混合策略納什均衡

混合策略納什均衡第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)混合策略納什均衡的求解方法二、反應(yīng)對應(yīng)法例：撲克牌對色游戲(p77)無純策略NE給定混合策略p甲=(r,1-r);p乙=(q,1-q)π甲(p甲,p乙)=2r(1-2q)+(2q-1)整理原則：一項(xiàng)含r，一項(xiàng)不含rπ乙(p甲,p乙)=

2q(2r-1)-(2r-1)整理原則：一項(xiàng)含q，一項(xiàng)不含q按照NE的條件，一個策略組合如過是一個NE，那么其中的每一個策略都是參與人針對其他參與人策略組合的最優(yōu)反應(yīng)，在純策略NE中，這個“最優(yōu)反應(yīng)”可能是一個具體的純策略(離散情形)，也可能是一個反應(yīng)函數(shù)(reactionfunction,如連續(xù)情形、古諾模型)。而在一個混合策略NE中，這個“最優(yōu)反應(yīng)”將是一個概率或很多個概率——被稱為“反應(yīng)對應(yīng)”(reactioncorrespondence)第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)混合策略納什均衡的求解方法二、反應(yīng)對應(yīng)法例：撲克牌對色游戲(p77)先看甲的最優(yōu)反應(yīng)，記為r*=R(q)：觀察π甲(p甲,p乙)=2r(1-2q)+(2q-1)rq01（紅）1(紅)1/21/2r*=R(q)反應(yīng)對應(yīng)曲線第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)混合策略納什均衡的求解方法二、反應(yīng)對應(yīng)法例：撲克牌對色游戲(p77)再看乙的最優(yōu)反應(yīng)，記為q*=R(r)：觀察π乙(p甲,p乙)=

2q(2r-1)-(2r-1)rq01（紅）1(紅)1/21/2q*=R(r)反應(yīng)對應(yīng)曲線第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)混合策略納什均衡的求解方法二、反應(yīng)對應(yīng)法例：撲克牌對色游戲(p77)作為NE，各個參與人的反應(yīng)應(yīng)該同時為最優(yōu)，只有兩個反應(yīng)對應(yīng)的交點(diǎn)滿足NE：r*=1/2,q*=1/2NE支付為：π甲(p甲,p乙)=2r(1-2q)+(2q-1)=0π乙(p甲,p乙)=

2q(2r-1)-(2r-1)=0rq01（紅）1(紅)1/21/2q*=R(r)r*=R(q)第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)混合策略納什均衡的求解方法二、反應(yīng)對應(yīng)法作業(yè)：社會福利博弈。使用反應(yīng)對應(yīng)法找到納什均衡。

流浪漢尋找工作游蕩救濟(jì)政府

不救濟(jì)3，2-1，3-1，10，0第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡例：情侶博弈兩個（多個）純策略納什均衡問題：納什均衡找完了嗎？有無混合策略納什均衡？一、支付最大化法給定混合策略p陳明=(r,1-r);p鐘信=(q,1-q)Maxπ陳明(p陳明,p鐘信)=r[3q+(1-q)

]+(1-r)[0+2(1-q)]=r(4q-1)+2(1-q)Maxπ鐘信(p陳明,p鐘信)=q(2r+0)+(1-q)[r+3(1-r)]=q(4r-3)+(3-2r)NE：(r*,q*)=(3/4,1/4)二、反應(yīng)對應(yīng)法rq第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡二、反應(yīng)對應(yīng)法：情侶博弈先看陳明的最優(yōu)反應(yīng)，記為r*=R(q)：π陳明(p陳明,p鐘信)

