2023年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編

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2023高考文科試題解析分類匯編：數(shù)列

一、選擇題

1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11=16，則a5=（A）1（B）2（C）4（D）8A

2

a3a1116a716a74a522a51

2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，,則Sn（A）2

n1

（B）()

3

2

n1

（C）()

23

n1

（D）

12n1

B

本試題主要考察了數(shù)列中由遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。由Sn2an1可知，當(dāng)n1時(shí)得a2

11S122

當(dāng)n2時(shí)，有Sn2an1①Sn12an②①－②可得an2an12an即an1

313

an，故該數(shù)列是從其次項(xiàng)起以為首項(xiàng)，以為公222

1

(n1)

比的等比數(shù)列，故數(shù)列通項(xiàng)公式為an13，

n2

()(n2)22

13(1()n1)

3故當(dāng)n2時(shí)，Sn1()n1

3212

311

當(dāng)n1時(shí)，S11()，應(yīng)選答案B

2

3.數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830D

此題主要考察靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求數(shù)列問題能力，是難題.有題設(shè)知

a2a1=1，①a3a2=3②a4a3=5③a5a4=7，a6a5=9，

a7a6=11，a8a7=13，a9a8=15，a10a9=17，a11a10=19，a12a1121，

∴②－①得a1a3=2，③+②得a4a2=8，同理可得a5a7=2，a6a8=24，a9a11=2，

a10a12=40，，

∴a1a3，a5a7，a9a11，，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，a2a4，a6a8，a10a12，

是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，∴{an}的前60項(xiàng)和為152158可證明：

1

161514=1830.2

bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16

0b1a1a2a3a41

1514

S151012

161830

4.在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則a2+a10=

(A)12(B)16(C)20(D)24B

a4a8(a13d)(a17d)2a110d,

a2a10(a1d)(a19d)2a110d,a2a10a4a816，應(yīng)選B

此題主要考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、同時(shí)考察運(yùn)算求解能力，屬于簡(jiǎn)單題。5.定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），假使對(duì)于任意給

定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)〞?，F(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x；②f（x）=2x

；③（x）=ln|x|。

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)〞的f（x）的序號(hào)為A.①②B.③④C.①③D.②④C

6.設(shè)函數(shù)f(x)(x3)x1，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)f(a2)f(a7)14，則a1a2a7（）

A、0B、7C、14D、21D.

[解析]∵{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a1)f(a2)f(a7)14

3

；④f

∴[(a13)3a11][(a23)3a21][(a73)3a71]14∴(a1a2a7)714

∴a1a2a721

[點(diǎn)評(píng)]本小題考察的知識(shí)點(diǎn)較為綜合，既考察了高次函數(shù)的性質(zhì)又考察了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)

用，解決此類問題必需要敢于嘗試，并需要認(rèn)真觀測(cè)其特點(diǎn).7.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式ancos于

A.1006B.2023C.503D.0A．

考點(diǎn)：數(shù)列和三角函數(shù)的周期性。難度：中。

分析：此題考察的知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)的周期性和數(shù)列求和，所以先要找出周期，然后分組計(jì)算和。

解答：a4n1(4n1)cosa4n2a4n3

n

，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2023等2

a4n4

(4n1)

(4n1)cos0，22(4n2)

(4n2)cos(4n2)cos(4n2)，

2(4n3)3

(4n3)cos(4n3)cos0，

22(4n4)

(4n4)cos(4n4)cos24n4，

2

所以a4n1a4n2a4n3a4n42。即S2023

2023

21006。4

8.已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論種正確的是

222

（A）a1+a3≥2a2（B）a1（C）若a1=a3，則a1=a2（D）若a3＞a1，則a4＞a2a32a2

B

當(dāng)a10,q0時(shí)，可知a10,a30,a20，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)q1時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)q0時(shí)，a3a2a3qa1qa4a2，與D選項(xiàng)矛盾。因此根據(jù)均值定理可知B選項(xiàng)正確。

