2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題培優(yōu)學(xué)案專題8將軍飲馬模型（教師版）

專題8將軍飲馬模型解題策略解題策略模型1：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最小．連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB.模型2：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。鼽c(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'模型3：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最大．連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，SKIPIF1<0的最大值為AB模型4：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．SKIPIF1<0的最大值為AB'模型8：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最?。B接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．SKIPIF1<0的最小值為0模型6：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最?。謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″模型7：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最小？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+5?14【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)PA+PC=5(3)∠QAC的正弦值為5【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA+PC=PB+PC≥BC，當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，PA+PC=PB+PC=BC,此時(shí)PA+PC最小，設(shè)BD=x，則BC=x+1根據(jù)△DBA∽△ABC，列出方程，解方程求解即可求得BD，進(jìn)而即可求得BC的長(zhǎng)，即PA+PC最小值；（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥BC于點(diǎn)G，連接AG，設(shè)CF與AD交于點(diǎn)M，根據(jù)已知條件求得GQ=5?14CQ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為AQ+5?14CQ=AQ+GQ，則當(dāng)Q點(diǎn)落在AG上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)(1)∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．(2)如圖，連接PB，AD，∵DE垂直平分AB，∴PA=PB∴PA+PC=PB+PC≥BC當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，PA+PC=PB+PC=BC,此時(shí)PA+PC最小，∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC?∠BAD=72°∴∠ADC=∠DAC∴CD=CA=1設(shè)BD=x，則BC=x+1∵△DBA∽△ABC∴∴∴解得：x=∵x>0∴x=?1+∴BC=x+1=∴PA+PC=5∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)PA+PC=5(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥BC于點(diǎn)G，連接AG，設(shè)CF與AD交于點(diǎn)M，∵AB=AC，∴CH=由（2）知，DC=AC=1∵CF平分∠ACB∴CM⊥ADDM=AM=∴sin∠MCD=∴GQ=∴AQ+∵AG≥AH∴Q點(diǎn)落在AG上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，即此時(shí)AQ+5?1∴∠QAC=∠HAC∵AB=AC,AH⊥BC∴CH=∴∴∠QAC的正弦值為5【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問(wèn)題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)17(3)存在，（52，214）或（4+312，-7+231【分析】（1）把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，由對(duì)稱可知，PB′=PB，即△PBC周長(zhǎng)的最小值為：BC+CB′；（3）設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，則N（m，-m+4），所以NM=EF=154，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=154，求出m的值，代入即可；②當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，EF的中點(diǎn)為（32，358），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，可知-3+m+4=m2-3m+(1)解：把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，得，?16+4b+c=0c=4，解得b=3∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4；(2)解：由拋物線解析式可知，對(duì)稱軸直線l：x=32∵點(diǎn)A（4，0），∴點(diǎn)C（-1，0），如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)B′（3，4），設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b1，∴3k+b解得：k=1b∴直線B′C的解析式為：y=x+1，把x=32代入得：y=32+1=∴P（32，5∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=12+42=17，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為：17+4(3)解：存在，以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（52，214）或（4+312，-7+231由拋物線解析式可知，E（32，25∵A（4，0）、B（0，4），∴直線AB的解析式為：y=-x+4，∴F（32，5∴EF=154設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=154，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=15解得m=32（舍）或52或4+31∴M（52，214）或（4+312，-7+231②當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，EF的中點(diǎn)為（32，35∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-m，m2-3m+194∴-3+m+4=m2-3m+194，解得m=32（舍），m=∴M（52，21綜上，滿足以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（52，214）或（4+312，-7+231【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問(wèn)題，解題過(guò)程中注意需要分類討論．【例3】（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，EC+EM的最小值為219(3)6【分析】（1）連接OD，交BC于點(diǎn)N，通過(guò)證明四邊形CNDM為矩形得出OD⊥MD，利用切線的判定定理即可得出結(jié)論．（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，利用將軍飲馬模型可知此時(shí)EC+EM的值最小，由題意可得FD為圓的直徑，在RtΔ（3）利用角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)可以判定△FAP為等腰三角形，證明ΔFAE～ΔFCA.(1)解：如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)N，∵AB為直徑∴∠ACB=∴∠BCM=∵弦AD平分∠BAC，∴∴ON⊥BC.∵DM⊥AC,∴四邊形CNDM為矩形∴OD⊥MD.∵OD為圓的半徑∴MD是⊙O的切線(2)解：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM存在最小值，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，則此時(shí)EC+EM的值最小∵∠B=∴∠CAB=∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∴CD與BD的度數(shù)為60°∵AB是直徑∴∵AB⊥CD，AB是直徑∴∴∴FAD∴FD為圓的直徑由（1）知：MD是⊙O的切線∴FD⊥MD.由題意得：AB垂直平分FC∴EC=EF.∴EC+EM=EF+EM=FM∵∠CFD=∠DAB,∠DAB=∴∠CFD=∵AB=8,∴FD=8.由（1）知：四邊形CNDM為矩形∴MD=NC.∵ON⊥BC∴CN=在RtΔ∵∴BC=AB?∴MD=CN=在RtΔMF=∴EC+EM的最小值為MF=219(3)解：如圖∵FC平分∠ACB，∠ACB=∴∠ACF=∠BCF=∴∠BAF=∠BCF=∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD∵∠PAF=∠BAD+∠BAF,∠APF=∠ACF+∠CAD,∴∠PAF=∠APF,∴AF=FP.∴FC=FP+CP=AF+3.∵∠FAB=∠ACF=∴∴∴F∴A解得AF=6或AF=?2（不合題意，舍去）∴AF=6.【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理及其推論，軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，連接半徑OD和利用軸對(duì)稱中的將軍飲馬模型找出EC+EM存在最小值是解題的關(guān)鍵．