雙曲線(xiàn)-高考全攻略之2019年高考數(shù)學(xué)（理）一遍過(guò)含解析

考點(diǎn)39雙曲線(xiàn)

考輛摩攵

(1)了解雙曲線(xiàn)的實(shí)際背景，了解雙曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

(2)了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

(3)了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(4)理解數(shù)形結(jié)合的思想.

二知識(shí)整合

一、雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.雙曲線(xiàn)的定義

(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)八K的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于陰用且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫

做雙曲線(xiàn).

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.

(2)符號(hào)語(yǔ)言：帆用一眼用|=2a0<2。<舊用.

(3)當(dāng)|叫|—|八隼|=2。時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)6所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的一支;

當(dāng)|5|一|咋|=一2。時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)耳所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的一支；

當(dāng)2。=|百居|時(shí)，軌跡為分別以K為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；

當(dāng)2aX46|時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式:

軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為「y2

(1)焦點(diǎn)在X=l(a>0,b>Q),焦點(diǎn)分別為￡(—c,0),F-Ac,

a一爐

0),焦距為2c,且。2=儲(chǔ)+〃，如圖1所示;

(2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為多1(a>0,8>0),焦點(diǎn)分別為4(0,-c),B(0,

c),焦距為2c,且°2=丘+/,如圖2所示.

圖1圖2

注：雙曲線(xiàn)方程中a,6的大小關(guān)系是不確定的，但必有c>a>0,c>b>0.

3.必記結(jié)論

(1)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為方.

(2)匚匕1(a>0,6>0)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為

/b2

—r—4"=A(o>0,Z?>0,4工0).

a~b~

7729

(3)若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±—x,則雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為1X"一彳=4(加或

mmn

n2x2-m2y2=A(m>0,〃>0,4w0).

x2y2x2y2

(4)與雙曲線(xiàn)==l(a>0,。>0)共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為=l(a>0,b>0,

a"a2-kb2+k

-b1<k<a2).

(5)過(guò)兩個(gè)己知點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為+〃/=](〃加<o).

22

(6)與橢圓二+與=1(a>6>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為

ab

22

xy22

---------Fi=l(a>Z?>0,Z?<2<tz).

a2-Ab2-A

二、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)

1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程二一與=l(a>0,6>0)與一[=1(。>0,6>0)

a2b2a2b2

圖形

B、

范圍[x\>a,yeRlyl>?,xeR

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

焦點(diǎn)、左焦點(diǎn)月(一c,0),右焦點(diǎn)K(c,0)下焦點(diǎn)￡(0,—c),上焦點(diǎn)￡(0,c)

頂點(diǎn)A(-?,O),A(?,())A(0,-〃),4(0,。)

線(xiàn)段44是雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，線(xiàn)段6忠是雙曲線(xiàn)的虛軸；

軸

實(shí)軸長(zhǎng)|44|=2a,虛軸長(zhǎng)?區(qū)|=2b

漸近線(xiàn)y=+-xy=±-x

ab

2cc

離心率ee=-=-(e>l)

2aa

2.等軸雙曲線(xiàn)的概念和性質(zhì)

實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn).等軸雙曲線(xiàn)具有以下性質(zhì):

(1)方程形式為x2-y2=2(2*0)；

(2)漸近線(xiàn)方程為y=±x,它們互相垂直，并且平分雙曲線(xiàn)實(shí)軸和虛軸所成的角;

(3)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都等于2a,離心率e=

考向一雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.在雙曲線(xiàn)的定義中要注意雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)

值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”.若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一

支.同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.

2.求雙曲線(xiàn)方程時(shí)，一是注意判斷標(biāo)準(zhǔn)形式；二是注意a、氏c的關(guān)系易錯(cuò)易混.

典例引領(lǐng)

典例1已知凡用為雙曲線(xiàn)。:9-聲2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)—在。上，/陽(yáng)/=2"7”則cos/?如=

13

A.-B.-

45

34

C.—D.一

45

【答案】C

【解析】用雙曲線(xiàn)的定義求出|尸尸1|」尸尸2和|尸的|,再由余弦定理求得COsNFlPa

雙曲線(xiàn)曰-產(chǎn)=2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為［-=1，

這里€f=,c2=4即c=2.