=r(4q-1)+2(1-q)rq01（鐘信德語）1(陳明德語)1/4r*=R(q)第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡二、反應(yīng)對應(yīng)法：情侶博弈再看鐘信的最優(yōu)反應(yīng)，記為q*=R(r)：π鐘信(p陳明,p鐘信)=q(4r-3)+(3-2r)rq01（鐘信德語）1(陳明德語)1/4q*=R(r)3/4第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡二、反應(yīng)對應(yīng)法：情侶博弈反應(yīng)對應(yīng)曲線有三個交點(diǎn)：三個NE：r*=0,q*=0純策略（確定性）r*=3/4,q*=1/4混合策略（不確定性）r*=1,q*=1純策略（確定性）rq01（鐘信德語）1(陳明德語)1/43/4r*=R(q)q*=R(r)第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡二、反應(yīng)對應(yīng)法：情侶博弈支付的帕累托優(yōu)勢：初步印象π陳明=r(4q-1)+2(1-q)，π鐘信=q(4r-3)+(3-2r)r*=0,q*=0純策略（確定性）

雙方NE支付:π陳明*=3，π鐘信*=2r*=3/4,q*=1/4混合策略（不確定性）雙方NE支付:π陳明*=3/2，π鐘信*=3/2r*=1,q*=1純策略（確定性）雙方NE支付:π陳明*=2，π鐘信*=3純策略納什均衡比混合策略納什均衡具有支付優(yōu)勢，這稱為帕累托優(yōu)勢如果博弈同時存在純策略納什均衡和混合策略納什均衡，前者往往得到優(yōu)先考慮第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)尋找多重納什均衡二、反應(yīng)對應(yīng)法：情侶博弈夫妻之爭博弈第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)納什均衡的存在性不同均衡概念的關(guān)系優(yōu)勢均衡純策略納什均衡混合策略納什均衡第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)納什均衡的存在性問題：是否所有的博弈都存在NE（純的或混合的）？Nash在1950年證明：任何有限博弈，都至少存在一個NE。

納什定理：在一個由n個博弈方的G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝中，如果n是有限的，且Si都是有限集，則該博弈至少存在一個納什均衡，但可能包含混合策略Wilson（1971）證明，幾乎所有有限博弈，都存在有限奇數(shù)個NE，包括純策略NE和混合策略NE。（純策略）納什均衡的存在性定理(Debreu,1952；Glicksberg,1952；Fan,1952)：

考慮一個n人策略式博弈,如果每個參與人的純策略空間Si是歐氏空間中的非空、緊（閉而有界）的凸集,支付函數(shù)ui(s)連續(xù)且對si擬凹,則博弈存在一個純策略Nash均衡。第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)納什均衡的存在性例：凹但不連續(xù)的支付函數(shù)

二人博弈：策略空間為S1=S2=(0,1)

支付函數(shù)：

反應(yīng)對應(yīng)：

反應(yīng)對應(yīng)曲線：s2s11/31/3s1=s2=無納什均衡第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)納什均衡的存在性問題：是否所有的博弈都存在NE（純的或混合的）？（純策略）納什均衡的存在性定理(Debreu,1952；Glicksberg,1952；Fan,1952)：

考慮一個n人策略式博弈,如果每個參與人的純策略空間Si是歐氏空間中的非空、緊（閉而有界）的凸集,支付函數(shù)ui(s)連續(xù)且對si擬凹,則博弈存在一個純策略Nash均衡。（混合策略）納什均衡的存在性定理(Glicksberg,1952)：