【例4】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，連接AE．(1)如圖1，若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，連接AH，且AH＝6，求AE的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)E在AC上，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接BF、BH，當(dāng)BH＝2BF，∠EHB+12∠HBF＝45°時(shí)，求證：AE＝CE(3)如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)，取AE的中點(diǎn)F，作FH'∥BC交AB于H，連接BE并延長(zhǎng)到D，使得BE＝DE，連接AD、CD；在線段BC上取一點(diǎn)G，使得CG＝AF，并連接EG；若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)ACD的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，△AED的面積為25，請(qǐng)直接寫出GE+BH′的值．【答案】(1)AE＝6(2)見(jiàn)解析(3)GE+BH′＝15+5【分析】（1）在Rt△ABC中，由AB＝BC得∠BAC＝∠ACB＝45°，從而得∠ACE＝∠ACH，再找CE＝CH，進(jìn)而證明△ACE≌△ACH，即可得AE＝AH＝6；（2）連接BE，設(shè)BH與AC交于點(diǎn)G，可證得△ABF≌△CBG，從而得出BG=BF，BH＝2BG，，進(jìn)而得出△EGH≌△CGB，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）作DN//AC作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AC交DN于D′，連接BD′，交AC與E′，則當(dāng)點(diǎn)D在D′處，點(diǎn)E在點(diǎn)E′處時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而求得△ACD為等腰直角三角形，進(jìn)而求得AF，AH′和E′G，進(jìn)一步得出結(jié)果．（1）解：在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠ECH＝90°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝∠ACH，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∴∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACH（SAS），∴AE＝AH＝6；（2）證明：如圖1，連接BE，設(shè)BH與AC交于點(diǎn)G，∵∠BCE=∠CEH=45°，∴EH//BC，∴∠EHB=∠CBG，∵∠ABC＝90°，∴12∠CBG+12∠HBF+12∠ABF=45°，∵∠EHB+12∠HBF＝45°，∴∠EHB=12∠CBG+12∠ABF，∴∠CBG=∠ABF，∵AB＝AC，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABF≌△CBG（ASA），∴BG＝BF，∵BH＝2BF，∴BH＝2BG，∵∠HEG＝∠BCG＝45°，∠EGH＝∠CGB，∴△EGH≌△CGB（AAS），∴EG＝CG，∴四邊形EBCH是平行四邊形，∴BE//CH，∴∠BEG＝∠ECH（3）解：如圖2，作DN∥AC，作點(diǎn)A關(guān)于直線DN′的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交DN于D′，連接BD′，交AC與E′，則當(dāng)點(diǎn)D在D′處，點(diǎn)E在點(diǎn)E′處時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)△ACD為等腰直角三角形，∵S△ADE＝12AE'2＝25，∴AE′＝52，∴AC＝2AE′＝102，∴AB＝BC＝22AC＝10，∵AF＝12AE＝522，∴H′F＝AH′＝22AF＝52，∴BH′＝10﹣52＝152，∵AF＝CG，∠BAF＝∠BCA＝45°，AB＝CE′，∴△ABF≌△CE′G（SAS），∴BF＝E′G，∴E′G【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握“將軍飲馬”等模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【例5】（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AD邊上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由?(2)在AD邊上是否存在一點(diǎn)R，使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在線段PD上有一點(diǎn)M，且PM＝10，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)_________秒時(shí)，四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，其最小值為_(kāi)________．【答案】(1)4(2)存在，t=3(3)52；【分析】（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定方法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先確定四邊形BCMP的周長(zhǎng)等于30+QM+CM，再利用軸對(duì)稱的知識(shí)和兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)確定QM+CM的最小值即可得到周長(zhǎng)最小值，最后求出AP的長(zhǎng)即可得到P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（1）解：連接BP、DQ，∵BC＝20，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，∴BQ=CQ=10，要使四邊形PBQD是平行四邊形，則PD=BQ=10，∴18?2t=10，∴t=4，此時(shí)，PD=BQ且PD∥BQ，則四邊形PBQD是平行四邊形，∴當(dāng)t為4時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形．（2）存在，t=3；假設(shè)R點(diǎn)在圖中所示位置，則連接BP、QR，要使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則有PB=PR=10，在Rt△ABP中，82+2t2=102，∴t=3，t=?3（舍去），此時(shí)AR=2×3+10=16，符合題意；∴在AD邊上存在一點(diǎn)R，使得B、Q、（3）52；289+30如圖，連接BP、QM，因?yàn)镻M=10，∴PM=BQ且PM∥BQ，∴四邊形PBQM是平行四邊形，∴PB=QM，∵四邊形BCMP的周長(zhǎng)=PM+PB+BC+CM=10+QM+20+CM=30+QM+CM，∴當(dāng)QM+CM的值最小時(shí)，四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，作Q點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，則QG=2QE=16，四邊形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，當(dāng)C、M、G三點(diǎn)共線時(shí)（即M點(diǎn)位于圖中的F點(diǎn)處），QM+CM的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，CG=QG2+QC2=162+102=289，此時(shí)，四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小值為289+30，∵E點(diǎn)為QG中點(diǎn)，EF∥QC，∴EF=12QC=5【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理解三角形、“將軍飲馬”問(wèn)題、一元一次方程的應(yīng)用、解一元二次方程等，解題關(guān)鍵是能正確建立方程，以及能確定最短路徑．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底邊BC上的中線，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)．（1）在AD上找一點(diǎn)E，使得PE+EB的值最小；（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠BPE滿足什么條件時(shí)，△ABC是等邊三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BPE=90°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，連接CP交AD于點(diǎn)E，并連接BE，即可得解；（2）因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【詳解】解：（1）如圖，連接CP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及對(duì)稱、兩點(diǎn)間線段最短、線段中垂線定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD（1）求邊AB的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）AB=5；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）．