創(chuàng)新型問題解題策略

創(chuàng)新型問題解題策略專題輔導(dǎo)【考情分析】新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生對(duì)“新穎的信息、情景和設(shè)問選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和探究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．”著新一輪課程改革的深入和推進(jìn)，高考的改革使知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意，推出了一批新穎而又別致，具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題。從最近幾年來高考中探索性問題和創(chuàng)新題型比重逐年攀升，對(duì)探索性問題和創(chuàng)新型問題的預(yù)測(cè)研究應(yīng)該是我們備考的重點(diǎn)。預(yù)測(cè)12年高考探索性問題重點(diǎn)出在函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何和解析幾何等方面，估計(jì)新課標(biāo)省市試題中此類題目分值10分左右（上海、廣東、江蘇較為典型），并且主觀題客觀題設(shè)置較為靈活。今年高考多會(huì)結(jié)合合情推理知識(shí)點(diǎn)出探索性問題（特別是解答題），應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這些內(nèi)容的研究；創(chuàng)新題型多出現(xiàn)與經(jīng)濟(jì)、生活密切相關(guān)（像概率、線性規(guī)劃等）的數(shù)學(xué)問題相關(guān)的問題有關(guān)，題目新穎，數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜。關(guān)注以下兩種類型：1、類比歸納型類比歸納型創(chuàng)新題給出了一個(gè)數(shù)學(xué)情景或一個(gè)數(shù)學(xué)命題，要求用發(fā)散思維去聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，或者根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)、特殊的情況去歸納出一般的規(guī)律．這是新課程較為重視的類比推理、歸納推理．主要考查學(xué)生的觀察、分析、類比、歸納的能力，從不變中找規(guī)律，從不變中找變化。2、信息遷移型創(chuàng)新題是指以學(xué)生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，并給出一定容量的新信息，通過閱讀，從中獲取有關(guān)信息，捕捉解題資料，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，找出解決問題的方法，并應(yīng)用于新問題的解答．它既能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛力，又能考查學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新能力。【知識(shí)交匯】1．探索型問題常見的探索性問題，就其命題特點(diǎn)考慮，可分為歸納型、題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題；（1）結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論；（2）題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對(duì)整個(gè)問題而言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的，就視為正確的；（3）全開放型，題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時(shí)解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進(jìn)行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。解探索性問題應(yīng)注意三個(gè)基本問題:認(rèn)真審題,確定目標(biāo)；深刻理解題意;開闊思路,發(fā)散思維，運(yùn)用觀察、比較、類比、聯(lián)想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理,以便為邏輯思維定向。方向確定后，又需借助邏輯思維,進(jìn)行嚴(yán)格推理論證,這兩種推理的靈活運(yùn)用,兩種思維成分的交織融合,便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略。解決探索性問題，對(duì)觀察、聯(lián)想、類比、猜測(cè)、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般解這類問題有如下方法：（1）直接法：直接從給出的結(jié)論入手，尋求成立的充分條件；直接從給出的條件入手，尋求結(jié)論；假設(shè)結(jié)論存在（或不存在），然后經(jīng)過推理求得符合條件的結(jié)果（或?qū)С雒埽┑?；?）觀察——猜測(cè)——證明（3）特殊—一般—特殊其解法是先根據(jù)若干個(gè)特殊值，得到一般的結(jié)論，然后再用特殊值解決問題；（4）聯(lián)想類比（5）賦值推斷（6）幾何意義法幾何意義法就是利用探索性問題的題設(shè)所給的數(shù)或式的幾何意義去探索結(jié)論，由于數(shù)學(xué)語言的抽象性，有些探索性問題的題設(shè)表述不易理解，在解題時(shí)若能積極地考慮題設(shè)中數(shù)或式的幾何意義所體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利于問題的解決；2．