黑龍江省哈爾濱市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題及參考答案

級(jí)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知等差數(shù)列10，9，8，7，6，……，則該數(shù)列的公差是（）A．0.5 B．1 C．－1 D．－0.52．已知，，且A與B相互獨(dú)立，則（）A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.883．已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前9項(xiàng)和（）A．9 B．18 C．36 D．724．成對(duì)樣本數(shù)據(jù)Y和x的一元線性回歸模型是，則下列四幅殘差圖滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定的是（）A． B．C． D．5．古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，所以都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列。類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．646．已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的m，，都有，且，則（）A． B． C．7．某大學(xué)畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2019年8月初向銀行貸款360000元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，從2019年9月初開(kāi)始，每個(gè)月月初還一次款，貸款月利率為0.5%，現(xiàn)因經(jīng)營(yíng)狀況良好準(zhǔn)備向銀行申請(qǐng)?zhí)崆斑€款，計(jì)劃于2024年8月初將剩余貸款全部一次還清，則該大學(xué)畢業(yè)生按現(xiàn)計(jì)劃還款的所有還款數(shù)額比按原約定還款的所有還款數(shù)額少（）（注：“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率。1年按12個(gè)月計(jì)算）A．27450元 B．22450元 C．18300元 D．28300元8．已知等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且前三項(xiàng)和為9，前三項(xiàng)積為24，數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，則（）A．當(dāng)時(shí)，的值最小 B．當(dāng)時(shí)，的值最大C．當(dāng)時(shí)，的值最小 D．無(wú)最值二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．設(shè)公比為q的等比數(shù)列，若則（）A． B．當(dāng)時(shí)，C．和的等比中項(xiàng)為4 D．10．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．11．已知為數(shù)列前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論成立的有（）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，若，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，其前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為9：8，且，則公差為2D．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的前100項(xiàng)和12．已知?dú)W拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，則（）A． B．n為素?cái)?shù)時(shí)，C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則。14．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則。15．甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加學(xué)校組織的朗誦比賽，決出第1名到第5名的名次。甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，評(píng)委對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾你和乙都沒(méi)得到冠軍。”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的。”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列有種不同情況。（用數(shù)字作答）16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有．若，則的值為．四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分．17．（本小題10分）等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（本小題12分）在①，②，③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本小題12分）某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，最后一個(gè)名額要在A、B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測(cè)試方案如下：A、B兩名學(xué)生各自從給定的4個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答，在這4個(gè)問(wèn)題中，已知A能正確作答其中的3個(gè)，B能正確作答每個(gè)問(wèn)題的概率是，A、B兩名同學(xué)作答問(wèn)題相互獨(dú)立．（1）設(shè)A答對(duì)的題數(shù)為X，求X的分布列；（2）設(shè)B答對(duì)的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生，并說(shuō)明理由。20．（本小題12分）已知數(shù)列滿足．?dāng)?shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和．21．（本小題12分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求對(duì)所有的正整數(shù)n都有成立的k的范圍．22．（本小題12分）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣也開(kāi)始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)．A市教育主管部門(mén)為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過(guò)3000元）：消費(fèi)金額（單位：元）頻數(shù)2035251055（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）．現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問(wèn)卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則是：某張方格圖上共61個(gè)方格，依次記為第0格、第1格、第2格、…、第60格．棋子開(kāi)始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從k到），若擲出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從k到）．重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束。①設(shè)棋子移到第n格的概率為（其中），求證：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．2021級(jí)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題答案1-8．C B C B A B A C9-12．ABD ABC ACD ABC13-16．9；3；54；17．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列，∴，∴，解得，∴，：（2），∴．綜上，．18．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，當(dāng)選①②時(shí)：，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選①③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選②③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，∵∴19．【答案】（1）略 （2）選擇A同學(xué)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)A答對(duì)的題數(shù)X，則，且，，則X的分布列為：X23P（2）設(shè)B答對(duì)的題數(shù)Y，且，，，，由（1）知：，，而，，所以，，故選擇A．20．【答案】（1），【詳解】（1）由題可知，①，所以，②，①－②得，所以（*），又因?yàn)?，所以，符合?）式，所以，．∵，∴，則，所以為等比數(shù)列．又因?yàn)?，所以，?）由（1）可知，∴21．【答案】（1）， （2）【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，化為：，，解得．又滿足，∴，即，解得，∴，（），∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，∴，∴，即，∴是以2為公差的等差數(shù)列．又，即，（2）由（1）知，所以恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞減，即又因?yàn)閷?duì)所有的正整數(shù)n都有成立，所以，由可得，若恒成立，只需即可，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立所以22．【答案】（1）16.372；（2）①證明見(jiàn)解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由Z服從正態(tài)分布，算出概率，即，進(jìn)而算出X的數(shù)學(xué)期望；（2）①棋子開(kāi)始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即．棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，所以，即，進(jìn)而求證當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；②由①知，，，…，，得，所以，算出相應(yīng)概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率．【詳解】解：（1），因?yàn)閆服從正態(tài)分布，所以．所以，所以X的數(shù)學(xué)期