【分析】（1）分別求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出AB；（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F，證明△BCE≌△DAF≌ABO，得到BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，進(jìn)而得到OE=3，OF=3，即可求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)；（3）連接BD，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，求出直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，令y=0，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由一次函數(shù)y=12x+1得，令x=0，得到y(tǒng)=1；令y=0，得到x∴A（﹣2，0），B（0，1），在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，根據(jù)勾股定理得：AB=OA（2）如圖，作CE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F，∴∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，∴△BCE≌△DAF≌ABO，∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）如圖，連接BD，∵BD為定值，∴作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，∵B坐標(biāo)為（0，1），∴B′坐標(biāo)為（0，﹣1），設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b，把B′與D坐標(biāo)代入得：{?3k+b=2解得：{k=?1即直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，令y=0，得到x=﹣1，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將軍飲馬求最短距離問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意添加輔助線，求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．（1）如圖1、2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△DBE沿DE對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（點(diǎn)B′和點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)），DB′與AB交于點(diǎn)H．①當(dāng)∠B′EA＝20°時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．②當(dāng)△B′HE是等腰三角形時(shí)，求∠DEB的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，以∠MDN為直角構(gòu)造等腰直角△DMN（D，M，N三點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出CN+NB的最小值．【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）313．【分析】（1）①由題意利用翻折變換的性質(zhì)求出∠DEB，可得結(jié)論；②根據(jù)題意分三種情形，利用翻折變換的性質(zhì)分別求出∠DEB即可；（2）根據(jù)題意連接CN，BN，過(guò)點(diǎn)N作直線l⊥AC，BT⊥CB于點(diǎn)T，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接BQ．證明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出點(diǎn)N在直線l上運(yùn)動(dòng)，由C，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根據(jù)CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)∠B′EA＝20°時(shí)，由翻折的性質(zhì)可知，∠DEB＝∠DEB′＝12∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；（2）當(dāng)HB′＝HE時(shí)，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，∴∠DEB＝∠DEB＝12當(dāng)B′H＝B′E時(shí)，∠AEB′＝∠B′HE＝12∴∠DEB＝∠DEB′＝12當(dāng)EB′＝HE時(shí)，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠DEB＝∠DEB′＝12綜上所述，∠DEB為105°或127.5°；（3）如圖3中，連接CN，BN，過(guò)點(diǎn)N作直線l⊥AC，NT⊥CB于點(diǎn)T，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接BQ．∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDN+∠TND＝90°，∴∠CDM＝∠DNT，在△DCM和△NTD中，∠DCM=∠NTD∠CDM=∠DNT∴△DCM≌△NTD（AAS），∴CD＝NT＝3，∴點(diǎn)N在直線l上運(yùn)動(dòng)，∵C，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，∵BQ＝BC2+CQ2∴CN+BN≥313，∴CN+BN的最小值為313．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換和三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判定和性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題．4．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=60°,AD=CD，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接PA,QB，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACE=12∠ACD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得CE垂直平分AD，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PD，同樣的方法可得QB=QE【詳解】證明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2，∴∠BAC=60°,AB=2AC=4，∵點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∴AD=AC=2，∴△ADC是等邊三角形；（2）如圖，連接PA,QB，∵△BCE和△ADC都是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∠ACD=60°，∴∠ACE=∠ACB?∠BCE=30°=1∴CE垂直平分AD，∴PA=PD，同理可得：CD垂直平分BE，∴QB=QE，∴PD+PQ+QE=PA+PQ+QB，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)A,P,Q,B共線時(shí)，PA+PQ+QB取得最小值A(chǔ)B，故PD+PQ+QE的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE．（1）若∠ABC=68°，求∠AED的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，AB=8,BC=6，求△PBC周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）46°；（2）14【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，繼而求得∠AED；（2）利用最短路線模型計(jì)算即可；【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=68°，∴∠A=180°?68°?68°=44°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE=90°，∴∠AED=90°?44°=46°；（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，理由：∵PB+PC=PA+PC≥AC，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值為=AC+BC=8+6=14．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問(wèn)題問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，l上有兩點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（－14，8），點(diǎn)B位于A點(diǎn)右側(cè)，兩點(diǎn)相距8個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P速度為2個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q速度為6個(gè)單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示P、Q的坐標(biāo)：P（_________），Q（_________）；（2）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取線段PQ的中點(diǎn)D，當(dāng)△OBD為直角三角形時(shí)，求出t的值及相應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）取滿足（2）中條件最右側(cè)的D點(diǎn)，若坐標(biāo)系中存在另一點(diǎn)E（?133，－4），請(qǐng)問(wèn)x軸上是否存在一點(diǎn)F，使FD－【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）當(dāng)△OBD為直角三角形時(shí)，t=2.5，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）或者t=316，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（323，8）；（3）x軸上存在一點(diǎn)F，使FD－【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)為（－14，8），點(diǎn)B位于A點(diǎn)右側(cè)，兩點(diǎn)相距8個(gè)單位可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（2）先表示出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)△OBD為直角三角形畫出相應(yīng)圖形逐個(gè)求解即可；（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接DE1并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F，連接EF，先利用兩點(diǎn)之間線段最短證明FD－FE＝取得最大值，最大值為線段DE1的長(zhǎng)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可求得答案．