFE=/DEF,

：.AF//DE.

6.(2020?臺州)如圖，已知AB=AC,AD=AE,8。和CE相交于點O.

(1)求證：△ABO名ZVICE；

(2)判斷△BOC的形狀，并說明理由.

【答案】見解析。

【分析】(1)由“S4S”可證△48￡>g/\ACE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NA8D=N4CE,由等腰三角形的性質(zhì)可得NA8C=N4C8,可求/08C=

NOCB,可得BO=C。，即可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)；A8=AC,ZBAD^ZCAE,AD^AE,

：.^ABD^^ACE(SAS)；

(2)/XBOC是等腰三角形，

理由如下：

/XABD咨4ACE,

：.NABD=ZACE,

'：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZABC-NABD=ZACB-ZACE,

：.NOBC=NOCB,

?：BO=CO,

??.△80C是等腰三角形.

7.(2020?溫州)如圖，在△ABC和△￡>“中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°,點A,C,。依次在同一

直線上，且A8〃￡>￡

(1)求證：△AB8XDCE.

(2)連結(jié)AE,當BC=5,AC=12時，求4E的長.

【分析】(1)由“A4S”可證aABC也△￡><:￡

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得CE=BC=5,由勾股定理可求解.

【解答】證明：(1)-：AB//DE,

：.ZBAC=ZD,

又：NB=NDCE=90°,AC=DE,

:.△ABg/XDCE(A4S)；

(2)"：/\ABC^/\DCE,

：.CE=BC=5,

VZAC￡=90°,

：.AE=vRC2+CE2=<25+144=13.

8.（2020?衡陽）如圖，在△ABC中，ZB=ZC,過BC的中點。作