V2

由定義照升附"z|=2/2「以及|P列=2|尸冏，得|尸網(wǎng)=2,|PMH-

V2V2V2

又回尸2|=2C=4,

.c°s5一畫(huà)業(yè)莊?32+8-16_3

''21^11^12x40x204

x2y2

C:——=1,

典例2已知尸為雙曲線(xiàn)916的左焦點(diǎn),P,Q為雙曲線(xiàn)。上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)4(5,0)

在線(xiàn)段PQ上，則APQF的周長(zhǎng)為.

【答案】44

x2y2

C:----------1

【解析】易知雙曲線(xiàn)916的左焦點(diǎn)為尸(-5,0),

???點(diǎn)火5,0)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，虛軸長(zhǎng)為8,

雙曲線(xiàn)的圖象如圖：

.JFFI-UPI=2a=6,①

\QF\-\QA\=2a=6f②

而IPQI=16,

則①鎧得IPFI+IQF|-|PQ|=12,

MQF的周長(zhǎng)為|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44,

故答案為44一

變式拓展

1.若雙曲線(xiàn)2--匕=1的左焦點(diǎn)為E點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，力(1,4),則/分7+//M/的最小值是

412

考向二求雙曲線(xiàn)的方程

求解雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定雙曲線(xiàn)的類(lèi)型，也就是確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y

軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的/，/的值，最后寫(xiě)出雙曲線(xiàn)

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在求雙曲線(xiàn)的方程時(shí)，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為

Aj^+By1

典例引領(lǐng)

典例3已知雙曲線(xiàn)％與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，C］的方程為±-y2=i,若的一條漸近線(xiàn)的傾斜角是G的

3

一條漸近線(xiàn)的傾斜角的2倍，則的方程為.

2

【答案】上.=1

3

【解析】由題意得q的焦點(diǎn)為(±2,0)所以雙曲線(xiàn)G的焦點(diǎn)為(±2,0費(fèi)比=2.

而C，的一條漸近線(xiàn)為y=弓X,其斜率k=tana=

即C，的一條漸近線(xiàn)的傾斜角a=也

而G的一條漸近線(xiàn)的傾斜角是Q的一條漸近線(xiàn)的傾斜角的2倍，所以G的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為2a=§,其

斜率欠=/即G的一條漸近線(xiàn)為y=43x=5:即"、氏

而Q”+爐=3解得Q=1』=存

所以G的方程為一一4=1.

典例4如圖，已知圓G：("3)2曠=1和圓?(『3尸曠=9,動(dòng)圓材同時(shí)與圓G及圓C相外切,求動(dòng)圓圓心M的

軌跡方程.

M

0

【解析】依題意.知圓G的圓心為。(30),半徑為1,圓G的圓心為，3,0洋徑為3.

設(shè)動(dòng)圓的半徑為民則|加3=貝+1」耳。2|=&-3,

所以1gHM：U=2,

因此，圓心M的軌跡是以G,6為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支,

旦戶(hù)1,^=3,

所以核=￡^d=&

2

于是所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為X，,=l(x<-l).

變式拓展

22

2.已知耳，鳥(niǎo)分別是雙曲線(xiàn)任二一與=13>0,。>0)的左、右焦點(diǎn)，戶(hù)是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，￡到左頂點(diǎn)

a"b~

的距離等于它到漸近線(xiàn)距離的2倍.

(1)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)/耳朋=60時(shí)，△PK鳥(niǎo)的面積為48石，求此雙曲線(xiàn)的方程.

考向三雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

對(duì)于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，有下面兩種考查方式：

(1)已知雙曲線(xiàn)的方程求其漸近線(xiàn)方程；

(2)給出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)方程，由漸近線(xiàn)方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.