創(chuàng)新題型根據(jù)現(xiàn)行的教學(xué)大綱和國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容及我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求，在實(shí)際問題中側(cè)重如下幾種模型：（1）社會(huì)經(jīng)濟(jì)模型現(xiàn)值、終值的計(jì)算及應(yīng)用（計(jì)息、分期付款、貼現(xiàn)等），投資收益，折舊，庫存，經(jīng)濟(jì)圖表的運(yùn)用；（2）擬合模型數(shù)據(jù)的利用、分析與預(yù)測(cè)（線形回歸、曲線擬合）等問題；（3）優(yōu)化模型科學(xué)規(guī)劃，勞動(dòng)力利用，工期效益，合理施肥，最值問題，工程網(wǎng)絡(luò)，物資調(diào)用等問題；（4）概率統(tǒng)計(jì)模型彩票與模型，市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，評(píng)估預(yù)測(cè)，風(fēng)險(xiǎn)決策，抽樣估計(jì)等問題；（5）幾何應(yīng)用模型工廠選址，展開、折疊，視圖，容器設(shè)計(jì)，空間量的計(jì)算，軌跡的應(yīng)用等；（6）邊緣學(xué)科模型與理、化、生、地、醫(yī)等相關(guān)方面的問題。思想方法】題型1：探索問題之直接法例1?（2011年山東理11）設(shè)A,A,A,A是平面直角坐標(biāo)系中兩兩1234不同的四點(diǎn)，若AA二九AA（入WR），AA二卩AA（pWR），且1+丄=2,13 12 14 12 九卩則稱A,A調(diào)和分割A(yù)T，已知點(diǎn)C（C,O）TD（d,O）（C,dWR）調(diào)和3 4 1 2分割點(diǎn)A（0，0），B（1，0），則下面說法正確的是（A） C可能是線段AB的中點(diǎn)（B） D可能是線段AB的中點(diǎn)（C）C，D可能同時(shí)在線段AB上（D）C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上【答案】D；【解析】由AA二九AA（入WR）,aa二卩AA（pWR）13 12 14 12知：四點(diǎn)a,A,A,A在同二條直線上，因?yàn)镃,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,所12 3 4以A,B,C,D四點(diǎn)在同一直線上，且1+1=2,故選D.cd例2．（2010遼寧理，12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（A）（0,6+、邁） （B）（1,2邁）（C）（、運(yùn)—邁，宓+邁） （D） （0,2邁）【答案】A【命題立意】本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力?！窘馕觥扛鶕?jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2,a,a,如圖，此時(shí)a可以取最大值，可知AD「3,SD二Ja2—1,則有Ja2—1〈2+朽，即a2<8+4薦二(、幣+邁)2，即^有a〈、；6+、：'2(2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長為a,其他各邊長為2,如圖所示,此時(shí)a>0;綜上分析可知a^(0,麝+邁)。點(diǎn)評(píng)：這也是一道結(jié)論探索型問題,結(jié)論不唯一,應(yīng)從題設(shè)出發(fā)通過分類以簡化思維,再利用射影的概念,得到正確的結(jié)論。例3.已知函數(shù)f(x)二如(a,cWR,a〉0,b是自然數(shù))是奇函數(shù)，ax2+1f(x)有最大值1，且f(l)〉2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)是否2 5存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.分析：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力.解析：(1)???f(x)是奇函數(shù)，.*.f(-x)=—f(x),即—bx+c__bx+c,??.一bx+c二一bx-C,.??C=0,ax2+1 ax2+1??.f(x)二上.由a〉0,b是自然數(shù)得當(dāng)xW0時(shí)，f(x)W0,ax2+1當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)〉0,???f(x)的最大值在x〉0時(shí)取得.?x>0時(shí)，f(x)二1 <一=當(dāng)且僅當(dāng)-x=丄a1I1a bbxbX+b2皿即x=：丄時(shí)，f(x)有最大值^^二1.?■—=1,??.a二b2 ①a 2 b221—b2

