(典型題)2023高考數學二輪復習 知識點總結 橢圓雙曲線拋物線

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橢圓、雙曲線、拋物線

高考對本節(jié)知識的考察主要有以下兩種形式：1.以選擇、填空的形式考察，主要考察圓錐曲線的標準方程、性質(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關系，突出考察基礎知識、基本技能，屬于基礎題.2.以解答題的形式考察，主要考察圓錐曲線的定義、性質及標準方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關系，往往在知識的交匯點處命題，有時以探究的形式出現(xiàn)，有時以證明題的形式出現(xiàn)．該部分題目多數為綜合性問題，考察學生分析問題、解決問題的能力，綜合運用知識的能力等，屬于中、高檔題，一般難度較大．

圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質

考點一圓錐曲線的定義與標準方程

x2y2y22

例1(1)1和雙曲線－x＝1的公共焦點分別為F1、F2，P為這兩條曲線的

2m3

一個交點，則|PF1||PF2|的值等于________．

(2)已知直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點．若|FA|＝2|FB|，則k＝________.22

答案(1)3(2)

3

解析(1)焦點坐標為(0，2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根據橢圓與雙曲線的定義可得|PF1|＋|PF2|＝6，||PF1|－|PF2||＝23，兩式平方相減得4|PF1||PF2|＝43，所以|PF1||PF2|＝3.

(2)方法一拋物線C：y＝8x的準線為l：x＝－2，直線y＝k(x＋2)(k＞0)恒過定點

2

2

P(－2,0)．

如圖，過A、B分別作AM⊥l于點M，

BN⊥l于點N.

由|FA|＝2|FB|，則|AM|＝2|BN|，點B為AP的中點．1

連接OB，則|OB|＝|AF|，

2∴|OB|＝|BF|，點B的橫坐標為1，故點B的坐標為(1,22)．2－022

∴k＝1－－23

方法二如圖，由圖可知，BB′＝BF，AA′＝AF，又|AF|＝2|BF|，∴

|BC||BB′|1，|AC||AA′|2

即B是AC的中點．

2xB＝xA－2，∴2yB＝y(tǒng)AyA＝

8xA，2yB＝8xB，

2

與

聯(lián)立可得A2)，B(1,22)．2－222

∴kAB＝＝4－13

(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：譬如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等的轉化．(2)注意數形結合，提倡畫出合理草圖．

x2y2322

(1)(2023山東)已知橢圓C：221(ab0)的離心率為雙曲線x－y＝1的漸

ab2

近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為

2

B.D.

()

A.＋＝1

82C.

＋1164

x2y2x2

＋＝1126＋＝1205

x2x2

y2y2

y2

(2)如圖，過拋物線y＝2px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為

()

A．y＝9xC．y＝3x

22

B．y＝6xD．y3x

2

2

答案(1)D(2)C

3ca－b3解析(1)∵橢圓的離心率為，∴＝

2aa2∴a＝2b.∴橢圓方程為x＋4y＝4b.

∵雙曲線x－y＝1的漸近線方程為xy＝0，

∴漸近線xy＝0與橢圓x＋4y＝4b在第一象限的交點為∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為∴a＝4b＝20.

∴橢圓C的方程為＋＝1.

205

(2)如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知，|AF|＝|AA

1

|，|BF|＝|BB1|，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2525

bb，

55

2525

bb＝4，∴b2＝5，55

x2y2

∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30，∴∠AFx＝60.連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點，

1132

設l交x軸于N，則|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝AF|，即p＝，∴拋物線方程為y＝3x，

222應選C.

考點二圓錐曲線的幾何性質

x2y2

例2(1)(2023遼寧)已知橢圓C2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相

ab

4

交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝則C的離心率為()

53

A.5

5

B.7

4

C.5

6D.7

x2y2

(2)已知雙曲線2－21(a0，b0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支

ab

上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率e的最大值為________．5

答案(1)B(2)

3

解析(1)在△ABF中，由余弦定理得|AF|＝|AB|＋|BF|－2|AB||BF|cos∠ABF，∴|AF|＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，從而|AB|＝|AF|＋|BF|，則AF⊥BF.1

∴c＝|OF||AB|＝5，

2

利用橢圓的對稱性，設F′為右焦點，則|BF′|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.

