測(cè)量誤差的基本理論

測(cè)量誤差的基本理論第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述一、測(cè)量誤差的概念人們對(duì)客觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)總會(huì)存在不同程度的誤差。這種誤差在對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)和量測(cè)的過程中反映出來，稱為測(cè)量誤差。二、觀測(cè)與觀測(cè)值的分類1．同精度觀測(cè)和不同精度觀測(cè)在相同的觀測(cè)條件下，即用同一精度等級(jí)的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測(cè)稱為同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為同精度觀測(cè)值或等精度觀測(cè)值。反之，則稱為不同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為不同（不等）精度觀測(cè)值。

第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述二、觀測(cè)與觀測(cè)值的分類2．直接觀測(cè)和間接觀測(cè)為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測(cè)，即被觀測(cè)量就是所求未知量本身，稱為直接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為直接觀測(cè)值。通過被觀測(cè)量與未知量的函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測(cè)稱為間接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為間接觀測(cè)值。3．獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)各觀測(cè)量之間無任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測(cè)，稱為獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。若各觀測(cè)量之間存在一定的幾何或物理?xiàng)l件的約束，則稱為非獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為非獨(dú)立觀測(cè)值。第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述三、測(cè)量誤差及其來源1．測(cè)量誤差的定義真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測(cè)值之差，即：真誤差=真值-觀測(cè)值

2．測(cè)量誤差的反映測(cè)量誤差是通過“多余觀測(cè)”產(chǎn)生的差異反映出來的。3．測(cè)量誤差的來源（1）測(cè)量?jī)x器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測(cè)者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等。

第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測(cè)量誤差的種類按測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。1．系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列觀測(cè)中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)例：誤差處理方法

鋼尺尺長(zhǎng)誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時(shí)抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

…………第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測(cè)量誤差的種類2．偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，單個(gè)誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號(hào)都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差。第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述四、測(cè)量誤差的種類

幾個(gè)概念:準(zhǔn)確度：(測(cè)量成果與真值的差異，取決于系統(tǒng)誤差的大?。┚埽┒龋?觀測(cè)值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大?。?/p>

最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；

測(cè)量平差：（求解最或是值并評(píng)定精度）。第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)例如，在相同條件下對(duì)某一個(gè)平面三角形的三個(gè)內(nèi)角重復(fù)觀測(cè)了358次，由于觀測(cè)值含有誤差，故每次觀測(cè)所得的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次觀測(cè)的真誤差i，然后對(duì)三角形閉合差i進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的四個(gè)特性：（1）有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大；（3）對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；（4）補(bǔ)償性：在相同條件下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無限增加而趨于零，即第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對(duì)稱于y軸。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律。第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差處理方式第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)一、精度精確度是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。對(duì)基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測(cè)值，用精密度來評(píng)價(jià)該組觀測(cè)值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡(jiǎn)稱精度。二、中誤差某觀測(cè)值真值X已知；（設(shè)在相同觀測(cè)條件下，對(duì)任一個(gè)未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為、、，n個(gè)觀測(cè)值的真誤差、、。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測(cè)值中較大誤差的影響，通常是以各個(gè)真誤差的平方和的平均值再開方作為評(píng)定該組每一觀測(cè)值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差某觀測(cè)值真值X已知；（設(shè)在相同觀測(cè)條件下，對(duì)任一個(gè)未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為、、，n個(gè)觀測(cè)值的真誤差、、。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測(cè)值中較大誤差的影響，通常是以各個(gè)真誤差的平方和的平均值再開方作為評(píng)定該組每一觀測(cè)值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即m稱為中誤差，m小精度高；m大精度低。n－觀測(cè)值個(gè)數(shù)

真誤差第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差例:設(shè)有甲、乙兩個(gè)小組，對(duì)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9次觀測(cè)，分別求得其真誤差為：甲組：乙組：試比較這兩組觀測(cè)值的中誤差。解：說明乙組的觀測(cè)精度比甲組高。第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-2衡量精度的指標(biāo)四、相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差)