典例引領(lǐng)

典例5已知耳，鳥(niǎo)分別是雙曲線(xiàn)—（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，耳的坐標(biāo)為卜J7,0）,若

雙曲線(xiàn)的右支上有一點(diǎn)P，且滿(mǎn)足忙月卜儼鳥(niǎo)|=4,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

3

C.y=±-xD.y-±—x

43

【答案】A

【解析】...用的坐標(biāo)為（一"，0）,，門(mén)口

...雙曲線(xiàn)的右支上有一點(diǎn)P,滿(mǎn)足|叫卜|尸周=4，

.'.2^=4f即片=2,

貝Ub2=c2-<22=7-4=3,即h陰,

則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±^-x,故選A

典例6如圖，已知A、A分別為雙曲線(xiàn)C:三—與=1（?！?,。>0）的左、右焦點(diǎn)，戶(hù)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且

滿(mǎn)足/KP/=a，（耳「法田》?五P=。，線(xiàn)段內(nèi)尸與雙曲線(xiàn)C交于點(diǎn)Q,若iF2Pl=5EQh則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為

A.尸土叵x(chóng)

C.尸土迫x“產(chǎn)土與

2

【答案】B

【解析】取線(xiàn)段FF的中點(diǎn)瓦連接產(chǎn)1及

因?yàn)椋ㄊ先f(wàn)+^一娘=0手斤以FiElFiP,

故三角形尸尸】仍為等腰三角形啟四PH?IF2|=2C.

a

在Rt△喀尸2中，8立罵尸2￡=需=/=竟,

連接為2

又眄。=/~與、。在雙曲線(xiàn)c上，

所以由雙曲線(xiàn)的定義可得J2AH0切=2冬

ha1la

故應(yīng)尸］|=2a+1=3-一

I招瑪『+|巡『一耳。_（笈'+專(zhuān)/一（早）.

在△相片中.由余弦定理得,8叱耳芯2===,整

4c

2|罵瑪卜|眼2X2CX—

5

22

理可得4C=5<23

所慮?中4K

故雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為尸:;X.

變式拓展

r2y2

3.已知雙曲線(xiàn)C—=1（。>0,b>0）,過(guò)左焦點(diǎn)電的直線(xiàn)切圓/+y2=。2于點(diǎn)P,交雙曲線(xiàn)C的右支

a~

于點(diǎn)Q,若F；P=M,則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為

A.y=±xB.y=±2x

C.y=±-xD

.2-y=±與'

考向四雙曲線(xiàn)的離心率

1.求雙曲線(xiàn)的離心率一般有兩種方法:

(1)由條件尋找a,c滿(mǎn)足的等式或不等式，一般利用雙曲線(xiàn)中a,h,c的關(guān)系/=〃+〃將雙曲線(xiàn)的離

心率公式變形,,注意區(qū)分雙曲線(xiàn)中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)

系，在橢圓中。2=加+°2,而在雙曲線(xiàn)中02=/+/.

(2)根據(jù)條件列含a,c的齊次方程，利用雙曲線(xiàn)的離心率公式e=￡轉(zhuǎn)化為含e或e?的方程，求解可得,

a

注意根據(jù)雙曲線(xiàn)離心率的范圍6￡(1,+8)對(duì)解進(jìn)行取舍.

2.求解雙曲線(xiàn)的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合。2="+〃和e=￡,得到關(guān)于e的不等式，求解

a

即得.注意區(qū)分雙曲線(xiàn)離心率的范圍ee(l,+oo),橢圓離心率的范圍ee(0,1).另外，在建立關(guān)于e的不等式

時(shí)，注意雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用.

典例引領(lǐng)

r2v2

典例7設(shè)￡、￡分別是雙曲線(xiàn)七一二=l(a>0,b〉0)的左、右焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)4使NA/"=90°,

Q~b

且I力川二3|4川，則雙曲線(xiàn)的離心率等于

A.好

2

1).小

2

【答案】B

“|一|*=2,=3a

【解析】由《1伍1

卜用=3同m=a■

由/凡4￡=90。，得|人耳『+質(zhì)周2=|6用2,

即(3"+養(yǎng)(20)2,

得卡亞，選B.

2

fV2

典例8己知E、A分別為雙曲線(xiàn)彳-4=13>0/〉0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)左支上存在一點(diǎn)R使

a-b~

IPFI2

得*177高-=8&則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是

【答案】（1,3]

【解析】??.尸為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn),，山尸1|一田尸2|=-勿,，『眄|=尸產(chǎn)產(chǎn)於①,

又IP扁不.②C,

，由①②可得,|PFi|=2碇仍|=4a

，照仲"IPF牽回用，即冰ec,，一§③,

又即田氏網(wǎng)網(wǎng)二.32r>4a,，->l④.