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（－14，8），點(diǎn)B位于A點(diǎn)右側(cè)，兩點(diǎn)相距8個(gè)單位，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－6，8），∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P速度為2個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q速度為6個(gè)單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為P（－14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），故答案為：－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）由（1）可得：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為P（－14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），∴線段PQ的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（?14+2t?6+6t2即D（?10+4t，8），∵點(diǎn)D在直線l上，∴∠OBD不可能是直角∴如圖，當(dāng)∠BDO＝90°時(shí)，點(diǎn)D位于點(diǎn)D1處，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8），則?10+4t=0，解得：t=2.5；當(dāng)∠BOD＝90°時(shí)，點(diǎn)D位于點(diǎn)D2處，則OB∵點(diǎn)O（0，0），B（－6，8），D（?10+4t，8），∴(6解得：t=31∴?10+4t=?10+4×31此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（323綜上所述：當(dāng)△OBD為直角三角形時(shí)，t=2.5，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）或者t=316，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（（3）如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接DE1并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F，連接EF，∵點(diǎn)E與點(diǎn)E1關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F在x軸上，∴FE＝FE1，∴當(dāng)點(diǎn)F、D、E1在同一直線上時(shí)，則FD－FE＝FD－FE1＝DE1，當(dāng)點(diǎn)F、D、E1不在同一直線上時(shí)，則FD－FE＝FD－FE1＜DE1，∴當(dāng)點(diǎn)F、D、E1在同一直線上時(shí)，F(xiàn)D－FE＝取得最大值，最大值為線段DE1的長(zhǎng)，∵點(diǎn)E與點(diǎn)E1關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)E（?13∴點(diǎn)E1（?13又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（323∴D===241∴x軸上存在一點(diǎn)F，使FD－FE的值最大，最大值為241．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系與直角三角形以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，理清題意并能熟練運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝33x2﹣233x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（1）求直線AE的解析式；（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM＋MN＋NK的最小值；（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y＝33x2﹣233x﹣3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ【答案】（1）y＝33x＋33；（2）3，（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，?43+2213），Q′（3，【詳解】試題解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，∴y＝（x＋1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．當(dāng)x＝4時(shí)，y＝．∴E（4，）．設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：，解得：k＝，b＝．∴直線AE的解析式為y＝x＋．（2）設(shè)直線CE的解析式為y＝mx﹣，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：4m﹣＝，解得：m＝．∴直線CE的解析式為y＝x﹣．過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)F（x，x﹣），則FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2＋x．∴△EPC的面積＝×（x2＋x）×4＝﹣x2＋x．∴當(dāng)x＝2時(shí)，△EPC的面積最大．∴P（2，﹣）．如圖2所示：作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．∵K是CB的中點(diǎn)，∴k（，﹣）．∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，﹣）．∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)G（0，0）．∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN．當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí)，KM＋MN＋NK有最小值，最小值＝GH．∴GH＝＝3.∴KM＋MN＋NK的最小值為3.（3）如圖3所示：∵y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，∴點(diǎn)F（3，﹣）．∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，∴G（2，）．∴FG＝．∴當(dāng)FG＝FQ時(shí)，點(diǎn)Q（3，），Q′（3，）．當(dāng)GF＝GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y＝對(duì)稱，∴點(diǎn)Q″（3，2）．當(dāng)QG＝QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，a）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：a＋＝，解得：a＝﹣．∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，﹣）．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．8．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）以BC為斜邊在它的同側(cè)作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于點(diǎn)P．（1）如圖1，BP平分∠ABC，求證：BC＝AB+AP；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP，分別交BP、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接AD，過(guò)A作AG⊥AD，交BD于點(diǎn)G，連接CG，交AF于點(diǎn)H，①求證：△ABG≌△ADC；②求證：GH＝CH；（3）如圖3，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MQ，將線段MQ繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MK，連接PK、CK，當(dāng)∠DBC＝15°，AP＝2時(shí)，請(qǐng)直接寫出PK+CK的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）PK+CK的最小值為4．