—中誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。例：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計(jì)算S1、S2的相對(duì)誤差。解：K2<K1，所以距離S2精度較高。第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為x：第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差二、觀測(cè)值改正數(shù)未知量的最或是值x與觀測(cè)值li之差稱為觀測(cè)值改正數(shù)vi，即第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-3算術(shù)平均值及其中誤差四、算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值的中誤差Mx，可由下式計(jì)算:第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律定義：表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。?如何由觀測(cè)值精度評(píng)定觀測(cè)值函數(shù)精度第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)：(a)為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差對(duì)(a)全微分：由于和是一個(gè)很小的量，可代替上式中的和：(b)(c)第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(e)(f)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：(g)第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差由偶然誤差的抵償性知：(g)(h)第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(h)(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：1.列出函數(shù)式；2.對(duì)函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差

中誤差傳播公式

函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應(yīng)用例1：在1：500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離，其中誤差，求該兩點(diǎn)間的地面水平距離D的值及其中誤差。解:第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應(yīng)用例2：設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中αβ，兩個(gè)角，測(cè)角中誤差分別為，，試求角的中誤差。解：第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-4誤差傳播定律二、誤差傳播定律的應(yīng)用例3：試推導(dǎo)出算術(shù)平均值中誤差的公式：解：第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值一、權(quán)定義：在計(jì)算不同精度觀測(cè)值的最或然值時(shí)，精度高的觀測(cè)值在其中占的“比重”大一些，而精度低的觀測(cè)值在其中占的“比重”小一些。這里，這個(gè)“比重”就反映了觀測(cè)的精度?！氨戎亍笨梢杂脭?shù)值表示，在測(cè)量工作中，稱這個(gè)數(shù)值為觀測(cè)值的“權(quán)”。定義公式：設(shè)以Pi表示觀測(cè)值li的權(quán)，則權(quán)的定義公式為：第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值一、權(quán)μ是權(quán)等于1的觀測(cè)值的中誤差，通常稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，權(quán)為1的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值。為單位權(quán)觀測(cè)值的中誤差，簡(jiǎn)稱為單位權(quán)中誤差。權(quán)與中誤差的平方成反比，即精度愈高，權(quán)愈大。第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值二、權(quán)的性質(zhì)（1）權(quán)是相對(duì)性數(shù)值，表示觀測(cè)值的相對(duì)精度。（2）權(quán)與中誤差平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表示觀測(cè)值越可靠，精度越高。（3）權(quán)始終取正號(hào)。（4）對(duì)于單一觀測(cè)值而言，權(quán)無意義。（5）權(quán)的大小隨的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變。（6）在同一個(gè)問題中只能選定一個(gè)li值，不能同時(shí)選用幾個(gè)不同的μ值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值三、測(cè)量中常用的確權(quán)方法1．同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為m，n次同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的中誤差。則一次觀測(cè)值的權(quán)為：算術(shù)平均值的權(quán)為：第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值三、測(cè)量中常用的確權(quán)方法1．同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán)對(duì)于中誤差為mi的觀測(cè)值（或觀測(cè)值的函數(shù)），其權(quán)Pi為:則相應(yīng)的中誤差的另一表示式可寫為:第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值三、測(cè)量中常用的確權(quán)方法2．權(quán)在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用設(shè)每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測(cè)站數(shù)的水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的中誤差為：取c個(gè)測(cè)站的高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即則各水準(zhǔn)路線的權(quán)為第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§6-5權(quán)及加權(quán)平均值三、測(cè)量中常用的確權(quán)方法3．權(quán)在距離丈量工作中的應(yīng)用設(shè)單位長(zhǎng)度（一公里）的丈量中誤差為m，則長(zhǎng)度為s公里的丈量中誤差為。取長(zhǎng)度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即，則得距