本小題主要考察的是等比數(shù)列的基本概念，其中還涉及了均值不等式的知識(shí)，假使對(duì)于等比數(shù)列的基本概念（公比的符號(hào)問題）理解不清，也簡(jiǎn)單錯(cuò)選，當(dāng)然最好選擇題用排除法來做。

9.某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如下圖，從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為

（A）5（B）7（C）9（D）11C

由圖可知6，7，8，9這幾年增長(zhǎng)最快，超過平均值，所以應(yīng)當(dāng)參與，因此選C。本小題知識(shí)點(diǎn)考察很靈活，要根據(jù)圖像識(shí)別看出變化趨勢(shì)，判斷變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解，當(dāng)然此題若利用數(shù)學(xué)估計(jì)過于繁雜，最好從感覺出發(fā)，由于目的是使平均產(chǎn)量最高，就需要隨著n的增大，Sn變化超過平均值的參與，隨著n增大，Sn變化不足平均值，故舍去。

二、填空題

10.首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和S415

124

15：S4

12

此題考察等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式11.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+3S2=0，則公比q=_______2

此題主要考察等比數(shù)列n項(xiàng)和公式，是簡(jiǎn)單題.

當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1，S2=2a1，由S3+3S2=0得，9a1=0，∴a1=0與{an}是

a1(1q3)3a1(1q2)

等比數(shù)列矛盾，故q≠1，由S3+3S2=0得，0，解得q=－2.

1q1q

12.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1。若a1=1，且對(duì)任意的

都有an＋2＋an＋1-2an=0，則S5=_________________。

11

由已知可得公比q=-2，則a1=1可得S5。

13.有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、積分別記為V1,V2,...,Vn,...，則lim(V1V2...Vn)

n

1

為公比的等比數(shù)列，體2

8。7

1

為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積則組成了2

由正方體的棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，

一個(gè)以1為首項(xiàng)，

1

為公比的等比數(shù)列，因此，lim(V1V2Vn)

n8

111

8

8.7

此題主要考察無窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義.

考察知識(shí)較綜合.

14.已知f(x)

1

，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，1x

an2f(an)，若a2023a2023，則a20a11的值是

35

。26

111，并且an2f(an)，得到an2，a11，a3，1x21an

據(jù)題f(x)

a2023a2023，得到

151

（負(fù)值舍去）.依次往前推得到a2023，解得a2023

1a20232

a20a11

3.26

此題主要考察數(shù)列的概念、組成和性質(zhì)、同時(shí)考察函數(shù)的概念.理解條件

an2f(an)是解決問題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中高檔試題.

15.已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.若a10,且2（an+an+2）=5an+1,則數(shù)列｛an｝的公比q=_____________________.2

此題主要考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和規(guī)律推理能力，屬于中檔題。2(anan2)5an1,2an(1q2)5anq,2(1q2)5q,解得q2或q由于數(shù)列為遞增數(shù)列，且a10,所以q1,q2

16.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1

a2=______，Sn=_______。a21，Sn

1

2

1

，S2=a3，則2

121nn44

1

a2a1d1，2

S2a3，所以a1a1da12dd

Sn

1

n(n1)。4

本小題主要考察等差數(shù)列的基本運(yùn)算，考察通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的計(jì)算。

17.若等比數(shù)列an滿足a2a4

12，則a1a3a52

14111224

a2a4a3,a1a3a5a3

224

三、解答題

18.（此題總分值14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n2n，

n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

此題主要考察等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式以及求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察了學(xué)生的綜合分析問題能力和運(yùn)算求解能力。

（1）由Sn=2n2n，得

當(dāng)n=1時(shí)，a1S13；

22

2(n1)(n1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12nn4n1，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得bn2n1，n∈N﹡.