乂f(l)>2,???_L>2,???5b〉2a+2 ②5a+1 5把①代入②得2b2-5b+2V0解得丄VbV2,乂2bwN,/.b=1,a=1,f(x)二xx2+1(2)設(shè)存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，P(x,P(x,y)則Q(2-x,000x—0—=yx2+1 0o2-x 0 =—y(2—x)2+10消去y，得x2-2x0001=0解之’得x0=l土扛,?點(diǎn)坐標(biāo)為(1W)或(―巨—手)'進(jìn)而相應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q(1—巨-2)或Q(1+巨竺),4 4過P、Q的直線l的方程：x-4y-1=0即為所求。點(diǎn)評(píng)：充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證。題型2：探索問題“觀察題型2：探索問題“觀察猜測(cè)證明”例4?(2011上海文，23)已知數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式分別為nna=3n+6，b=2n+7(ngN*)，將集合｛xIx=a,neN*｝U｛xIx=b,neN*｝中n n n n的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c,c,c,,c,。1 2 3 n(1)求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，乂是數(shù)列｛b｝中nn的項(xiàng)；c,c,c,,c中有多少項(xiàng)不是數(shù)列｛b｝中的項(xiàng)？說明理由;1 2 3 40 n求數(shù)列｛c｝的前4n項(xiàng)和S(ngN*)。n 4n

解：⑴三項(xiàng)分別為9,15,21⑵c,c,c,,c分別為12340(⑶b=2(3k-2)+7=6k+3=a，b =6k+5，a-6k+6，b=6k+73k-2 2k-1 3k-1 2k 3k*?* 6k+3<6k+5<6k+6<6k+76k+3(n-4k一3)6k6k+5c=<n6k+6(n=4k-2)(n=4k-1)c+c+c +c—24k+214k-3 4k-2 4k-1 4k6k+7(n—4k)S-(c+c+c+c)+4n 1 2 3 4+(c +c+c+c)S-(c+c+c+c)+4n 1 2 3 44n-3 4n-2 4n-1 4n 2例5.(2003高考上海卷)已知數(shù)列｛a｝(n為正整數(shù))是首項(xiàng)是na，公比為q的等比數(shù)列。1(1)求和：aC0一aC1+aC2,aC0一aC1+aC2一aC3;1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 4 3(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明.(3)設(shè)qHl,S是等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，求：nnSC0—SC1+SC2—SC3+ +(-1)nSCn，1n2n3n4n n+1n解析：(1)歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列，n1則：因?yàn)閟-a1-a1qn,n1-q例6、(2011陜西理，13)觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第n個(gè)等式為 .【分析】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般結(jié)論．行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【解】把已知等式與行數(shù)對(duì)應(yīng)起來，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)n，加數(shù)的個(gè)數(shù)是2n1；等式右邊都是完全平方數(shù),行數(shù)等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=494所以n+(n+1)+ +[n+(2n-1)-1]=(2n-1)2，艮卩n+(n+1)+ +(3n-2)=(2n-1)2【答案】n+(n+1)+ +(3n-2)=(2n-1)2題型3：探究問題之“特殊一一般一特殊”例7?設(shè)二次函數(shù)f(x)二ax2+bx+c(a,b,cWR,aMO)滿足條件：當(dāng)xWR時(shí)，f(x—4)=f(2—x)，且f(x)2x；當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f(x)W(x±1)2；2f(x)在R上的最小值為0。求最大值m(m>1)，使得存在teR,只要xe[1,m],就有f(x+t)Wx分析：本題先根據(jù)題設(shè)求出函數(shù)f(x)解析式，然后假設(shè)t存在,取x=1得t的范圍,再令x=m求出m的取值范圍,進(jìn)而根據(jù)t的范圍求出m的最大值。解法一：°.°f(x-4)=f(2-x)函數(shù)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱/.-b=—i即b=2a2a由③知當(dāng)x=?1時(shí),y=0，即a?b+c=0；由①得f(l)21,由②得f(l)Wl。f(1)=1，即a+b+c=1,又a?b+c=0,.?a二丄、b=1TOC\o"1-5"\h\z4 2f(xf(x)=4x2+x+ ,2 4假設(shè)存在teR,只要xe[1,m]，就有f(x+t)Wx,取x=1時(shí)，有f(t+1)W1n1(t+1)2+1(t+1)+1W1n?4WtW0,4 2 4對(duì)固定的t三[一4,0]，取x=m，有：f(t?m)Wmn1(t+m)2+1(t+m)+1Wmnm2??(1?t)m+(t?+2t+l)W04 2 4，n1-1-WmW1-1+f有-mW1-tJ-41Wl-(M)+廠4?(T=9,當(dāng) t二-4時(shí),對(duì)任意的xw[1,9],恒有f(x?4)?x二1(x2?10x+9)=1(x?1)(x?9)W0，4 4-m的最大值為9。解法二:???f(x-4)=f(2-x),-函數(shù)的圖象關(guān)于x=—1對(duì)稱，-丄=-1,b=2a。2a由③知當(dāng)x=?1時(shí),y=0，即a?b+c=0；由①得f⑴上1，由②得f⑴W1。—f(1)=1，即a+b+c=1,又a?b+c=0?—a=1b=1c=1?