概率統(tǒng)計正態(tài)總體的區(qū)間估計

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引言前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.習慣上把置信水平記作，這里是一個很小的正數(shù).第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個盡可能置信水平為的置信區(qū)間，其中為兩個統(tǒng)計量.稱區(qū)間為的第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.我們選取未知參數(shù)的某個估計量，根據(jù)置信水平，可以找到一個正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五前面已經(jīng)給出了概率分布的上側分位數(shù)（分位點）的定義，為便于應用，這里我們再簡要復習一下.在求置信區(qū)間時，要查表求分位數(shù).設0<<1,對隨機變量X，稱滿足的點為X的概率分布的上分位數(shù).第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五例如:標準正態(tài)分布的上分位數(shù)第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五例如:分布的上分位數(shù)自由度為n的第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五F分布的上分位數(shù)自由度為n1,n2的第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五書末附有分布、t

分布、F分布的上側分位數(shù)表，供使用.需要注意的事項在教材上有說明.至于如何由標準正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的話，這個問題不難解決.現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來.第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

一、置信區(qū)間定義：滿足設是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間是

的置信水平（置信度、置信概率）為

的置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).這里有兩個要求:可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五~N(0,1)選的點估計為求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.（1）設X1,…Xn是取自的樣本，二、置信區(qū)間的求法尋找未知參數(shù)的一個良好估計.解：尋找一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五對給定的置信水平查正態(tài)分布表得對于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣??？第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五對給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五從解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個良好的點估計T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個待估參數(shù)和估計量T的函數(shù)S(T,),且其分布為已知.第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五4.對于給定的置信水平

，根據(jù)S(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=

5.對“a≤S(T,)≤b”作等價變形,得到如下形式:則就是的100(

)％的置信區(qū)間.第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計.第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

某工廠生產(chǎn)的零件長度X被認為服從N(,0.04),現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機抽取6個,其長度的測量值如下(單位毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.

求:該零件長度的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計.n=6,=0.05,Z/2=Z0.025=1.96

2=0.22.解:例1第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五(2)已知因方差未知，取對給定的置信度

,確定分位數(shù)使即先求均值的區(qū)間估計:

1、第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五均值的置信水平為的區(qū)間估計.即為從中解得第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五由于從中解得2求方差的置信水平為的區(qū)間估計.對給定的置信度

,確定分位數(shù)使第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五于是即為所求.第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

為了估計一件物體的重量,將其稱了1O次,得到的重量(單位：千克)為:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.9

設所稱出的物體重量X服從N(,2).求:該物體重量的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間解:例2

n=10,=0.05,t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五

求:2的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間.解:例3(續(xù)例2)n=10,=0.05,S2=0.0583,查附表得:第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五三、單側置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間.第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五于是引入單側置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信下限.第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五又若統(tǒng)計量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信上限.第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期五設燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側置信下限.

例4從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸量解：