二次函數(shù)與冪函數(shù)新高考數(shù)學(xué)自主復(fù)習(xí)

第2章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

目錄第7節(jié)函數(shù)與方程第2節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)第6節(jié)函數(shù)的圖像第5節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第4節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第8節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第1節(jié)函數(shù)的概念真題自測(cè)考向速覽必備知識(shí)整合提升考點(diǎn)精析考法突破第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)真題自測(cè)考向速覽考點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式1．已知函數(shù)y＝ax－1＋3(a>0，a≠1)的圖像過(guò)定點(diǎn)P，如果點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c圖像的頂點(diǎn)，那么b，c的值分別為()A．2，5B．－2，5C．－2，－5D．2，－5【答案】B【解析】第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)2．[廣東揭陽(yáng)三中2020屆月考]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－13x＋7，則f(f(1))＝()A．0B．1C．4D．115【答案】B【解析】由題意，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x)＋f(x－1)＝4ax2＋2bx＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝5ax2＋(3b－2a)x＋2c＋a－b.又f(2x)＋f(x－1)＝10x2－13x＋7，因此f(x)＝2x2－3x＋1，所以f(1)＝2－3＋1＝0，f(f(1))＝f(0)＝1.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)3．[浙江2017·5]若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值、最小值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)4．[河北張家口2020屆開(kāi)學(xué)考試]已知函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋2nx＋1，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．若在[1，π]上f(x)≥1恒成立，則實(shí)數(shù)n的取值范圍為()第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】C【解析】依題意可得f′(x)＝3x2－2mx＋2n.因?yàn)閒′(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【解析】【答案】第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)6．[江西南昌2019一模]若對(duì)任意t∈[1，2]，函數(shù)f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a總有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】【答案】（－∞,]第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)3冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)7．[內(nèi)蒙古呼市二中2020屆月考]若冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(8，)，則函數(shù)f(x－1)－[f(x)]2的最大值為()A.

B．C.

D．－1【解析】【答案】C第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】A【解析】(1)定義函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函數(shù)．其圖像稱為拋物線．(2)表達(dá)式①一般式：y＝______________(a≠0)．②頂點(diǎn)式：y＝________________(a≠0)，其中__________為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．③交點(diǎn)式：____________________(a≠0)，其中x?，x?是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)必備知識(shí)整合提升

1．二次函數(shù)的定義和表達(dá)式2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像及其性質(zhì)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第1節(jié)函數(shù)的概念第1節(jié)函數(shù)的概念3．關(guān)于二次函數(shù)的幾個(gè)常用結(jié)論第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．①若f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，則x?，x?是方程f(x)＝0的實(shí)根，且|AB|＝|x?－x?|＝＝；②f(x)＞0恒成立?③f(x)＜0恒成立?(3)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)零點(diǎn)的分布問(wèn)題設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩根，即函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點(diǎn)，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的分布等價(jià)不等式組的關(guān)系是：第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(2)關(guān)于函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a＞0)，x∈[p，q]的最值問(wèn)題若h[p，q]，則x＝h時(shí)有最小值k，最大值是f(p)與f(q)中較大者；若h[p，q]，則f(p),f(q)中較小者為最小值，較大者為最大值．第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)對(duì)于二次函數(shù)零點(diǎn)的分布情況，關(guān)鍵在于以下四點(diǎn)：①拋物線開(kāi)口方向；②判別式與0的大小關(guān)系；③對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系；④區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)情況．4．冪函數(shù)一般地，形如________(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).冪函數(shù)有以下特征：①自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)；②的系數(shù)為1；③只有一項(xiàng).第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)5．冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)當(dāng)α＝1，2，3，，－1時(shí)，冪函數(shù)