由③④可得1<-<3.

變式拓展

4.已知點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)=一與=1（。>0,。〉0）右支上一點(diǎn)，點(diǎn)6,8分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是

Q，b

△夕耳居的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有S&PF—S△/吶成立，則雙曲線(xiàn)離心率的取

123

值范圍是

A.（1,2]B.（1,2）

C.（0,3]D.（1,3]

V-2V2

5.已知耳、馬分別是雙曲線(xiàn)—―二二1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，若尸/「根=0,

h

△P4月的面積為9,且a+b=7,則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

百點(diǎn)沖美充

1.在平面直角坐標(biāo)系中，石(-2,0),K⑵0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足〃///-/至//=3,則動(dòng)點(diǎn)。的集合是

A.兩條射線(xiàn)B.以A,同為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)

C.以凡E為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一支D.不存在

2.方程一匚+”—=1表示雙曲線(xiàn)的一個(gè)充分不必要條件是

m-2m+3

A.-3<m<0B.-3<m<2

C.-3<m<4D.-1<m<3

2

3.雙曲線(xiàn)％2一匕=1的漸近線(xiàn)方程為

3

A.y=+y/3xB.y=±3x

C.y=士;xD.y-±^-x

x2

---y2=l(a>0)

4.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)在直線(xiàn)x+2y-3=0上，則實(shí)數(shù)a的值為

A.1B.*

C.2D.2"

V-2V25

5.若雙曲線(xiàn)%-去=l(a＞0)的離心率為：，則該雙曲線(xiàn)的焦距為

A.1()B.6

C.8D.5

6.已知點(diǎn)耳，瑪分別為雙曲線(xiàn)。：三一1=1(。＞()力＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)0在雙曲線(xiàn)C的右支上，且滿(mǎn)

ab~

足仍閭=忻用,與E。=120。，則雙曲線(xiàn)的離心率為

A,立擔(dān)

B.第

2

c.GD.V5

xV

7.設(shè)心、尸2分別為雙曲線(xiàn)0-彳=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線(xiàn)右支上存在點(diǎn)P,滿(mǎn)足

a2b2

仍尸21=尸1/21，且22到直線(xiàn)P&的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

A.4x±3y=0B.3x±5y=0

C.5x±4y=0D.3%±4y=0

22

上一匕=1--

8.設(shè)匕、/2分別是雙曲線(xiàn)c：45的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上，且PF1.尸&=0,則

\PF1+PF2\=

A.4B.6

C.25D.4a

22

9.已知雙曲線(xiàn)二一■=13＞0/＞（））的左焦點(diǎn)為E離心率為泥，若經(jīng)過(guò)尸和P（0,4）兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙

a-b~

曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的方程為

10.已知方程上+匯=1和曰+==1（其中a6W0且aW6）,則它們所表示的曲線(xiàn)可能是

abab

11.設(shè)Fi,尸2是離心率為5的雙曲線(xiàn)a?24的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且3|PF1|=4|P&I,則AP&F2

的面積等于

A.4"B.8G

C.24D.48

12.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)

用，還提出了一元二次方程的解法問(wèn)題.直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱(chēng)為“勾”“股”“弦”.設(shè)々、七

x2y2

-----=1（Q>0

分別是雙曲線(xiàn)a?b2,b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是該雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，若IPF/PGI分別是

RtAF/G的“勾”“股”，s\PF1\-\PF2\=4abt則雙曲線(xiàn)的離心率為

A.*B.G

C.2D.G

22

13.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)土一V=13>1）與橢圓J=+y2=i（a>1）的一個(gè)交點(diǎn)為幾點(diǎn)

a。+2

Q（聲工°）,則APOQ的面積為

a

A.2B.a

1

C.1D.2

14.過(guò)點(diǎn)63）且和雙曲線(xiàn)--2y2=2有相同的漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為.

x2y2.