在n人策略式博弈中,如果每個參與人的純粹策略空間Si是歐氏空間中的非空、緊（閉而有界）的凸集,如果支付函數(shù)ui(s)為連續(xù)函數(shù),那么博弈至少存在一個混合策略Nash均衡.第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選一個博弈可能有多個均衡，但仍然存在不穩(wěn)定性——你預(yù)測出現(xiàn)這個納什均衡，因而有相應(yīng)選擇，我卻以為會出現(xiàn)另一個，乃有我的選擇，此時的組合可能并不構(gòu)成納什均衡博弈論并沒有一個一般的理論證明納什均衡結(jié)果一定能出現(xiàn)如何保證納什均衡出現(xiàn)？一、帕累托優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：按照支付大小篩選納什均衡例：獵人博弈第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？二、風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：風(fēng)險(xiǎn)小的NE優(yōu)先假設(shè)概率，比較期望支付大小例：虛擬博弈兩個納什均衡，哪個更優(yōu)？假設(shè)r=1/2,q=1/2給定q=1/2：甲采用上策略的期望支付為：9/2+0/2=4.5甲采用下策略的期望支付為：8/2+7/2=7.5給定r=1/2：乙采用左策略的期望支付為：9/2+0/2=4.5乙采用右策略的期望支付為：8/2+7/2=7.5期望支付越大，風(fēng)險(xiǎn)越小：甲采用下策略，乙采用右策略選擇的納什均衡為：（下策略，右策略）第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？二、風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：風(fēng)險(xiǎn)小的NE優(yōu)先風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法1.甲：單獨(dú)偏離均衡的損失（1）偏離A的損失：6-5=1（2）偏離B的損失：4-0=42.乙：單獨(dú)偏離均衡的損失（1）偏離A的損失：6-5=1（2）偏離B的損失：4-0=43.風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)方法：偏離A的損失VS偏離B的損失1×1＜4×44.結(jié)論（1）偏離B的損失更大：16（2）不偏離B選擇的納什均衡偏離損失更大者為：B,即(下策略，右策略)AB第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？二、風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：風(fēng)險(xiǎn)小的NE優(yōu)先風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法1.甲：單獨(dú)偏離均衡的損失（1）偏離A的損失：6-5=1（2）偏離B的損失：4-0=42.乙：單獨(dú)偏離均衡的損失（1）偏離A的損失：6-5=1（2）偏離B的損失：4-0=43.風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法：偏離A的損失VS偏離B的損失1×1＜4×44.結(jié)論（1）偏離B的損失更大：16（2）不偏離B選擇的納什均衡偏離損失更大者為：B,即(下策略，右策略)AB第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？二、風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：風(fēng)險(xiǎn)小的NE優(yōu)先5.風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法的缺陷：例：假設(shè)M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m1.甲：單獨(dú)偏離均衡的損失(1)偏離A的損失：(M-m)-M/2=M/2-m(2)偏離B的損失：M-(M-m)=m2.乙：單獨(dú)偏離均衡的損失(1)偏離A的損失：0-0=0(2)偏離B的損失：0-0=0如果使用風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法：偏離A的損失VS偏離B的損失(M/2-m)×0=m×0一種建議：甲偏離A的損失VS甲偏離B的損失M/2-m>m選擇的納什均衡為：A,即(D，L)AB第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？二、帕累托優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)和風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系如果帕累托優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)和風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)的選擇沖突？例：帕累托優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)法：選擇的納什均衡為A風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)：1.甲：單獨(dú)偏離均衡的損失(1)偏離A的損失：6-5=1(2)偏離B的損失：4-(-1000)=10042.乙：單獨(dú)偏離均衡的損失(1)偏離A的損失：6-5=1(2)偏離B的損失：4-(-1000)=1004風(fēng)險(xiǎn)偏離損失乘積比較法：偏離A的損失VS偏離B的損失1×1＜1004×1004選擇的納什均衡為：B怎么辦？AB第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？四、聚點(diǎn)均衡如果帕累托優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)和風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢標(biāo)準(zhǔn)都無法使用呢？在現(xiàn)實(shí)生活中，參與人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息來達(dá)到一個“聚點(diǎn)(focalpount)”均衡。這些信息可能與社會文化習(xí)慣、參與人過去博弈的歷史等有關(guān)。(Schelling,1960)性別戰(zhàn)：某一方的生日；社會地位提名博弈道路交通規(guī)則廉價磋商(Cheaptalk)與協(xié)調(diào)博弈盡管無法保證磋商會達(dá)成一個協(xié)議，即使達(dá)成協(xié)議也不一定會被遵守，但在一些博弈中，事前磋商確實(shí)可以使某些均衡實(shí)際上出現(xiàn)。例：兩人同時給對方打電話第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？四、聚點(diǎn)均衡廉價磋商(Cheaptalk)盡管無法保證磋商會達(dá)成一個協(xié)議，即使達(dá)成協(xié)議也不一定會被遵守，但在一些博弈中，事前磋商確實(shí)可以使某些均衡實(shí)際上出現(xiàn)。例：虛擬博弈中的事前告知例：兩人同時給對方打電話重復(fù)博弈、學(xué)習(xí)過程與協(xié)調(diào)模式9，90，00，01，1R乙甲UDL9，90，88，07，7R乙甲UDL聚點(diǎn)第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)多重納什均衡的篩選如何保證納什均衡出現(xiàn)？四、聚點(diǎn)均衡重復(fù)博弈與協(xié)調(diào)模式假定博弈重復(fù)許多次，即使參與人最初難以協(xié)調(diào)行動，在博弈若干次后，某種特定的協(xié)調(diào)模式可能會形成，特別地，假定參與人每一輪根據(jù)其對手以前的“平均”戰(zhàn)略來選擇自己的最優(yōu)戰(zhàn)略，博弈可能收斂于一個納什均衡。以上情況并不保證必然出現(xiàn)納什均衡第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡26第三節(jié)多重納什均衡的選擇標(biāo)準(zhǔn)四、相關(guān)均衡（一）案例：“地域連坐”下的產(chǎn)品質(zhì)量博弈企業(yè)乙好產(chǎn)品差產(chǎn)品好產(chǎn)品企業(yè)甲差產(chǎn)品4，4-8，-2-2，-8-2，-2第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡27第三節(jié)多重納什均衡的選擇標(biāo)準(zhǔn)四、相關(guān)均衡（二）相關(guān)均衡參與人主動設(shè)計(jì)某種形式的選擇機(jī)制，形成制度安排，從而確定最終均衡“三鹿”事件出現(xiàn)后，河北省其他食品企業(yè)以后如何做？4，4-8，-2-2，-8-2，-2第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡28第三節(jié)多重納什均衡的選擇標(biāo)準(zhǔn)五、抗共謀均衡（一）案例：抽象的選擇乙左右上甲下