2

2

2

22

2

2

c5

因此橢圓的離心率e＝a7

(2)設∠F1PF2＝θ，

|PF1|－|PF2|＝2a，由|PF1|＝4|PF2|

8

|PF|，3得2

|PF|，3

12

2

2

17a－9c1792

由余弦定理得cosθ＝.8a88

1792

∵θ∈(0,180]，∴cosθ∈[－1,1)，－1≤－e1，

885

又e1，∴1e≤.

3

解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式．建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等．

(1)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且BF＝2FD，則C的離心率為________．

→→

x2y2a222

(2)22＝1(a0，b0)的左焦點F作圓x＋y＝E，延長

ab4FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為________．

答案(1)

310(2)32

解析(1)設橢圓C的焦點在x軸上，如圖，B(0，b)，

F(c,0)，D(xD，yD)，

則BF＝(c，－b)，

→

→

FD＝(xD－c，yD)，

∵BF＝2FD，∴

c＝2

→→

xD－c，

－b＝2yD，

3cx＝，2∴b

y＝－.2

DD

2

又∵點D在橢圓C上，

∴

3c2－b222

a

＋

b

132

＝1，即ee＝33

(2)設c＝a＋b，雙曲線的右焦點為F′.則|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c.∵E為PF的中點，O為FF′的中點，∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|.∵OE⊥PF，|OE|＝，

2

2

a

∴PF⊥PF′，|PF′|＝a，∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a.∵|PF|＋|PF′|＝|FF′|，∴9a＋a＝4c∴雙曲線的離心率為

2

2

2

2

2

2

ca10.2

102

考點三直線與圓錐曲線的位置關系

x2y22

例3已知橢圓C：2＋21(ab0)的離心率e＝F為橢

ab2

圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢→→

圓的上頂點，且滿足MFFB＝2－1.(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線l，當直線l交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

解(1)根據題意得，F(xiàn)(c,0)(c0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)，→→

∴MF＝(c，－b)，F(xiàn)B＝(a－c,0)，→→2

∴MFFB＝ac－c＝2－1.又e＝2

ca222

，∴a2c2c－c2－1，2

2

2

∴c＝1，a＝2，b＝1，∴橢圓C的方程為＋y＝1.

2(2)假設存在滿足條件的直線l.∵kMF＝－1，且MF⊥l，∴kl＝1.

設直線l的方程為y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x2

2

y＝x＋m，2由x2

＋y＝12

2

消去y得3x＋4mx＋2m－2＝0，則有Δ＝16m－12(2m－2)0，即m3，4m2m－2又x1＋x2＝－，x1x2，

33

∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋

m

2

2

2

2

2

2

2m－24mm－22＝m333

又F為△MPQ的垂心，連接PF，則PF⊥MQ，→→

∴PFMQ＝0，

→→

又PF＝(1－x1，－y1)，MQ＝(x2，y2－1)，→→

∴PFMQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y242m－2m－2＋m－

333

2

2

222

m4122

＝－m－＋m＋m－4)

333

1

m＋4)(m－1)＝0，

34

∴m＝－或m＝1(舍去)，

34

經檢驗m＝－符合條件，

3

∴存在滿足條件的直線l，其方程為3x－3y－4＝0.

(1)對于弦中點問題常用“根與系數的關系〞或“點差法〞求解，在使用根與系數的關系時，要注意使用條件Δ≥0，在用“點差法〞時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．(2)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．

(2023北京)已知A，B，C是橢圓W：＋y＝1上的三個點，O是坐標原點．

4(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．解(1)由橢圓W：＋y＝1，知B(2,0)

4∴線段OB的垂直平分線x＝1.在菱形OABC中，AC⊥OB，

32

將x＝1＋y＝1，得y＝42∴|AC|＝|y2－y1|3.

11

因此菱形的面積S＝OB||AC|3＝3.

22

x2

2

x2

2

x2

(2)假設四邊形OABC為菱形．

因點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

x＋4y＝4，由y＝kx＋m

2

2

2

2

2

消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0.設A(x1，y1)，C(x2，y2)，則

x1＋x2

24kmy1＋y2x1＋x2m＝－＝k＋m＝2，2.

1＋4k221＋4k

∴線段AC中點M－

4kmm，

1＋4k1＋4k

1

∵M為AC和OB交點，∴kOB＝－.

