等腰三角形錯(cuò)解剖析

等腰三角形錯(cuò)解剖析在同學(xué)們解答有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)所給的諸如邊、角等條件，不明確時(shí)，因忽視分情況討論求解，常常造成漏解甚至錯(cuò)解的錯(cuò)誤．下面分別加以說(shuō)明．邊指代不明時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤．例題1、已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，另一邊長(zhǎng)等于5，求它的周長(zhǎng)．錯(cuò)解：該等腰三角形的周長(zhǎng)是：4×2+5=13．剖析：出現(xiàn)錯(cuò)解實(shí)際上默認(rèn)了4為腰，5為底的情形，而漏解了另一條邊長(zhǎng)5為腰，4為底時(shí)的情形．因此，應(yīng)分兩種情況求解．正解：下面分兩種情況求解．當(dāng)腰長(zhǎng)為4，底為5時(shí)，該等腰三角形的周長(zhǎng)是：4×2+5=13；當(dāng)腰長(zhǎng)為5，底為4時(shí)，該等腰三角形的周長(zhǎng)是：5×2+4=14．評(píng)注：當(dāng)所給的邊沒(méi)有明確腰和底時(shí)，應(yīng)該分情況求解．例題2、已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于6，另一邊長(zhǎng)等于15，求它的周長(zhǎng)．錯(cuò)解：下面分兩種情況求解．（1）當(dāng)腰長(zhǎng)為6，底為15時(shí)，該等腰三角形的周長(zhǎng)是：6×2+15=27；（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為15，底為6時(shí)，該等腰三角形的周長(zhǎng)是：15×2+6=36．因此，所求等腰三角形的周長(zhǎng)是27或36．剖析：錯(cuò)解中盡管分情況了，但又忽視了三角形的三邊所應(yīng)滿足的條件．即三角形中，任意兩邊之和大于第三邊．由于，故腰長(zhǎng)為6，底為15的三角形不成立，應(yīng)舍去．正確的情形，只有上面的第（2）中情況．正解：下面分兩種情況求解．（1）當(dāng)腰長(zhǎng)為6，底為15時(shí)，但由于，故這種情況不存在，舍去；（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為15，底為6時(shí)，該等腰三角形的周長(zhǎng)是：15×2+6=36．因此，所求等腰三角形的周長(zhǎng)是36．評(píng)注：通過(guò)以上兩例，對(duì)于等腰三角形來(lái)說(shuō)，也應(yīng)滿足三角形的三邊關(guān)系定理，這一點(diǎn)不可忽視；否則，就會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤．例題3、已知等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長(zhǎng)分為15和18兩部分，求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．錯(cuò)解：如圖1，在△ABC中,AB=AC，因?yàn)锽D為中線，所以AD=CD，設(shè)AB=x，AC=y，根據(jù)題意，得：，解得，故這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)分別是10和13．剖析：錯(cuò)解中仍然是漏解了另外的情形，即，解得．這樣，這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)是10和13或12和9．正解請(qǐng)同學(xué)們完成．角的指代不明確時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤例題4、已知等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，求這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角大?。e(cuò)解：設(shè)該等腰三角形的頂角是x°，則底角為2x°，根據(jù)題意，得解得：,所以因此，這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是36°、72°和72°剖析：錯(cuò)解原因是忽視了頂角是底角的2倍的情形，這樣，本題應(yīng)分兩種情形求解．正解：下面分兩種情形求解．當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，解見(jiàn)“錯(cuò)解”；當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，設(shè)底角是x°，則頂角為2x°，根據(jù)題意，得解得，所以，此時(shí)，這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角大小是90°、45°和45°答：這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角大小是36°、72°和72°或90°、45°和45°評(píng)注：當(dāng)所給的已知中的角沒(méi)有明確是頂角或底角時(shí)，應(yīng)分情況求解．腰上的高的位置不明確時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤例題5、已知：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，求這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)．錯(cuò)解：如圖2，可設(shè)AB=AC，則∠B=∠ACB因?yàn)椤螦CD=40°則∠A=50°所以剖析：錯(cuò)解只是求得了一腰上的高在三角形內(nèi)部時(shí)的情形，而忽略了一腰上的高可能在三角形外部時(shí)的情形．即應(yīng)分原三角形是銳角三角形和鈍角三角形求解．正解：應(yīng)分兩種情況求解．（1）當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)，解見(jiàn)“錯(cuò)解”；（2）當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)，如圖3，仍設(shè)AB=AC，則∠B=∠ACB，因?yàn)椤螦CD=40°，則∠DAC=50°這樣，∠BAC=130°,所以答：這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)是65°或25°評(píng)注：在解有關(guān)等