（2）由（1）知anbn(4n1)2n1，n∈N﹡

所以Tn372112...4n12

2

n1

，

2Tn327221123...4n12n，2TnTn4n12n[34(222...2n1)](4n5)2n5

Tn(4n5)2n5，n∈N﹡.

19.（16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：

an1

anbnanbn

2

2

，nN*，

（1）設(shè)bn1

bnb

1，nN*，求證：數(shù)列n

aann

2

是等差數(shù)列；

（2）設(shè)bn1

2

bn

，nN*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．a(chǎn)n

解：（1）∵bn1

1

bn，∴an1an

b

∴n1

an12bn1bnbn∴1nN*。

an1anan

2

2

2

bn

∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列。

an

2

（2）∵an0，bn0，∴

anbn

2

2

an2bn2anbn。

2

∴1an1

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an0知q0，下面用反證法證明q=1

若q

1,則a1=

aa2

nlogq時(shí)，an1a1qnq

1

a21

a21，∴當(dāng)nlogq時(shí)，an1a1qn1，與（﹡）矛盾。qa1

若0q1,則a1=

∴綜上所述，q=1?！郺na1n

N*，∴1a1

又∵bn1bnbnnN*，∴{b

n}an111，于是b1b2b3。1

若a1

又由an

1

anbnanbn

2

2

即a1

，得bna11

。

∴b1，b2，b3中至少有兩項(xiàng)一致，與b1b2b

3矛盾?！郺1

∴

bn

1

∴a1=b2

等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。（1）根據(jù)題設(shè)an1

2

2

anbnanbn

2

2

和bn1

bb

1n，求出n1an1anbb

而證明n1

n1而得證。

an1an

（2）根據(jù)基本不等式得到1an1的公比

q=1。

從而得到ana1nN*

的結(jié)論，再由bn1數(shù)列。最終用反證法求出a1=b2

20．(本小題總分值12分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)0，且a1anS1Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立。

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

{an}

bn

bn

知{bn}an11

（Ⅱ）設(shè)a10，100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{lg[解析]取n=1,得a12s12a1,a1(a12)0

1

的前n項(xiàng)和最大？an

若a1=0,則s1=0,當(dāng)n2時(shí)，ansnsn10,所以an0若a10，則a1

2

2an,當(dāng)n2時(shí)，

2

sn,2an1

2

sn1,

上述兩個(gè)式子相減得：an=2an-1,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列綜上，若a1=0,則an0

若a10，則an

2n

…………7分

（2）當(dāng)a10,且100時(shí)，令bnlg

1

,所以，bn2nlg2an

所以，{bn}單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為-lg2）

100100

lglg106

642

100100

lg10當(dāng)n≥7時(shí)，bn≤b7=lg7lg1282

則b1b2b3…b6=lg故數(shù)列{lg

1

}的前6項(xiàng)的和最大.…………12分an

[點(diǎn)評(píng)]本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考察.第一，知識(shí)層面：考察等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；其次，能力層面：考察思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學(xué)思想：考察方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.21.（本小題總分值13分）

某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50％.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的一致.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；

（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.

（Ⅰ）由題意得a12000(150%)d3000d，

3

a1d，23

an1an(150%)dand.

23

（Ⅱ）由（Ⅰ）得anan1d

233

()2an2dd2233

(an2d)d22a2a1(150%)d

3333()n1a1d1()2()n2.

2222

整理得an()n1(3000d)2d()n11

32

32

3

()n1(30003d)2d.2

3n1

由題意，an4000,()(30003d)2d4000,

2

3n()210001000(3n2n1)2解得d.nn

n32()12

1000(3n2n1)

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為繳時(shí)，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為nn

32

４０００元.此題考察遞推數(shù)列問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考察運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力.第一問建立數(shù)學(xué)模型，得出an1與an的關(guān)系式an1只要把第一問中的an1

3

and，其次問，2

3

and迭代，即可以解決.2

22.（本小題總分值13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分））已知{an}為等差數(shù)列，且a1a38,a2a412,（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1,ak,Sk2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值。