C:-----=1（a>0,b>0）

15.設(shè)/1、/2分別是雙曲線(xiàn)a2b2的左、右焦點(diǎn)，4為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C右支上一

16

點(diǎn)，131=10,PGS”四2匚成。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則例.e=.

16.已知離心率e=號(hào)的雙曲線(xiàn)C：0—，=l（a>O/>0）的右焦點(diǎn)為「，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。F為直徑的

圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)相交于0、4兩點(diǎn).若△AOb的面積為1,則實(shí)數(shù)a的值為

22

17.已知點(diǎn)耳，居分別是雙曲線(xiàn)「-與=1（〃>0,?！?）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)耳且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲

a~b~

線(xiàn)交于A(yíng),8兩點(diǎn)，若八456是銳角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是.

2

18.已知F是雙曲線(xiàn)C:Y一匕=1的右焦點(diǎn),C的右支上一點(diǎn)P到一條漸近線(xiàn)的距離為2,在另一條漸近線(xiàn)上

4

有一點(diǎn)Q滿(mǎn)足砂=%網(wǎng),則4=.

2222

19.若雙曲線(xiàn)二一馬=1的離心率為ei,雙曲線(xiàn)二一與=1的離心率為《2,則ei+e2的最小值為

ab~a

xyc

C:——-=l(a>0,b>0)_

20.已知￡、K分別是雙曲線(xiàn)a2b2的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)。的實(shí)軸長(zhǎng)為6,離心率為3.

(1)求雙曲線(xiàn)。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)戶(hù)是雙曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，且|陽(yáng)1=10,求|%].

21.已知雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)七在坐標(biāo)軸上，離心率為隹，且過(guò)點(diǎn)(2,一#).

(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)P在第一象限且是漸近線(xiàn)上的點(diǎn)，當(dāng)""i1。七時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.已知雙曲線(xiàn)--y2=i,尸是。上的任意一點(diǎn).

4

(1)求證:點(diǎn)。到。的兩條漸近線(xiàn)的距離之積是一個(gè)常數(shù);

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),求|P*的最小值.

23.已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)E、K在坐標(biāo)軸上，離心率占企，且過(guò)點(diǎn)(4,-V而).

(1)求雙曲線(xiàn)的方程.

⑵若點(diǎn)必(3,而在雙曲線(xiàn)上,求證:1MF2.

24.己知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(3,-2)且與橢圓4/+9V=36有相同的焦點(diǎn).

(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵若點(diǎn)材在雙曲線(xiàn)上，"，鳥(niǎo)是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且耳|+|ME|=6，L試判斷△討工的形

狀.

直通高考

1.(2018浙江)雙曲線(xiàn)—V=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

3

A.(-及，0),(四,0)

B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-0),(0,72)

D.(0,-2),(0,2)

2.(2017天津理科)已知雙曲線(xiàn)占―4=l(a>O,b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為y/2.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)

ab'

兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的方程為

4884

22

3.(2018新課標(biāo)全國(guó)n理科)雙曲線(xiàn)二-2=1(。＞0力＞0)的離心率為百，則其漸近線(xiàn)方程為

ab

A.y=±42xB.y—±y/3x

r-3nS

。?y=i--XD?y=±---x

22

4.（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）若雙曲線(xiàn)。：0一當(dāng)=1（。>0,8>0）的一條漸近線(xiàn)被圓（x—2）?+y2=4

ab~

所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為

A.2B.6

D.空

C.&

3

2

5.（2017新課標(biāo)全國(guó)IH理科）已知雙曲線(xiàn)C：二3=1（a>0,b>0）的一條漸近線(xiàn)方程為y=

a

22

且與橢圓二+二=1有公共焦點(diǎn)，則c的方程為

123

廠(chǎng)V

6.（2016新課標(biāo)全國(guó)I理科）已知方程-.........—=1表示雙曲線(xiàn)，且該雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)間的距離為

m+n3療-n

4,則〃的取值范圍是

A.（-1,3）B.（-1,V3）

C.（0,3）1）.（0,6）

22

7.（2018新課標(biāo)全國(guó)HI理科）設(shè)耳，居是雙曲線(xiàn)。:V二-V上二可.〉。為>0）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原

ab

點(diǎn).過(guò)月作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P.若|。耳|=迷|。。|,則C的離心率為

A.垂）B.2

C.6D.0

8.（2016江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xa中，雙曲線(xiàn)工-上=1的焦距是

73

2

9.（2017北京理科）若雙曲線(xiàn)V—21=1的離心率為6，則實(shí)數(shù)爐.

m

10.（2018江蘇）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，若雙曲線(xiàn)二一馬=1（。＞0,。＞0）的右焦點(diǎn)尸（c,o）到一條漸

a~h~

近線(xiàn)的距離為且C，則其離心率的值是.