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PT⊥BC于點(diǎn)T，根據(jù)等腰直角三角形和角平分線的性質(zhì)可得AP=PT=TC，證明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代換即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根據(jù)等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；②過(guò)點(diǎn)C作CR⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，首先證明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AE=GE=DE，等量代換得CR=GE，然后證明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC于點(diǎn)O，連接OM，BK，先證△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得點(diǎn)K在OA所在的直線上移動(dòng)，則PK+CK=PK+BK≥BP，可得出當(dāng)且僅當(dāng)B，K，P三點(diǎn)共線時(shí)PK+CK取得最小值，然后根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作PT⊥BC于點(diǎn)T，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵PT⊥BC，∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，∴TP＝TC，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，∴PA＝PT，∴TC＝PA，在Rt△ABP和Rt△TBP中，BP=BPPA=PT∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），∴AB＝TB，∵BC＝TB+TC，∴BC＝AB+AP；（2）①證明：∵AG⊥AD，∴∠GAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，∴∠BAG＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABG＝∠ACD，在△ABG和△ACD中，∠BAG=∠CADAB=AC∴△ABG≌△ACD（ASA）；②證明：過(guò)點(diǎn)C作CR⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，∵AF⊥BP，CR⊥AF，∴∠AEB＝∠CRA＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵∠BAE+∠CAR＝90°，∴∠ABE＝∠CAR，在△ABE和△CAR中，∠ABE=∠CAR∠AEB=∠CRA∴△ABE≌△CAR（AAS），∴AE＝CR，∵△ABG≌△ACD（ASA），∴AG＝AD，∵AE⊥DG，∴AE＝GE＝DE，∴CR＝GE，在△EHG和△RHC中，∠EHG=∠EHC∠GEH=∠CRH∴△EHG≌△RHC（AAS），∴GH＝CH；（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC于點(diǎn)O，連接OM，BK，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，∴AO＝BO＝CO，∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，∴∠OAM＝∠OBM＝45°，∴∠OMB＝90°，∵線段MQ繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MK，∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，∴∠OMB＝∠QMK，∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，∴∠BMQ＝∠OMK，在△MBQ和△MOK中，MB=MO∠BMQ=∠OMK∴△MBQ≌△MOK（SAS），∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，∴點(diǎn)K在OA所在的直線上移動(dòng)，∵OA垂直平分BC，∴CK＝BK，∴PK+CK＝PK+BK≥BP，∴當(dāng)且僅當(dāng)B，K，P三點(diǎn)共線時(shí)PK+CK取得最小值，∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，∴BP＝2AP＝4，∴PK+CK的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．9．（2021·廣東·嶺南畫派紀(jì)念中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣12x﹣2分別與x、y軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0）在x（1）求直線BC的解析式；（2）若點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C′，問(wèn)在AB的垂直平分線上是否存在一點(diǎn)G，使得△GBC′的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)和最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）設(shè)點(diǎn)P是直線BC上異于點(diǎn)B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，再過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，得到矩形PQMN，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求該正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）y=2x?2；（2）存在，G(?32,54)【分析】（1）由y=?12x?2可求得，A(?4,0)，C(0,?2)，結(jié)合B(1,0)（2）由C△GBC'=GB+BC'+GC'可知當(dāng)A、G、C'三點(diǎn)共線時(shí)，△GBC（3）設(shè)正方形的變成為t,則用t表示出P、Q、M、N四點(diǎn)坐標(biāo)，由MN=t，分兩種情況，列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵y=?12x?2分別與x、y軸交于A∴令x=0，得y=?2，即C(0,?2)，令y=0，得x=?4，即A(?4,0)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b(k≠0），將B(1,0),C(0,?2),代入y=kx+b(k≠0）中，得：{0解得：{k∴直線BC的解析式為：y=2x?2，（2）存在，理由如下：據(jù)題意，作圖如下：∵點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且C(0,?2)∴C'∵C△GBC'∴當(dāng)GB+GC'取得最小值時(shí)，即當(dāng)A、G、C'三點(diǎn)共線時(shí)，GB+G設(shè)線段AC'所在的直線函數(shù)表達(dá)式為：將點(diǎn)A(?4,0)，C'得：{?4m+n=0解得：{m=∴線段AC'所在的直線函數(shù)表達(dá)式為：∵點(diǎn)G為線段AB垂直平分線上的點(diǎn)，∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：xG∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：yG∴G(?3又∵點(diǎn)G為線段AB垂直平分線上，∴GA=GB，∴GB+GC在Rt△AOC'中，AO=4,AC∵AC∴AC在Rt△BOC'中，BC∵BC∴BC∴C△GB（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC之間時(shí)，存在正方形PQMN，如下圖：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為t，∵點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)Q在直線AC上，∴點(diǎn)P(2?t2,?t)∴點(diǎn)N(2?t2,0)∵M(jìn)N=t，即?2t+4+2?t解得：t=10②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的左下方時(shí)，存在正方形PQMN，如下圖：同理可得：N(2?t2,0)此時(shí)：2t?4?2?t解得：t=10綜上所述，正方形PQMN的邊長(zhǎng)為107或10【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合，一次函數(shù)解析式求法，勾股定理等，靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．10．（2021·陜西寶雞·九年級(jí)期中）問(wèn)題提出（1）在圖1中作出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'問(wèn)題探究（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，D為AC的中點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，求AP+DP的最小值.問(wèn)題解決（3）如圖3，四邊形ABCD為小區(qū)綠化區(qū)，DA=DC，∠ADC=90°，AB=6+63，BC=12，∠B=30°，AC是以D為圓心，DA為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在AC，邊BC和邊AC上分別取一點(diǎn)P，E，F(xiàn)，使得DP+PE+EF+PF【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）33；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性即可作圖；（2）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D交BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP+DP值最小，連接A'C，根據(jù)圖形的特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（3）因?yàn)镈P為定值，所以即求PE+EF+FP的最小值，連接DP，BP，分別以AB，BC所在的直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2【詳解】解：（1）如圖1所示，點(diǎn)B'即為所求.（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D交BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP+DP值最小，連接A'C.∵∠BAC=120°，∴∠A'AC=60°.∵AA'垂直平分BC，∴△AA'C為等邊三角形.∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴A'D⊥AC，∴AP+DP=A'D=33（3）要求DP+PE+EF+FP的最小值，因?yàn)镈P為定值，所以即求PE+EF+FP的最小值.如圖，連接DP，BP，分別以AB，BC所在的直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2∵∠ABC=30°，∴∠P∴△P1B∵BP∴P1∴DP+PE+EF+FP的最小值為DP+BP.當(dāng)D，P，B三點(diǎn)共線時(shí)值最小，由題知BC=12，AB=6+63，∠ABC=30°∴AD=DC=6，∴DB=6【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知對(duì)稱性、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ODC，點(diǎn)D在BO上，連接BC．