2a12d8

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意知解得a12,d2

2a4d121

所以ana1(n1)d22(n1)2n（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn

(a1an)n(22n)n

n(1n)因a1,ak,Sk2成等比數(shù)列，22

2

2

所以a2ka1Sk2從而(2k)2(k2)(k3)，即k5k60

解得k6或k1（舍去），因此k6。

23.已知等比數(shù)列an的公比為q=-（1）若

1.2

a

=3

1

，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和；4

（Ⅱ）證明：對(duì)任意kN，

a

k

，

a

k2

，

a

k1

成等差數(shù)列。

：（Ⅰ）an2n（Ⅱ）k6

：：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意知所以ana1(n1)d22(n1)2n（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn

2a12d8

解得a12,d2

2a14d12

(a1an)n(22n)n

n(1n)因a1,ak,Sk2成等比數(shù)列，22

2

所以a2ka1Sk2從而(2k)22(k2)(k3)，即k5k60解得k6或k1（舍去），因此k6。

24.（本小題總分值13分）

已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.

（Ⅰ）求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2a1d，a3a12d，

3a3d3,a2,a4,

由題意得1解得1或1

a(ad)(a2d)8.d3,d3.111

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.

故an3n5，或an3n7.（Ⅱ）當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4，2，不成等比數(shù)列；

當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1，2，4，成等比數(shù)列，滿足條件.3n7,n1,2,

故|an||3n7|

3n7,n3.

記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn.

當(dāng)n1時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，S2|a1||a2|5；當(dāng)n3時(shí)，

SnS2|a3||a4||an|5(337)(347)(3n7)

5

(n2)[2(3n7)]3211

nn10.當(dāng)n2時(shí)，滿足此式.

222

n1,4,

綜上，Sn3211

nn10,n1.22

此題考察等差數(shù)列的通項(xiàng)，求和，分段函數(shù)的應(yīng)用等；考察分類探討的數(shù)學(xué)思想以

及運(yùn)算求解的能力.求等差數(shù)列的通項(xiàng)一般利用通項(xiàng)公式ana1n1d求解；有時(shí)需要利用等差數(shù)列的定義：anan1c（c為常數(shù)）或等比數(shù)列的定義：

an

c'（c'為常數(shù)，an1

c'0）來判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再求解通項(xiàng)；有些數(shù)列本身不是等差數(shù)

列或等比數(shù)列，但它含有無數(shù)項(xiàng)卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列，這時(shí)求通項(xiàng)或求和都需要分段探討.來年需注意等差數(shù)列或等比數(shù)列的簡(jiǎn)單遞推或等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的性質(zhì).25.（此題總分值13分）已知

｛

｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，

｛

｝是等比數(shù)列，

且

==2,a4b427,-=10（I）求數(shù)列｛｝與｛（II）記=

+

｝的通項(xiàng)公式；

，（n

,n2）。

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q；

a4b42723d2q327d3則3

Sb10q24a6d2q10441

得：an3n1,bn2n

(Ⅱ)akbk(3k1)2k(3k4)2k1(3k7)2kck1ck(kN*)Tn(c2c1)(c3

c)(2nc1

n

c)

n

1

c11c(3n4n)2

8

當(dāng)n2時(shí)，Tn8an1bn1

26.(本小題總分值12分)

已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a202a5.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)對(duì)任意mN*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.

5a110d105,

(I)由已知得：

a9d2(a4d),11

解得a17,d7,

所以通項(xiàng)公式為an7(n1)77n.(II)由an7n72m，得n72m1，

即bm72m1.bk172m1

2m149，∵bk7

∴{bm}是公比為49的等比數(shù)列，

7(149m)7∴Sm(49m1).