4k11又k－＝－1，44k∴AC與OB不垂直．

故OABC不是菱形，這與假設矛盾．綜上，四邊形OABC不是菱形．

1．對涉及圓錐曲線上點到焦點距離或焦點弦問題，恰選中用定義解題，會效果明顯，定義

中的定值是標準方程的基礎．

2．橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax＋By＝1，其中A、B是不等的常數，AB0時，

表示焦點在y軸上的橢圓；BA0時，表示焦點在x軸上的橢圓；AB0時表示雙曲線．3．求雙曲線、橢圓的離心率的方法：方法一：直接求出a，c，計算e＝；方法二：根據

已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c4．通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通

2b

徑長為2p，過拋物線焦點的弦中通

2

2

2

ca

ca

a

徑最短．

橢圓上點到焦點的最長距離為a＋c，最短距離為a－c.5．拋物線焦點弦性質：

已知AB是拋物線y＝2px(p0)的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

4

2

2

p2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α為弦AB的傾斜角)；

sinα(3)S△AOB＝

2sinα112(4)；|FA||FB|p

(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

p2

x2y2

1．已知點F是雙曲線2－2＝1(a0，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F

ab

且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是A．(1，＋∞)C．(1,1＋2)答案B

解析由AB⊥x軸，可知△ABE為等腰三角形，又△ABE是銳角三角形，所以∠AEB為

()

B．(1,2)D．(2,1＋2)

b22222

銳角，即∠AEF45，于是|AF||EF|，a＋c，于是c－aa＋ac，即e－e－20，

a

解得－1e2.又雙曲線的離心率e1，從而1e2.

x2y212

2．設橢圓22＝1(ab0)的離心率為e＝，右焦點為F(c,0)，方程ax＋bx－c＝0的兩

ab2

個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2)

()

2

2

A．必在圓x＋y＝2內C．必在圓x＋y＝2外答案A

2

2

B．必在圓x＋y＝2上D．以上三種情形都有可能

22

解析∵x1＋x2x1x2b

aca

b22cb2＋2ac

∴x＋x＝(x1＋x2)－2x1x2＝2＋＝aaa2

2

1

22

2

c11∵e，∴c＝a，

a22

12322222

∴b＝a－c＝a－a＝.

24

321＋2a42722

∴x1＋x2＝2.a4∴P(x1，x2)在圓x＋y＝2內．

2

2

(推薦時間：70分鐘)

一、選擇題

1．(2023課標全國Ⅱ)設拋物線C：y＝2px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若

以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為

()

2

2

2

A．y＝4x或y＝8xC．y＝4x或y＝16x答案C

2

2

B．y＝2x或y＝8xD．y＝2x或y＝16x

2

2

22

解析由題意知：F0，拋物線的準線方程為xxM＝5

22

p5yM52yM225

－，設以MF為直徑的圓的圓心為，，所以圓的方程為x＋y－222224

由于圓過點(0,2)，所以yM＝4，又由于點M在C上，所以16＝2p5－，解得p＝2或

2

pp

p

p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，應選C.

2．與橢圓＝1共焦點，離心率互為倒數的雙曲線方程是

1216

A．y1

33x3y

C.148答案A

解析橢圓＋1的離心率為

1216

2

2

2

x2y2

()

x2

B.－x＝133y3x

D.＝148

2

2

y2

2

x2y2

16－121

＝且焦點為(0，2)，所以所求雙曲線的216

2222

焦點為(0，2)且離心率為2，所以c＝2，＝2得a＝1，b＝c－a＝3，故所求雙曲

a

線方程是y－＝1.

3

3．(2023江西)已知點A(2,0)，拋物線C：x＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交

2

2

x2

于點M，與其準線相交于點N，則|FM|∶|MN|等于A5B5D．1∶3答案C

()

解析由拋物線定義知M到F的距離等于M到準線l的距離MH.即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|＝|FO|∶|AF|＝1∶5.

x2y2222

4．2－21(a0，b0)的右焦點F，作圓x＋y＝a的切線FM交y軸于點P，切

ab

→→→

圓于點M,2OM＝OF＋OP，則雙曲線的離心率是A.2答案A

解析由已知條件知，點M為直三角形OFP斜邊PF的中點，故OF2OM，即c＝2a，2.

12x2

5．(2023山東)拋物線C1：y＝x(p0)的焦點與雙曲線C2－y＝1的右焦點的連線

2p3

交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p等于()A.3

16

B.3

8

23C.