2

2222

11.（2018北京理科）已知橢圓“：=+與=1（。＞/,＞0）,雙曲線(xiàn)N:二一與=1.若雙曲線(xiàn)N的兩條

a2b2m2n2

潮近線(xiàn)與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為

；雙曲線(xiàn)N的離心率為_(kāi)

22

12.（2017山東理科）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，雙曲線(xiàn)與一馬=1（。＞0,。＞0）的右支與焦點(diǎn)為尸的拋

Q-b~

物線(xiàn)d=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)，若MT+忸可=4|。石，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.

13.（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)土-V=i的右準(zhǔn)線(xiàn)與它的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)p,

3

。，其焦點(diǎn)是耳，瑞，則四邊形耳桃Q的面積是.

、_x2y2_

14.（2017新課標(biāo)全國(guó)I理科）已知雙曲線(xiàn)G---=1（。＞0,匕＞0）的右頂點(diǎn)為4以力為圓心，b為

ab

半徑作圓兒圓力與雙曲線(xiàn)。的一條漸近線(xiàn)交于憶川兩點(diǎn).若/場(chǎng).260°,則C的離心率為

Z參考答案.

變式拓展

1.【答案】9

【解析】由題意知，雙曲線(xiàn)W—2=1的左焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-4您設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為6廁3H0）油雙曲

412

線(xiàn)的定義知JP川+|網(wǎng)=4+|附+四24+|典T+J?_1尸+（0―與尸什5^，當(dāng)且僅當(dāng)4P產(chǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)目

P在幺/之間時(shí)取等號(hào).

2.【解析】(1)因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為"±紗=0,所以點(diǎn)凡到漸近線(xiàn)的距離為或=(其中

c是雙曲線(xiàn)的半焦距)，

由題意知C+Q=2〃，

4

又因?yàn)?+〃2=C2,解得b=—Q,

3

故所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是4x±3y=0.

2

(2)由余弦定理得怛片「+怛巴『—2怛6|.仍工上0$6()=IF,F21,

2

即附F+\PF21-\PF{|.|PF2\=4c2①.

又由雙曲線(xiàn)的定義得儼耳HPg卜2a,

22

兩邊平方得|PR|+\PF21-2怛與HPF21=4a2②，

①-②得歸用歸工卜出一而二破.

根據(jù)三角形的面積公式得5=3。用歸居卜畝60=乎.g=32=486,即〃=48.

又。=匕，

3

9

則。2=二匕2=27,

16

22

故所求雙曲線(xiàn)的方程是工-匕=1.

2748

3.【答案】B

【解析】連接。尸，戶(hù)人,

由喬=而知產(chǎn)為1Q的中點(diǎn)，

又。為心瑪?shù)闹悬c(diǎn)，

所以。P//Q用且。P=%J

4ft

因?yàn)辄c(diǎn)p為切點(diǎn)，所以|0P|=a,IQEJ=2a,

又因?yàn)镼在雙曲線(xiàn)的右支上，

所以IQGI-IQ用I=24即IQ6I=44

在RtA^OP中，|/；P|=V|0/；|3-|0P|2=Vc2-a3=b

則IQ耳1=2內(nèi)P|=2b,則b=2a,

可得雙曲線(xiàn)c的漸近線(xiàn)方程為y=±2xf故選B.

4.【答案】D

【解析】設(shè)鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為r，如圖，

由雙曲線(xiàn)的定義得歸周一儼閭=2a,忻閭=2c,

則S△/因=g|PK|"，Sj"=:儼鳥(niǎo)|"，S^2=^-2c-r=cr,

由題意得習(xí)尸耳|"_半

故c45（|P用—|P號(hào)）=3"，

則6=￡?3,

a

又e>l,

所以雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（1,3],故選D.