14948

27.(本小題總分值12分)（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．

已知數(shù)列{an}中，a11，前n項(xiàng)和Sn（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式。

本試題主要考察了數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和相結(jié)合的綜合運(yùn)用。解：（1）由a11與Sn

n2

an。3

n2

an可得3

，

22

a2a1a2a23a133322S3a3a1a2a3a3a1a24a36

33S2

故所求a2,a3的值分別為3,6。

n2n1

an①Sn1an1②33n2n1

anan1即①－②可得SnSn133

（2）當(dāng)n2時(shí)，Sn

an

an2n1n1n1n1

anan1anan1n

3333an1n1

anan1a2n1n3n2n故有ana11

an1an2a1n1n212

121n2n1a1，所以an的通項(xiàng)公式為an而22

試題出題比較直接，沒有什么隱含的條件，只要充分發(fā)揮利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系式變形就可以得到結(jié)論。

28.（本小題總分值13分）

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

+sinx的所有正的微小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}.2

（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè){xn}的前n項(xiàng)和為Sn，求sinSn。

x12sinxf(x)cosx0x2k(kZ)，22322

f(x)02kx2k(kZ)，

3324

f(x)02kx2k(kZ)，

332

(kZ)時(shí)，f(x)取微小值，得：當(dāng)x2k32

得：xn2n。

3

2

（II）由（I）得：xn2n。

3

2n2n

Snx1x2x3xn2(123n)n(n1)。

33

（I）f(x)

當(dāng)n3k(kN)時(shí)，sinSnsin(2k)0，當(dāng)n3k1(k

N)時(shí)，sinSnsin

**

2，

324，3當(dāng)n3k2(k

N)時(shí)，sinSnsin

*

*

得：當(dāng)n3k(kN)時(shí)，sinSn0，當(dāng)n3k1(k

N)時(shí)，sinSn

*

當(dāng)n3k2(k

N)時(shí)，sinSn*

29．（此題總分值18分）此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分

對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列an，記bkmaxa1,a2,...,ak（k1,2,...,m），即bk為

a1,a2,...,ak中的最大值，并稱數(shù)列bn是an的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列

是1，3，3，5，5

（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的an（2）設(shè)bn是an的控制數(shù)列，滿足akbmk1C（C為常數(shù)，k1,2,...,m），求證：

bkak（k1,2,...,m）

1

（3）設(shè)m100，常數(shù)a,1，若anan2(1)

2

求(b1a1)(b2a2)...(b100a100)

[解]（1）數(shù)列{an}為：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；

2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……4分（2）由于bkmax{a1,a2,,ak}，bk1max{a1,a2,,ak,ak1}，所以bk1bk.……6分由于akbmk1C，ak1bmkC，

所以ak1akbmk1bmk0，即ak1ak.……8分因此，bkak.……10分（

3

）

對(duì)

n(n1)

2

n，bn是an的控制數(shù)列，

k1,2,,25

，

a4k3a(4k3)2(4k3)

；

a4k2a(4k2)2(4k2)；

a4k1a(4k1)2(4k1)；a4ka(4k)(4k).

比較大小，可得a4k2a4k3.……12分

由于1a1，所以a4k1a4k2(a1)(8k3)0，即a4k2a4k1；2a4ka4k22(2a1)(4k1)0，即a4ka4k2.

2

又a4k1a4k，

從而b4k3a4k3，b4k2a4k2，b4k1a4k2，b4ka4k.……15分

因此(b1a1)(b2a2)(b100a100)

=(b3a3)(b7a7)(b10a10)(b4k1a4k1)(b99a99)=(a2a3)(a6a7)(a9a10)(a4k2a4k1)(a98a99)=

(a

k1

25

4k2

(1a).……18分a4k1)=(1a)(8k3)=2525

k1

25

此題主要考察數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，此題屬于

信息給予題，通過定義“控制〞數(shù)列，考察考生分析探究及推理論證的能力．綜合考察數(shù)列的基本運(yùn)算，數(shù)列問題一直是近幾年的命題重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)引起