樂山一中2020屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四川省樂山一中2020屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科）一、選擇題1。已知實(shí)數(shù)，滿足，其中是虛數(shù)單位,若，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義，即可求得答案.【詳解】實(shí)數(shù)滿足其中虛數(shù)單位，,可得解得。，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)和復(fù)數(shù)的幾何意義,解題關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2。已知集合，，則（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】求出集合，的補(bǔ)集，再計(jì)算即可?！驹斀狻?，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。3。已知實(shí)數(shù)，滿足,則（）A. B。C。 D.【答案】B【解析】【分析】首先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，的范圍,然后逐一考查所給的不等式，即可求得答案?！驹斀狻坑芍笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得：對(duì)于A，由,可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，故B正確;對(duì)于C，由，可得,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,根據(jù)圖象可得，由,與的大小無法確定，故D錯(cuò)誤;故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)已知不等式判斷所給不等式是否正常，解題關(guān)鍵是掌握不等式比較大小方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(）A. B。C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓柱、一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體,利用表面積計(jì)算公式即可得出?！驹斀狻坑扇晥D可知，該幾何體由三部分組成:最上面是一個(gè)圓錐，中間是一個(gè)圓柱，最下面是一個(gè)長(zhǎng)方體.該幾何體的表面積為：。故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的表面積，三視圖還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)判斷即可?！驹斀狻繉?duì)于，其在定義域上為增函數(shù)，不符合題意;對(duì)于，其在定義域上為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，其是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于,，,其在上不為減函數(shù),不符合題意。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，對(duì)于簡(jiǎn)單基本初等函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題。6。已知正方形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上靠近的四等分點(diǎn),則往圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為（)A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可分別求解圓的面積及面積,根據(jù)幾何概型概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，則正方形的面積為，的面積為，因?yàn)閳A的直徑即，圓的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得.故選:C。【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率，意在考查數(shù)學(xué)計(jì)算和應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題.7.偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系";直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難度,而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用;已知直角梯形中，，，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn),若，,則(）A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】過作于,根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】過作于,故，因?yàn)?，故，則故選：A。【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查向量的線性運(yùn)算及幾何意義、向量的數(shù)量積，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的周期為 B.函數(shù)的一條對(duì)稱軸為C。函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的最小值為【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)，可得，逐項(xiàng)判斷，即可求得答案.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的周期為：，故A說法正確；對(duì)于B，時(shí),是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B說法正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不單調(diào)，故C說法錯(cuò)誤；對(duì)于D,函數(shù)的最小值為，故D說法正確,故選：C?！军c(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和正弦函數(shù)圖象特征，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題。9。已知函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是（)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像可得函數(shù)的定義域不為0,并根據(jù)圖像的變化趨勢(shì),逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論?！驹斀狻咳簦瑒t，不符合題意，故不正確；若，當(dāng)時(shí)，,當(dāng),當(dāng)在存在唯一交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)設(shè)為，而在連續(xù),遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是，所以在存在為唯一的最大值點(diǎn)，滿足題意；若,則當(dāng)時(shí)，,故選項(xiàng)不正確；由圖象可知，函數(shù)的定義域中不含0,故不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的辨析，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.10。執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為365，則判斷框中可以填（)A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)條件進(jìn)行模擬運(yùn)算,尋找成立的條件進(jìn)行判斷即可。【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，,不滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,,不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，,此時(shí)，應(yīng)該滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán)，輸出的值為365.則判斷框內(nèi)的件為故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全程序框圖，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【詳解】直線l：y=-x+a與漸近線交于,直線l：y=-x+a與漸近線交于,A，因?yàn)?，所?雙曲線的漸近線方程為，故選D。點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì),屬于中檔題目.解決本題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)以及向量坐標(biāo)化,先求出過右頂點(diǎn)且斜率為—1的直線方程，分別聯(lián)立該直線與雙曲線的兩條漸近線,求出交點(diǎn)坐標(biāo),代入中，通過化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得到a,b的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線中,即可求得離心率.12.已知數(shù)列滿足.令，則的最小值為（)A。20 B.15 C。25 D.30【答案】B【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則可計(jì)算出.然后應(yīng)用公式即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。然后應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)整理，再根據(jù)絕對(duì)值的特點(diǎn)可得的最小值。【詳解】依題意，由，可得：。設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，.也滿足上式，故，.數(shù)列是以35為首項(xiàng)，﹣5為公差的等差數(shù)列,當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)、等差數(shù)列的性質(zhì)、絕對(duì)值性質(zhì)，考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在題中的橫線上。）13.二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為，則__________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可得，再利用微積分基本定理及其性質(zhì)即可得出.【詳解】，令，解得。.，表示函數(shù)與軸圍成的面積，即為在軸上方的半圓面積，，.