（1）如圖①，求線段BC的長(zhǎng)；（2）如圖②，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；（3）如圖③，點(diǎn)M是線段OC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），求△CMN周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）BC=4；（2）OP=2217；（3）△CMN【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角度，可以得出△BOC是等邊三角形，所以BC=OB=OC=4．（2）由三角函數(shù)以及勾股定理，可以得出OA、AB、BC以及AC的長(zhǎng)度，算出S△AOC（3）連接BM，AM，連接AC交OB于點(diǎn)N，證明△BAO≌△BMO，所以得到AB=BM，OA=OM，BO垂直平分AM，即點(diǎn)M關(guān)于直線BO的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，所以當(dāng)CN+MN取最小值時(shí)，△CMN周長(zhǎng)最小，即當(dāng)點(diǎn)A、N、C三點(diǎn)共線時(shí)，△CMN的周長(zhǎng)取得最小值，為AC+MC的值，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC，∠BOC=60°∴△BOC是等邊三角形∴BC=OB=OC=4．（2）∵OB=4，∠ABO=30°∴OA=12∴∵△BOC是等邊三角形∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°∴AC=∵S△AOC=（3）如解圖，連接BM，AM，連接AC交OB于點(diǎn)N．∵△OBC為等邊三角形，點(diǎn)M為OC的中點(diǎn)∴BM⊥OC，即∠BMO=90°在Rt△AOB中，∠BAO=90°，∴∠BOA=60°∵∠BOC=60°，∴∠BOA=∠BOM在△BAO和△BMO中{∴△BAO≌△BMO(AAS)∴AB=BM，OA=OM∴BO垂直平分AM，即點(diǎn)M關(guān)于直線BO的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A∵△CMN的周長(zhǎng)為CM+MN+CN，CM為定值當(dāng)CN+MN取最小值時(shí)，△CMN周長(zhǎng)最小即當(dāng)點(diǎn)A、N、C三點(diǎn)共線時(shí)，△CMN的周長(zhǎng)取得最小值，為AC+MC∵點(diǎn)M是OC的中點(diǎn)，∴MC=∴AC+MC=2∴△CMN周長(zhǎng)的最小值為27【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形旋轉(zhuǎn)，勾股定理，以及最短路徑的作圖，能夠熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、熟練等面積法的運(yùn)用和最短路徑的作圖是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,2、B?2,0、C2,2，點(diǎn)E、F分別是直線AB和x【答案】△CEF周長(zhǎng)的最小值為210【分析】分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸、直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'、C″，連接C'C″，分別交x軸、直線AB于點(diǎn)F、E，由對(duì)稱AC性質(zhì)可得CF=C'【詳解】如圖，分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸、直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'、C″，連接C'C″，分別交x軸、直線AB于點(diǎn)F、E，由對(duì)稱AC性質(zhì)可得CF=C'∴此時(shí)△CEF的周長(zhǎng)最小，最小值為C'∵A0,2、B∴OA=OB，∴∠BAO=45°．∵C2,2，∴C'過(guò)點(diǎn)C'作C'H⊥y∴C'H=2,∴C∴△CEF周長(zhǎng)的最小值為210【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱正確找到點(diǎn)C'13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?1,0、B兩點(diǎn)，與

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一點(diǎn)，連接PB，PC，求△BCP面積的最大值；（3）如圖②，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE．將拋物線沿x軸向右平移t個(gè)單位，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'，連接A'D、B'【答案】（1）y=x2?2x?3；（2）當(dāng)m=32時(shí)，S【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先利用拋物線的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)Pm,m2?2m?3，從而可得（3）先求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱性分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)、DE、AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)得出A'D=B'D″=B'D'，又根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出當(dāng)B'、E、【詳解】（1）將A?1,0，C0,?3代入拋物線解析式，得解得b=?2c=?3故拋物線的解析式為y=x（2）如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)Q，∵拋物線的解析式為y=x令y=0，則x2解得x1=?1，∴B3,0設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，將點(diǎn)B3,0，C0,?3代入y=kx+n得3k+n=0n=?3則直線BC的解析式為y=x?3，設(shè)Pm,m2?2m?3，則Qm,m?3∴S∴在0<m<3范圍內(nèi)，當(dāng)m=32時(shí)，S△BCP

（3）拋物線的解析式為y=x∴D1,?4∵點(diǎn)C和點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，∴E2,?3∴DE=(2?1)∵A?1,0，B∴AB=3?(?1)=4，由平移的性質(zhì)得：A'如解圖②，將點(diǎn)D向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D'，作點(diǎn)D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：B'∵DD'=∴四邊形A'∴A∴A∵四邊形A'DEB'的周長(zhǎng)為∴當(dāng)A'D+B'E由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)B'、E、D″三點(diǎn)共線時(shí)，B'∵D1,?4∴D'1+4,?4∴D設(shè)直線D″E的解析式為將E2,?3，D″5,4代入得2則直線D″E的解析式為當(dāng)y=0時(shí)，73x?23則t=23【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短確定周長(zhǎng)取得最小值時(shí)點(diǎn)B'14．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF．（1）如圖①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求證：EF=BE+DF；

（2）如圖②，∠BAD=120°，當(dāng)△AEF周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠AEF+∠AFE的度數(shù)；（3）如圖③，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠AEF+∠AFE=120°；（3）EF=5．【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE，連接AG，首先證明△ABE≌△ADG，則有AE=AG，∠BAE=∠DAG，然后利用角度之間的關(guān)系得出∠EAF=∠FAG=60°，進(jìn)而可證明△EAF≌△GAF，則EF=FG=DG+DF，則結(jié)論可證；（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)有A'E=AE，A″F=AF，當(dāng)點(diǎn)A'、E、（3）旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADP的位置，首先證明△PAF≌△EAF，則有EF=FP，最后利用EF=PF=PD+DF=BE+DF求解即可．【詳解】（1）證明：如解圖①，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD,∴△ABE≌△ADGSAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60°．∴∠EAF=∠FAG=60°，在△EAF和△GAF中，AE=AG,∴△EAF≌△GAFSAS∴EF=FG=DG+DF，∴EF=BE+DF；（2）解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于點(diǎn)E由對(duì)稱的性質(zhì)可得A'E=AE，∴此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)為AE+EF+AF=A∴當(dāng)點(diǎn)A'、E、F、A″在同一條直線上時(shí)，A'∵∠DAB=120°，∴∠AA∵∠EA'A=∠EA∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EA（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADP的位置，∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°，AP=AE，∠PAF=∠PAE?∠EAF=90°?45°=45°=∠EAF．在△PAF和△EAF中，AP=AE,∴△PAF≌△EAFSAS∴EF=FP．∴EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接BE．（1）如圖①，求點(diǎn)D到線段BE的最短距離；