—f(x)=1x2+1x+1=1(x+1)2,4 2 4 4 2 4 4由f(x+1)=1(x+t+1)2Wx在xW[1,m]上恒成立4—4[f(x+t)-x]=X2+2(t-1)x+(t+1)2W0當(dāng)xW[1,m]時(shí)，恒成立；令x=1有t2+4tW0n?4WtW0令x=m有t2+2(m+1)t+(mT)2W0當(dāng)tW[-4,0]時(shí)，恒有解；令t二？4得，m2?10m+9W0n1WmW9,即當(dāng)t=?4時(shí)，任取xW[1,9]恒有f(x-4)-x=1(X2?10x+9)=1(x?1)(x?9)W0,4 4?m=9。min點(diǎn)評(píng)：本題屬于存在性探索問題，處理這道題的方法就是通過x的特殊值得出t的大致范圍，然后根據(jù)t的范圍，再對(duì)x取特殊值，從而解決問題。題型4：探究性問題之“聯(lián)想類比”例8.(2011年湖北理，15)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)n<4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連????的著色方案如下圖所示：由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相連的著色方案共有 種,至少有兩個(gè)黑色正方形相連的著色方案共有 種，(結(jié)果用數(shù)值■■ 表示)解析：當(dāng)n=6時(shí)，如果沒有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，有6種方案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的5個(gè)空內(nèi)，有C2=10種方5案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有C3=4種方案，由圖可知不可4能有4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)黑色正方形，綜上可知共有1+6+10+4=21種方案．將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個(gè)空格都有兩種方案，由分步計(jì)數(shù)原理一共有26種方案，本問所求事件為第一問事件的對(duì)立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案有26－21=43種．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合、計(jì)數(shù)原理等內(nèi)容，考查了類比推理能力．例9.(2010陜西文，11)觀察下列等式：13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152).解析：第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1到i+1和的完全平方，所以第．四．個(gè)．等．式．為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152)。例10.(2003年上海市春季高考題)設(shè)f(x)-1，利用2x+Q課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(一5)+f(一4)+f(-3)++f(0)++f(5)+f(6)的值是 。分析：利用f?(?1-X)+f(X)=<2，可求2f(-5+)f一4+)一(+3f)+ f0 。+題型5：探究性問題之“賦值推斷”例11.(2011年江西文，10)如圖，一個(gè)“凸輪”放置于直角坐標(biāo)系X軸上方，其“底端”落在原點(diǎn)O處，一頂點(diǎn)及中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.今使“凸輪”沿X軸正向滾動(dòng)前進(jìn)，在滾動(dòng)過程中“凸輪”每時(shí)每刻都有一個(gè)“最高點(diǎn)”，其中心也在不斷移動(dòng)位置，則在“凸輪”滾動(dòng)一周的過程中，將其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為()答案：A根據(jù)中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)，M的位置會(huì)先變高，當(dāng)C到底時(shí)，M最高，排除CD選項(xiàng)，而對(duì)于最高點(diǎn)，當(dāng)M最高時(shí)，最高點(diǎn)的高度應(yīng)該與旋轉(zhuǎn)開始前相同，因此排除B,選A。

例12.（2004年高考江蘇卷）二次函數(shù)y二ax2+bx+c（xWR）的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x-3-2x-3-2-101234y60-4-6-6-406（一口一2） （3,+8）。則不等式ax2+bx+c>0的解集是0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)20<x<200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).