3

D.43

3

2

()

B.3C．2D.5

答案D

解析拋物線C1的標準方程為x＝2py，其焦點F為0，，雙曲線C2的右焦點F′為

2(2,0)，漸近線方程為y＝

3x.3

2

p1333p

由y′＝x得x＝，故Mp，.

p33633

由F、F′、M三點共線得p＝3

x2y2→→

6．橢圓M221(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且PF1PF

ab

2

的最大值的取值范圍是[c3c]，其中c＝a－b，則橢圓M的離心率e的取值范圍是

()

2,222

11

A．42C．2

，1)

2

12B．]

221

D．1)

2

答案B

解析設P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，→→

則PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，→

PF1PF2＝x2＋y2－c2.

又x＋y可看作P(x，y)到原點的距離的平方，→→2222

所以(x＋y)max＝a，所以(PF2PF2)max＝b，12122222

所以c≤b＝a－c≤3c，即≤e

4212

e≤應選B.

22

2

2

→

二、填空題

x2y2

7．(2023XX)在平面直角坐標系xOy2＝1的離心率為5，則m

mm＋4

的值為________．答案2

解析建立關于m的方程求解．∵c＝m＋m＋4，

2

2

c2m＋m2＋4∴e＝2＝＝5，

am

2

∴m－4m＋4＝0，∴m＝2.

2

x2y2

8．(2023福建)橢圓Г：＋＝1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直

ab

線y＝3(x＋c)與橢圓Г的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．答案

3－1

解析由直線方程為y3(x＋c)，知∠MF1F2＝60，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30，

MF1⊥MF2，

所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a.即e＝

3－1.

ca

9．(2023遼寧)已知F為雙曲線C－1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等

916

于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．答案44

解析由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴點A(5,0)是雙曲線C的右焦點，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，

由雙曲線定義，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周長為

|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.

10．已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)＋y＝1和圓(x－3)＋y＝4

2516

上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________．答案7

解析由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.三、解答題

x2y2

x2y2

2222

x2y2

11．(2023課標全國Ⅱ)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：2＋21(ab0)右焦點的直

ab

1

線x＋y－3＝0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為2(1)求M的方程；

(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

x2y211

2＋2＝1abx2y222

＋＝1ab

①②

x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2①－②，得＝0.22

ab

由于

y1－y2

1，設P(x0，y0)，x1－x2

1

由于P為AB的中點，且OP的斜率為，

211

所以y0＝x0，即y1＋y2＝x1＋x2)．

22

所以可以解得a＝2b，即a＝2(a－c)，即a＝2c，又由于c＝3，所以a＝6，所以M的方程為1.

63

(2)由于CD⊥AB，直線AB方程為x＋y3＝0，所以設直線CD方程為y＝x＋m，將x＋y－3＝0代入＋＝1得：

633x－3x＝0，即A(03)，B46

所以可得|AB|＝；

3將y＝x＋m代入1得：

633x＋4mx＋2m－6＝0，設C(x3，y3)，D(x4，y4)，則|CD|＝22

2

2

2

2

2222222

x2y2

x2y2

343

，－，

33

x2y2

x3＋x42

－4x3x4＝

222

18－2m，3

又由于Δ＝16m－12(2m－6)0，即－3m3，

1

所以當m＝0時，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為AB||CD|＝

286

.3

2

x2y2

12．(2023江西)如圖，橢圓C：＋1(ab0)經過點

ab

的方程為x＝4.

P1，，離心率el

32

12

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA、

PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3.問：是否存在常數λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，

求λ的值；若不存在，說明理由．

xy3解(1)由P1，在橢圓221上，得ab2

22

1

a

2＋

9

4b

2＝1，又e＝ca12

，得a2＝4c2，b2＝3c2

，

②代入①得，c2

＝1，a2

＝4，b2

＝3.x2＋y2

43

＝1.

(2)設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y＝kx－1由22x4＋y

3

＝1

得，

(4k2

＋3)x2

－8k2

x＋4k2

－12＝0，2

2

x8k4k－121＋x24k2＋3，x1x2＝4k2＋3.

y31－

k2y3

2－2

1＋k2＝xx

1－12－1

kx1－1－

32kx2－1－3＝

2

x＋

1－1

x2－1

＝2k－312x＋11－1x2－1

＝2k－3x1＋x2－22x

1x2－x1＋x2＋18k

2

＝2k－3

4k2

＋3224k2－122

4k2

＋38k

4k2＋3＋1＝2k－1.

又將x＝4代入y＝k(x－1)得M(4,3k)，3k－

3∴k＝21

33k－2

∴k1＋k2＝2k3.

故存在常數λ＝2符合題意．

①②