的圖像如圖．冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，以直線x＝1為界，當(dāng)0<x<1時(shí)，α越大，圖像越低(即圖像越靠近x軸，可記為“指大圖低”，不包含)；當(dāng)x>1時(shí)，α越大，圖像越高(即圖像離x軸越遠(yuǎn)).第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(2)冪函數(shù)的性質(zhì)觀察(1)中圖可以得到常見(jiàn)冪函數(shù)的特征如下：[0，＋∞)且x≠0[0，＋∞)[0，＋∞)且y≠0奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)增[0，＋∞)(－∞，0)[0，＋∞)增(0，＋∞)(－∞，0)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)①冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，是否出現(xiàn)在第二、三象限要看函數(shù)的奇偶性．②所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖像都通過(guò)定點(diǎn)(1，1)．③單調(diào)性：在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)α＞0時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)α＜0時(shí)，是減函數(shù)．④奇偶性：當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù).考點(diǎn)精析考法突破考點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)解析式的形式，選擇規(guī)律如下：第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)[陜西漢中2020屆月考]已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－6)，方程f(x)＝0的解集是{－1，4}，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．【答案】f(x)＝x2－3x－4【解析】因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，且方程f(x)＝0的解集是{－1，4}，即f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(－1，0)和(4，0)，所以可設(shè)f(x)＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)．又因?yàn)閒(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－6)，所以(2＋1)×(2－4)a＝－6，即a＝1.故f(x)＝(x＋1)(x－4)＝x2－3x－4.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)1．[陜西寶雞2019期末]已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(0)＝0，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．【答案】【解析】第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)2．[吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019月考]已知f(x)是二次函數(shù)．若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．【答案】【解析】考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)涉及的單調(diào)性，可結(jié)a的符號(hào)(a>0或a<0)及其圖像的對(duì)稱軸求解；(2)涉及由二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的單調(diào)性，可結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及二次函數(shù)的單調(diào)性求解；(3)涉及

的單調(diào)性，可結(jié)合其圖像特征求解.1．二次函數(shù)的單調(diào)性第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)定軸定區(qū)間，無(wú)參數(shù)存在時(shí)，一般先用配方法化為

的形式，得其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)和對(duì)稱軸方程x＝h，結(jié)合對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系得最值．若x∈R，則(a＞0).(2)動(dòng)軸定區(qū)間，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論對(duì)稱軸是否在區(qū)間.(3)動(dòng)區(qū)間定軸，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，討論區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系.2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)3．與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】B.【解析】【答案】B第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【解析】.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【解析】第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】C第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】B3．[湖南寧鄉(xiāng)一中2019聯(lián)考]定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m與函數(shù)g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．[－2，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)圖像的對(duì)稱軸方程滿足，所以k≥2.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】C【解析】第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】D5．[山東章丘四中2020屆月考]已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是減函數(shù)D．是增函數(shù)【解析】由二次函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，可知其圖像的對(duì)稱軸方程x＝a滿足a<1.當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)和函數(shù)在(1，＋∞)上都為增函數(shù)，函數(shù)在(1，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝x在(1，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?1，＋∞)?，所以函數(shù)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．綜上所述，函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù).第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】C【解析】.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【答案】C【解析】由y＝f(x)為偶函數(shù)，可知y＝f(2－x2)也為偶函數(shù)．令m＝2－x2，y＝f(2－x2)即為y＝f(m)，在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增．因?yàn)閙＝2－x2在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且0≤x≤時(shí)，m≥0，所以m＝2－x2在[0，]上單調(diào)遞減，y＝f(m)單調(diào)遞減，所以f(2－x2)在[0，]上單調(diào)遞增.第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【解】(1)不等式x2＋(1－a)x－a<0等價(jià)于(x－a)(x＋1)<0，當(dāng)a<－1時(shí)，不等式的解集為(a，－1)；當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>－1時(shí)，不等式的解集為(－1，a)．第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)3

冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(3)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，自變量滿足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖像只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處).1．形如(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)第3節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)對(duì)于冪函數(shù)圖像的掌握只要抓住第一象限內(nèi)的三條線(x＝1，y＝1，y＝x)分第一象限為六個(gè)區(qū)域．根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定第一象限內(nèi)圖像的位置后，其余象限內(nèi)的圖像由函數(shù)奇偶性確定．(2)在比較冪函數(shù)值的大小時(shí)，必