5.【答案】-

4

【解析】設(shè)I函卜風(fēng)|麗卜月，

?.?可.西=0,及瑪?shù)拿娣e為9,

—mn=9,mn=18.

2

在Rt△叫心中，根據(jù)勾股定理得旭2+/=女2,

二（陽(yáng)—?）2=rri1+n1—2mn=4c2—36,

結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，得（陽(yáng)一力2=41，

4<r2—36=4o2，化簡(jiǎn)整理得c1—c^=9,

即*=9,可得8=3,

結(jié)合。十分=7得。=4,

C-Jo?+*=5,

二該雙曲線(xiàn)的離心率為。=￡c=35

a4

故答案為"

4

考點(diǎn)沖關(guān)

2----------

1.【答案】B

【解析1/E￡/=4,//陽(yáng)/-/陽(yáng)〃=3<4,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，動(dòng)點(diǎn)尸的集合是以尻人為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn).

2.【答案】A

V-22

【解析】方程‘一+二v一=1表示雙曲線(xiàn)的充要條件是(m-2)(m+3)<0,解得-3<m<2,

m-2m+3

根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知，充分不必要條件是-3<m<0.選A.

3.【答案】A

2

【解析】由雙曲線(xiàn)的方程—-工=1可得”=11=百，則漸近線(xiàn)方程為y=±Wr

3

4.【答案】D

x2

--y2=l(a>0)

【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)％+2y-3=0與項(xiàng)的交點(diǎn)為(3,0),所以在雙曲線(xiàn)中有°2=d+1=%

故。2=8,即a=2#,故選D.

5.【答案】A

【解析】??.雙曲線(xiàn)三一口=1(。>0)的離心率為；，.?.—=?2+16=3,解得〃=3,

a163aa3

.?.c=j9+16=5,即焦距為2c=10,故選A.

6.【答案】A

【解析】由題意知：呻=向總I=2c,

因?yàn)榈妊切蔚捻斀菫?20。，所以根據(jù)三角形的性質(zhì)可求出出入|=2/c,

由雙曲線(xiàn)定義可得IPFJ—伊瑪I=2a=(2遍-2)c,

由離心率公式可得。=￡=—^―=丑口.

a2^3-22

故選A.

7.【答案】A

【解析】由雙曲線(xiàn)的定義可知|P%|-|PF2l=2a，忸41=忸/2|=2g所以|PF[|=2a+2c,

由已知可得仍用，G到直線(xiàn)P%的距離，；伊儲(chǔ)|構(gòu)成直角三角形，所以(2a)2+(a+c)2=(2c)2,

化簡(jiǎn)得5/+2ac-3c2=0，解得5Q=3c,

h4

所以一=大，所以漸近線(xiàn)方程為鈿±3y=0,應(yīng)選A

a3

8.【答案】B

【解析】由雙曲線(xiàn)方程得/=4,6=5,

則丁=9,即c=3,

則焦點(diǎn)為0(-3,0),&(3,0)1

如圖，?.?點(diǎn)一在雙曲線(xiàn)C的右支上，且即1,魴2=0,.?.△耳桃為直角三角形，

則|p￡+pq=2|po卜忻用=2c=6,

故選B.

9.【答案】D

【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F(-c,離心率或￡=應(yīng)，則L&5

a

則雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，即戶(hù)心

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±-x=±xf

a

_4-04

則經(jīng)過(guò)尸和尸(0,4)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率上丁=—,

0+cc

4

則一=1,c=4,

則a=b=2yf2,

...雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-上=1.故選D.

88

10.【答案】A

22

【解析】A中，—=l滿(mǎn)足水0,6>0,—4--^—=1滿(mǎn)足水0,力0；

abab

22

B中，2+*=1滿(mǎn)足a>0,Z?>0,土+匕=1滿(mǎn)足a>0,ZK0,矛盾；

abab

22

C中，—l~"=l滿(mǎn)足水0,6>0,+2—=1滿(mǎn)足a>0,力0,矛盾；

ahab

22

D中，巳+；=1滿(mǎn)足@〈0,垃0,土