（I） 當(dāng)0<x<200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（II） 當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）f（x）=x-v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（滿分12分）解：（1）由題意：當(dāng)0<x<20時(shí),v（x）=60；當(dāng)0< ,（時(shí)設(shè)％趙濟(jì)|20aX0:解得再由已知得1|20aX0:解得再由已知得1a———:3200b——3'60,0<x<20,v（x）—<故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為3(200—x),20<x<2000<x<20,0<x<20,60x,13x(200-x),20<x<200x=20時(shí)，其最大值為60X當(dāng)20<x<200時(shí)，f(x)—1x(200—x)<1[x+(200—x)]2—100003f（x）=<（II）依題意并由（I）可得當(dāng)0<x<20時(shí),/（x）為增函數(shù)，故當(dāng)20=1200；當(dāng)且僅當(dāng)x—200—x，即x—100時(shí)，等號(hào)成立。10000所以，當(dāng)x—100時(shí),/（x）在區(qū)間［20，200］上取得最大值3沁3333沁3333綜上，當(dāng)x—100時(shí)，f（x）在區(qū)間［0，200］上取得最大值W即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。例15．（擬合問題）“人口問題”是我國最大社會(huì)問題之一,估計(jì)人口數(shù)量'和發(fā)展趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ).由人口統(tǒng)計(jì)年鑒，可查得我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料如下：年19491954195919641969人口數(shù)（百萬）541.67602.66672.09704.99806.71

年19741979198419891994人口數(shù)（百萬）908.59975.421034.751106.761176.74試估計(jì)我國1999年的人口數(shù).（第一屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽題五）方法1：（利用計(jì)算器）（1）在坐標(biāo)系中描出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,直觀判斷散點(diǎn)近似在一直線上（2）用回歸直線作為其擬合模型,為便于計(jì)算,可將數(shù)據(jù)適當(dāng)簡化,再用計(jì)算器計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和.？????7125a+225b=221860.55,???????由225a＋10b=8530.38,?????????解得a=14.51006,b=526.5616.?（3）預(yù)測(cè)：根據(jù)上述模型，當(dāng)x=50（即2005年）時(shí)，y=1252.0646^12.52乙）Xi0510152025Yi541.67602.66672.09704.99806.71908.59Xi2Yi2Xi30354045225Yi975.421034.751106.761176.748530.38Xi27125Yi2221860.55y例16．（優(yōu)化問題）（2007年四川理9文11）某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的2倍，且y3對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為（）（A）36萬元 （B）31.2萬元（C）30.4萬元 （D）24萬元解析：選B對(duì)甲項(xiàng)目投資24萬元，對(duì)乙項(xiàng)目投資36萬元，可獲最大利潤31.2萬元．因?yàn)閷?duì)乙項(xiàng)目投資獲利較大，故在投資規(guī)劃要求內(nèi)（對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的2倍）盡可能多地安排資金3投資于乙項(xiàng)目，即對(duì)項(xiàng)目甲的投資等于對(duì)項(xiàng)目乙投資的2倍時(shí)可獲最大3利潤．這是最優(yōu)解法。也可用線性規(guī)劃的通法求解．注意線性規(guī)劃在高考中以應(yīng)用題型的形式出現(xiàn)。例17．（概率模型）（2011年重慶文，17）某市公租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：（I） 沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；（II） 每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)的概率。解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題。（I）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”的申請(qǐng)方式有24種。記“沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則p則p(A)=243416解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A則p（A）=1.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，沒有人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為P4（0）=蟲）0§4=普（II）所有可能的申請(qǐng)方式有34種，而“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”的申請(qǐng)方式有C1C2C1（或C2C3）種.3 4 2 4 3記“每個(gè)片區(qū)的房源都有人申請(qǐng)”為事件B，從而有P（B）=空=36=4（或P（B）