故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理、定積分定理以及幾何意義，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。14.已知點(diǎn)滿足，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】首先畫出可行域，利用的幾何意義：區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，因此求最值即可?！驹斀狻坑梢阎玫狡矫鎱^(qū)域如圖：表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連接的直線斜率，由解得，由解得當(dāng)與連接時(shí)直線斜率最大為1，與連接時(shí)直線斜率最小為﹣2，所以的取值范圍為.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合求最值，屬于基礎(chǔ)題。15.已知,兩點(diǎn)分別為橢圓的左焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的方程可得，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，及的長(zhǎng)度，當(dāng)三角形的面積最大時(shí)為過點(diǎn)的直線與直線平行且與橢圓相切，設(shè)過的直線方程與橢圓聯(lián)立,由判別式等于0可得參數(shù)的值,即可求解?！驹斀狻坑蓹E圓方程可得，所以直線的方程為：，由題意可得當(dāng)過的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，兩條平行線間的距離最大時(shí),三角形的面積最大，設(shè)過點(diǎn)與平行的切線方程為：，直線與直線的距離為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得:，整理可得：，，可得，解得，所以當(dāng)時(shí)最大，這時(shí)的最大值為：.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓內(nèi)接三角形面積最值、直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題。16.已知，使得不等式能成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________。【答案】或?！窘馕觥俊痉治觥坑深}意可得，分別，，，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù),求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，結(jié)合能成立思想可得所求范圍.【詳解】不等式，即為，若則不等式顯然不成立;當(dāng)時(shí)，可得,設(shè)，，則在時(shí)遞減，在遞增，即有在處取得最小值，由題意可得,又當(dāng)時(shí),可得，設(shè)，則在時(shí)遞減，在遞增，即有在處取得最大值1，由題意可得，綜上可得的范圍是或，故答案為:或。【點(diǎn)睛】本題以不等式能成立為背景，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，分類討論分離參數(shù)是解題關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題（共5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,，，且。(1)求的大??；（2)若，，求的面積?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解；(2）由已知結(jié)合余弦定理可求，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）。，，，即,所以，或或即，或（舍去），或（舍去)，又因?yàn)?，故，?）由余弦定理可得，，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理、兩角和差正弦公式解三角形，考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.18.在一次體質(zhì)健康測(cè)試中，某輔導(dǎo)員隨機(jī)抽取了12名學(xué)生的體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)做分析，得到這12名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為87，87，98,86，78，86，88，52，86，90,65，72.(1）請(qǐng)繪制這12名學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)的莖葉圖,并指出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù);（2)從抽取的12人中隨機(jī)選取3人,記表示成績(jī)不低于76分的學(xué)生人數(shù),求的分布列及期望【答案】(1）莖葉圖見解析,中位數(shù)為:；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1)由這12名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)能繪制這12名學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)的莖葉圖，并求出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。（2)的可能取值為0，1,2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）繪制這12名學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)的莖葉圖，如下：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為:。（2）抽取的12人中，成績(jī)不低于76分的有9人,從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績(jī)不低于76分的學(xué)生人數(shù)，則的可能取值為0，1,2，3，，，,，的分布列為:0123數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖做法、離散型隨機(jī)變量分布列和期望，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。19.已知三棱柱中，,,。（1）求證：平面；（2）若,求平面與平面所成二面角的余弦值。【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】【分析】(1）要證平面，只需求證，結(jié)合已知,即可求得答案；（2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)，即可求得答案.【詳解】(1），.在中,，由余弦定理得，,。又，,又平面。(2)由（1），又在中,可得又平面;由（1）得平面，又以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,又解得：，故設(shè)平面法向量為由,可得故：取，則設(shè)平面法向量為由,可得故：取可得：平面與平面所成二面角的余弦值?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直的證法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20.已知橢圓過點(diǎn),，其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，過點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為、，且.（1）證明：為定值；（2）如上圖所示,若,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且，求四邊形面積的最大值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；(2).【解析】【分析】（1)其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，求出，點(diǎn)代入橢圓方程，可求出橢圓方程，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，可得,.利用，可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得；（2)由(1）得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出，由點(diǎn)到直線距離公式，求出到直線距離，求出四邊形面積的關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合關(guān)系,由基本不等式求出最大值.【詳解】（1）其上頂點(diǎn)到直線的距離為2，，解得.又橢圓過點(diǎn)，，解得.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:。點(diǎn)在橢圓上，.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，可得，.，即為定值。（2）由（1)得直線斜率為，方程為，即,,聯(lián)立解得，，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、平行四邊形的面積,利用基本不等式求最值，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算，屬于較難題.21。已知函數(shù)，且函數(shù)在處取到極值.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù),且函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，，,證明：.【答案】（1);（2)證明見解析【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求解值，則曲線在處的切線方程可求；（2）求出函數(shù)的解析式，由,根據(jù)已知有三個(gè)解,存在兩個(gè)不同于的零點(diǎn)，設(shè)，求出取值范圍，結(jié)合的函數(shù)特征,可判斷是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù),研究的單調(diào)性，把證明轉(zhuǎn)化為證明即可。【詳解】（1），,函數(shù)在處取到極值，,即。則，，∴曲線在處的切線方程為;（2），函數(shù)的定義域?yàn)榍?，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；是的最小值；有三個(gè)極值點(diǎn)，,得的取值范圍為,當(dāng)時(shí)，,,;即，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).，消去得；令,，的零點(diǎn)為,且。在上遞減,在上遞增。要證明，即證,等價(jià)于證明，即。，即證.構(gòu)造函數(shù),則;只要證明在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞減;增大時(shí),減小，增大,減小,在上是減函數(shù)。在上是減函數(shù)。當(dāng)時(shí),.即【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn),意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于難題.22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；