（2）點(diǎn)P，N分別是BE，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PN、PD．①如圖②，當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；②如圖③，點(diǎn)Q在BE上，若BQ=1，連接QN，求QN+NP+PD的最小值．【答案】（1）DH=32；（2）①當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，BP=3；②QN+NP+PD【分析】（1）本題過(guò)點(diǎn)D向BE作垂線，繼而根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及中點(diǎn)性質(zhì)求解BD，最后利用30°直角三角形邊長(zhǎng)比例關(guān)系求解DH．（2）①本題通過(guò)作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)，從而確定點(diǎn)P、N的位置，繼而根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)以及等邊三角形性質(zhì)判定△BDD②本題分別作點(diǎn)D、Q關(guān)于BE、BC的對(duì)稱點(diǎn)，從而將不同的三線段相加問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一條直線上線段相加問(wèn)題，繼而利用等邊三角形以及對(duì)稱性質(zhì)求解BD'，【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H，如下圖圖①所示，DH即為所求．∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，∴BD=CD=3，∠ABE=∠CBE=1在Rt△BDH∵BD=3，∠DBH=30°，∴DH=1（2）①作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D'，過(guò)點(diǎn)D'作D'N⊥BC于點(diǎn)N，交∵點(diǎn)D，D'關(guān)于BE∴PD=PD∵D∴PN+PD=D'N∵BE垂直平分DD∴BD=BD∵∠ABC=60°，∴△BDD∴BN=1在Rt△PBN中，∠PBN=30°∴PB=BN當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，BP=3②作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接BQ'，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接Q'∵點(diǎn)D，D'關(guān)于BE∴PD=PD'，∵點(diǎn)Q，Q'關(guān)于BC∴QN=Q'N∴此時(shí)QN+NP+PD=Q∴當(dāng)點(diǎn)Q'、N、P、D'四點(diǎn)共線時(shí)，QN+NP+PD取得最小值，最小值為∵等邊△ABC，∴根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知∠Q∴∠D∴在Rt△D'∴QN+NP+PD的最小值為10．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形與動(dòng)點(diǎn)的綜合問(wèn)題，難度主要在于輔助線的構(gòu)造，核心思想是將不在同一條直線上的各線段通過(guò)對(duì)稱性，利用線段等量替換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一條直線，線段和最值另一典型題型為將軍飲馬，可對(duì)比練習(xí)．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P23,?3為圓心的圓與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，連接DM，MP，是否存在點(diǎn)M使得△DMP的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及△DMP的周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=?13x2+【分析】（1）如圖①，連接PA，PB，PC，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G，先求出A(3,0)，B(33,0)，（2）如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接P'D與y軸交于點(diǎn)M，連接PM，此時(shí)△DMP的周長(zhǎng)為PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即當(dāng)點(diǎn)D，M，P【詳解】（1）如圖①，連接PA，PB，PC，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G，由題意得PA=PB=PC=23，PG=3∴AG=BG=(2∴A(3,0)，B(33把點(diǎn)A(3,0)，B(33,0)，得{解得{∴拋物線的解析式為y=?1（2）存在．如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接P'D與y軸交于點(diǎn)M，連接PM，此時(shí)△DMP的周長(zhǎng)為PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即當(dāng)點(diǎn)D∵點(diǎn)P(23,?3)與點(diǎn)P'∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(?23,?3)易得D(23∴DP=4．∴P∴P∴△DMP的周長(zhǎng)最小值為12；設(shè)直線DP'的解析式為將P'(?23得{解得{k=∴直線DP'的解析式為令x=0，則y=?1，∴M(0,?1)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，圓的性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=4，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=2，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)

（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PC的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)DP=23時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大為90°；理由見(jiàn)解析；（3）能；BP+PC的最小值為2【分析】（1）本題首先通過(guò)外角性質(zhì)求解∠AOB度數(shù)，繼而確定等邊△AOB，隨即利用邊的長(zhǎng)度證明BD=BA以求得∠D度數(shù)，最后求得∠DAO度數(shù)結(jié)合半徑判定切線．（2）本題根據(jù)點(diǎn)P分別在DA上，與A重合，在DA延長(zhǎng)線上三種情況分類討論，與A重合時(shí)利用三角函數(shù)知識(shí)求解AC，繼而根據(jù)等腰性質(zhì)求解DP；其他兩種情況需要利用三角形外角性質(zhì)并結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行判斷．（3）本題作點(diǎn)C關(guān)于DA的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而確定點(diǎn)P位置，繼而利用對(duì)稱性質(zhì)判定等邊△DCC'，繼而求解BH、【詳解】（1）連接AO，如下圖所示：∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°．∵AO=BO，∴△ABO是等邊三角形．∵BC=4，∴AB=BO=2．又∵BD=2，∴AB=BD．∴∠ADC=∠DAB=1∵∠AOD=60°，∴∠DAO=90°，∵OA為⊙O的半徑，∴DA是⊙O的切線．

