數(shù)乘向量 教學(xué)設(shè)計(jì)

課2.1.4數(shù)乘向量教學(xué)目標(biāo)通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程,掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義,理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義,掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律.能力目標(biāo)：理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件,能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.情感目標(biāo)：通過探究,體會(huì)類比遷移的思想方法,滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神.通過解決具體問題,體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用.教學(xué)程序設(shè)計(jì)教材處理設(shè)計(jì)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)引入知識(shí)鋪墊：實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別引入數(shù)乘運(yùn)算,充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)數(shù)與向量的乘積,仍然是一個(gè)向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進(jìn)而引出共線向量定理.問題預(yù)設(shè)：①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能對(duì)你的探究結(jié)果作出解釋,并說明它們的幾何意義嗎?③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？教材解讀：思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算,這一節(jié),我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計(jì)算及推廣.在代數(shù)運(yùn)算中,a+a+a=3a,故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法,那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡便計(jì)算.思路2.一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.學(xué)生積極思考，回答教師提出的問題。學(xué)生獨(dú)立思考后，分組討論、交流，教師巡視，關(guān)注學(xué)生談?wù)摰那闆r。對(duì)問題①,學(xué)生通過作圖1可發(fā)現(xiàn),=++=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a(bǔ)+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知,圖1==(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍,這樣,3(-a)=-3a.概念形成師生互動(dòng)，抓住函數(shù)概念這一重點(diǎn)，舉出實(shí)例來突破理解對(duì)應(yīng)法則f這一難點(diǎn)。對(duì)問題②,上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積.我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反.由(1)可知,λ=0時(shí),λa=0.根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義,我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.對(duì)問題③,向量共線的等價(jià)條件是:如果a(a≠0)與b共線,那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.推證過程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成,推證過程如下:對(duì)于向量a(a≠0)、b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa,那么由向量數(shù)乘的定義,知a與b共線.反過來,已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么當(dāng)a與b同方向時(shí),有b=μa;當(dāng)a與b反方向時(shí),有b=-μa.其目的是通過0與任意向量的平行來加深對(duì)向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識(shí).在判斷兩個(gè)非零向量是否共線時(shí),只需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即可,與這兩個(gè)向量的長度無關(guān).在沒有指明非零向量的情況下,共線向量可能有以下幾種情況:(1)有一個(gè)為零向量;(2)兩個(gè)都為零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)并猜想結(jié)果,對(duì)于運(yùn)算律的驗(yàn)證,點(diǎn)撥學(xué)生通過作圖來進(jìn)行.通過學(xué)生的動(dòng)手作圖,讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義.關(guān)于向量共線的條件,教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究,讓學(xué)生思考,若去掉a≠0這一條件,上述條件成立嗎?概念深化加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解:①數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量,向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定,大小由|λ|·|a|確定.②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小.③向量的平行與直線的平行是不同的,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn);而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況,又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.教學(xué)程序設(shè)計(jì)教材處理設(shè)計(jì)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)教師先分析每個(gè)例題，學(xué)生分組討論，然后自己獨(dú)立解答，最后通過大屏幕展示規(guī)范的解題格式，培養(yǎng)解題規(guī)范的習(xí)慣。鞏固練習(xí)例1計(jì)算:(1)(2)2(a+b)-3(a-b)(3)例2設(shè)x是未知向量，解方程本例是數(shù)乘運(yùn)算的簡單應(yīng)用,可讓學(xué)生自己完成,要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.歸納總結(jié)幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，反饋課堂教學(xué)效果。小結(jié)1.讓學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):向量的數(shù)乘運(yùn)算法則,向量的數(shù)乘運(yùn)算律,向量共線的條件,體會(huì)本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法:特殊到一般,歸納、猜想、類比,分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化.2.向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比,這種類比是我們提高思想性的有效手段,在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視,它是我們學(xué)習(xí)中偉大的引路人.課后作業(yè)課本89頁練習(xí)A、B板書設(shè)計(jì)數(shù)乘向量主板書一預(yù)習(xí)問題二概念三例題副板書小測(cè)：若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.課后反思本教案的設(shè)計(jì)流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、推證等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖幫助理解題意和解決問題