專題01 實數(shù)與二次根式【考點精講】【無答案】

專題專題01實數(shù)與二次根式知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航考點精講考點精講【考點1】實數(shù)的概念與正負數(shù)的意義1．實數(shù)：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。實數(shù)的分類如下：①按定義分：②按大小分：實數(shù)可分為正實數(shù)、零、負實數(shù).2．正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量【例1】紐約與北京的時差為﹣13小時（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負數(shù)表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)），當(dāng)北京時間1月7日8時時，紐約的時間是（）A．1月6日21時 B．1月7日21時 C．1月6日19時 D．1月6日20時【例2】下列實數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·山東濟寧市）若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示（）A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損2．（2021·廣西來賓市）下列各數(shù)是有理數(shù)的是（）A． B． C． D．【考點2】相反數(shù)、倒數(shù)1．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).（1）若a,b互為相反數(shù),則a+b=0;（2）0的相反數(shù)是0;（3）在數(shù)軸上,互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離相等.2．倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).（1）ab=1?a,b互為倒數(shù);（2）0沒有倒數(shù);（3）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.【例3】-2021的相反數(shù)是（）A．2021 B．-2021 C． D．【例4】﹣的相反數(shù)，倒數(shù)．【考點3】數(shù)軸注注:實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.【例5】（2021·青海）若，則實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置是（）．A． B．C． D．【例6】（2021·湖南）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·北京）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，數(shù)軸上點A，B，C對應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，c，則下列結(jié)論中，正確的有（）①a+b+c＞0②a?b?c＞0③a+b﹣c＜0④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a(chǎn)＜﹣a＜0＜﹣b＜b C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a(chǎn)＜0＜﹣a＜b＜﹣b【考點4】絕對值1．絕對值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|.正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.2．絕對值具有非負性：【例7】已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，則y＝．【例8】的絕對值是（）A． B． C． D．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·四川雅安市）-2021的絕對值等于（）A．2021 B．-2021 C． D．2．已知|x﹣y+3|與（x﹣2）2互為相反數(shù)，則=．【考點5】科學(xué)計數(shù)法科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)寫成a×10n（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)）的形式，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【例9】（2021·廣東）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．針對訓(xùn)練1．（2021·內(nèi)蒙古）據(jù)交通運輸部報道，截至2020年底，全國共有城市新能源公交車46.61萬輛，位居全球第一．將46.61萬用科學(xué)記數(shù)法表示為，則n等于（）針對訓(xùn)練A．6 B．5 C．4 D．32．（2021·湖南張家界市）我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截至2021年6月5日，免費接種數(shù)量已超過700000000劑次，將700000000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）A． B． C． D．3．（2021·貴州銅仁市）2021年2月25日，全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會在京舉行，習(xí)近平總書記在大會上莊嚴宣告：“我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利．這是中國人民的偉大光榮，是中國共產(chǎn)黨的偉大光榮，是中華民族的偉大光榮!”現(xiàn)行標準下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，創(chuàng)造了又一個彪炳史冊的人間奇跡．98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）．A． B． C． D．方法技巧方法技巧科學(xué)記數(shù)法的表示方法：一般形式:a×10n.1．a(chǎn)值的確定:1≤|a|<10.2．n值的確定:①當(dāng)原數(shù)的絕對值大于或等于10時,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;②當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時,n是負整數(shù),它的絕對值等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)(含小數(shù)點前的零).注意:若含有計數(shù)單位,則先把計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，再用科學(xué)記數(shù)法表示.【考點6】實數(shù)的大小比較【例10】（2021·湖南懷化）比較大?。篲_________（填寫“＞”或“＜”或“＝”）．【例11】若0＜m＜1，m、m2、的大小關(guān)系是（）A．m＜m2 B．m2＜m C．m＜m2 D．m2＜m針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·廣西柳州市）在實數(shù)3，，0，中，最大的數(shù)為（）A．3 B． C．0 D．2．（2021·湖北襄陽市）下列各數(shù)中最大的是（）A． B． C．0 D．1方法技巧方法技巧比較實數(shù)大小的5種方法1．?dāng)?shù)軸比較法:將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.2．類別比較法:正數(shù)大于零;負數(shù)小于零;正數(shù)大于一切負數(shù);兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小.3．差值比較法:若a,b是任意兩個實數(shù),則a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.4．倒數(shù)比較法:若>，ab>0，則a<b.5．平方比較法:由a>b>0,可得,故可以把比較與的大小問題轉(zhuǎn)化成比較a和b的大小問題.【考點7】二次根式的估算【例12】（2021·四川達州市）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是（）A．點 B．點 C．點 D．點針對訓(xùn)練1．（2021·湖北隨州市·中考真題）2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導(dǎo)量子計算機“祖沖之”號的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家，他是第一個將圓周率精確到小數(shù)點后第七位的人，他給出的兩個分數(shù)形式：（約率）和（密率）．同時期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有，其中，，，為正整數(shù)），則是的更為精確的近似值．例如：已知，則利用一次“調(diào)日法”后可得到的一個更為精確的近似分數(shù)為：；由于，再由，可以再次使用“調(diào)日法”得到的更為精確的近似分數(shù)……現(xiàn)已知，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分數(shù)為______．針對訓(xùn)練2．（2020?黔東南州）實數(shù)210介于（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間方法技巧方法技巧求二次根式離哪個整數(shù)較近時,先確定這個二次根式在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間,再求這兩個整數(shù)的平均數(shù),用平方法比較這個二次根式和平均數(shù)的大小.若二次根式的平方大于平均數(shù)的平方,則離較大的整數(shù)近;若二次根式的平方小于平均數(shù)的平方,則離較小的整數(shù)近.【考點8】平方根與算術(shù)平方根1．平方根與算術(shù)平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，記作；如果一個正數(shù)的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,記作.2．平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.【例13】（2020?湖州）數(shù)4的算術(shù)平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2020?泰州）9的平方根等于．2．（2021·黑龍江大慶市）________【考點9】立方根1．立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根，記作.2．立方根的性質(zhì)：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根.【例14】（2020?寧波）實數(shù)8的立方根是．【考點10】二次根式1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被開方數(shù)a只能是非負數(shù).2．最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.3．同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.【例15】（2020蘇州）使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的x的取值范圍是．【例16】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【例17】（2020濟寧）下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·湖南）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．2．（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長，則等于（）A． B． C．10 D．43．（2020蘇州）使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的x的取值范圍是．【考點11】實數(shù)與二次根式運算1．實數(shù)運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、乘方運算都可以進行，但開方運算不一定能進行，正實數(shù)和零總能進行開方運算，而負實數(shù)只能開奇次方，不能開偶次方.2．二次根式的運算法則：（1）（2）（3）（4）操作方法示例（1）分段:以加、減號為界,把式子分成幾段(有括號的,先算括號內(nèi)的,再分段);（2）先計算每一小段中每一小項的值(如零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪、開方、絕對值、乘方等);（3）進行每段中的乘除運算;（4）進行段與段之間的加減運算.注意:同級運算按照從左到右的順序進行.注意事項注意事項二次根式運算的注意事項1．在進行二次根式的運算時,一般先把二次根式化為最簡二次根式,再利用二次根式的乘除法法則進行乘除運算,同類二次根式之間可以進行加減運算(類似于合并同類項).2．運算結(jié)果要化成最簡形式.3．在二次根式的運算中,要注意與次的區(qū)別.①取值不同:前者的a為任意實數(shù),后者的a為非負數(shù);②化簡結(jié)果不同:=|a|,=a.