乙左右上甲下0，0，10-5，-5，0-5，-5，01，1，-5丙：A-2，-2，0-5，-5，0-5，-5，0-1，-1，5丙：B第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡29第三節(jié)多重納什均衡的選擇標(biāo)準(zhǔn)五、抗共謀均衡（二）共謀偏離（集體偏離）均衡的激勵1.如果集體偏離（上，左，A）（1）起因：甲、乙集體偏離，選（下，右，A）（2）結(jié)果：甲的支付0→1，乙的支付0→1（3）結(jié)論：甲、乙有集體偏離的動機(jī)，（上，左，A）非抗共謀均衡第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡30第三節(jié)多重納什均衡的選擇標(biāo)準(zhǔn)五、抗共謀均衡（二）共謀偏離（集體偏離）均衡的激勵2.如果集體偏離（下，右，B）（1）若甲、乙集體偏離，選（上，左，B）-1→-2，-1→-2（2）若甲、丙集體偏離，選（上，右，A）-1→-5，5→0（3）若乙、丙集體偏離，選（下，左，A）-1→-5，5→0（4）結(jié)論：缺乏集體偏離的激勵，（下，右，B）為抗共謀均衡第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2023年4月12日博弈論第三章第二講多重納什均衡31獵鹿博弈：何為抗共謀均衡？

乙獵鹿打兔獵鹿甲打兔10，100，44，04，4第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日多人博弈中的共謀問題防共謀均衡：如果一個博弈的米謳歌策略組合滿足下列要求：1、沒有任何單個博弈方的“串通”會改變博弈的結(jié)果，即單獨(dú)改變策略無利可圖2、給定選擇偏離的博弈方又再次偏離