（2）根據(jù)點(diǎn)P不同位置，本題分三種情況討論，如下圖所示：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，由第一問(wèn)可知∠D=∠ACB=30°，故AD=AC=DP，且∠BAC=∠BPC=90°∵BC=4，∴DP=AC=BC?cos②當(dāng)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BP，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，因?yàn)锽C，則∠BPC<∠BEC=∠BAC=90°；③當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上時(shí)，同②方法得，∠BPC<90°．綜上，當(dāng)DP=23時(shí)，∠BPC（3）能．作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接CC'，C'B，C則BP+PC=BP+PC當(dāng)點(diǎn)C'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PC'過(guò)點(diǎn)C'作C'H⊥DC于點(diǎn)H由第一問(wèn)可知∠PDC=30°，故結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)有∠CDC'∴△DCC∴H為DC的中點(diǎn)．∵DC=6，DH=1∴BH=DH?DB=3?2=1，C'在Rt△BCBC∴BP+PC的最小值為27【點(diǎn)睛】本題考查圓與動(dòng)點(diǎn)的綜合問(wèn)題，切線判定掌握兩條原則，即是半徑、是直角；涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常需要分類討論，解題時(shí)首先選取特殊情況求解，借此觀察一般情況下動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律；線段和最值問(wèn)題通常利用對(duì)稱性質(zhì)做輔助線解答，可與將軍飲馬模型進(jìn)行對(duì)比練習(xí)．18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的情況下，點(diǎn)M在AC線段上移動(dòng)，請(qǐng)直接回答，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到什么位置時(shí)，MB+MD有最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=DC，證明四邊形ADCF是菱形；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，∠AFE＝∠DBE∠AEF＝∠DEB∴△AEF≌△DEB；（2）四邊形ADCF是菱形，理由如下：∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD，∵BD=DC，∴AF=DC，又AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）連接BF交AC于M，則點(diǎn)M即為所求，∵四邊形ADCF是菱形，∴點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定以及軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）【問(wèn)題解決】已知點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P①如圖1，若∠AOB=25°，請(qǐng)直接寫出②如圖2，連接P1P2分別交OA、OB于C、D，若∠CPD=③在②的條件下，若∠CPD=α度（90<α<180），請(qǐng)直接寫出∠AOB=______度（用含α的代數(shù)式表示）.（2）【拓展延伸】利用“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這個(gè)結(jié)論，解答問(wèn)題：如圖3，在ΔABC中，∠BAC=30°，點(diǎn)P是ΔABC內(nèi)部一定點(diǎn)，AP=8，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，請(qǐng)你在圖3中畫出使ΔPEF周長(zhǎng)最小的點(diǎn)E、F【答案】（1）【問(wèn)題解決】①50°；②∠AOB=41°；③∠AOB=【分析】（1）①連接OP，由點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，可得∠POA=∠P1OA，∠POB=∠P2OB，再由∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠POB+∠P2OB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由∠CPD=98°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠1+∠2=82°；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3，∠P2=∠4，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠P1+∠3=2∠3，∠1=∠P2+∠4=2∠4，所以∠3+∠4=12∠1+∠2=41【詳解】（1）①連接OP，∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P∴∠POA=∠P1OA，∠POB=∴∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠POB+故答案為50°；②如圖2，∵∠CPD=98∴∠1+∠2=82由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN=∠3+∠CPD+∠4=98由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠PMO=∠PNO=90∴∠AOB=360③∠AOB=90如圖2，∵∠CPD=α，∴∠1+∠2=180由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN=∠3+∠CPD+∠4=1由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∠PMO=∠PNO=90∴∠AOB=360°?∠PMO?∠PNO?∠MPN=故答案為∠AOB=90（2）如圖所示，ΔPEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對(duì)稱點(diǎn)P1②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)P2③連結(jié)P1P此時(shí)ΔPEF的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱作圖及最短路徑問(wèn)題，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．（2012·浙江金華·中考真題）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．【答案】（1）∠CC1A1=90°．（2）S△CBC1=254（3）最小值為：EP1=52最大值為：EP1=7．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)．（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積．（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最??；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．【詳解】解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°．∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1．∴BABC=BA1BC1，∠ABC+∠ABC1∴∠ABA1=∠CBC1．∴△ABA1∽△CBC1∴SΔ∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=254（3）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段AC上．在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=52①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最?。钚≈禐椋篍P1=BP1﹣BE=BD﹣BE=52②如圖2，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大．最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7．21．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3aa≠0圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，點(diǎn)H、B關(guān)于直線(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過(guò)點(diǎn)B作直線BK//AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【答案】【小題1】A點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

【小題2】y=?3【分析】（1）根據(jù)一元二次方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線求證，（2）通過(guò)點(diǎn)H、B關(guān)于直線L對(duì)稱，求得H的坐標(biāo)，從而解出二次函數(shù)的解析式，(3)先求出HN+MN的最小值是MB,再求出BM+MK的最小值是BQ,即HN+NM+MK和的最小值【詳解】(1)依題意,得ax2+2ax?3a=0(a≠0)，兩邊都除以a得：即x2+2x?3=0，解得x1=?3,x2=1，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，答：A.

B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(?3,0),(1,0).證明：∵直線l:y=33當(dāng)x=?3時(shí),y=33∴點(diǎn)A在直線l上．(2)∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l:y=33x+∴AH=AB=4，過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，則AC=12∴頂點(diǎn)H(?1,23代入二次函數(shù)解析式,解得a=?3∴二次函數(shù)解析式為y=?3答：二次函數(shù)解析式為y=?3(3)直線AH的解析式為y=3直線BK的解析式為y=3由y=解得x=3y=2即K(3,23)，則BK=4，∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱,K(3,23)，∴HN+MN的最小值是MB，過(guò)K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，則QM=MK,QE=EK=23，AE⊥QK，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°，由勾股定理得QB=B∴HN+NM+MK的最小值為8，答：HN+NM+MK和的最小值是8.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)綜合運(yùn)用.22．（2022·吉林松原·八年級(jí)期中）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)的部分內(nèi)容．(1)問(wèn)題解決：請(qǐng)結(jié)合圖①，寫出例1的