漸進(jìn)法及其他算法簡(jiǎn)述

漸進(jìn)法及其他算法簡(jiǎn)述第1頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8-1力矩分配法的基本概念1名詞解釋（1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：

表示桿端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力，在數(shù)值上等于使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)需要施加的力矩。1）遠(yuǎn)端支撐條件不同時(shí)，SAB的數(shù)值也不同。2）SAB

是施力端沒(méi)有任何線位移時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。第2頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）分配系數(shù)由轉(zhuǎn)動(dòng)剛度定義，得考慮A點(diǎn)彎矩平衡，得第3頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日統(tǒng)一用下列公式——分配系數(shù)很明顯■A端彎矩與各桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度成正比?！隽ε糓，按各桿的分配系數(shù)分配于各桿的A端。第4頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日遠(yuǎn)端滑動(dòng)遠(yuǎn)端鉸支■遠(yuǎn)端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。（3）傳遞系數(shù)由位移法中的剛度方程得傳遞系數(shù)遠(yuǎn)端固定第5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2基本運(yùn)算（單結(jié)點(diǎn)的力矩分配）計(jì)算FP作用下的桿端彎矩。（1）在結(jié)點(diǎn)B加一個(gè)阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，阻止B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)?！黾s束力矩等于固端彎矩之和。第6頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）在結(jié)點(diǎn)B加上一個(gè)力偶-MB。（3）兩種情況疊加，得到實(shí)際桿端彎矩。

總結(jié)

■先在剛結(jié)點(diǎn)B上加阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，把連續(xù)梁分為單跨梁，求出桿端彎矩。結(jié)點(diǎn)B各桿固端彎矩之和即為約束力矩MB。

■去掉約束，求出各桿B端新產(chǎn)生的分配力矩和遠(yuǎn)端新產(chǎn)生的傳遞彎矩。

■疊加各桿端的力矩就得到實(shí)際的桿端彎矩。第7頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-1試用力矩分配法作彎矩圖。解（1）先在結(jié)點(diǎn)B加上約束，計(jì)算固端彎矩和約束力矩。第8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）放松結(jié)點(diǎn)B

在B結(jié)點(diǎn)上加一個(gè)外力偶-60kNm。然后，進(jìn)行分配和傳遞。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分配彎矩分配系數(shù)傳遞彎矩第9頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）疊加得到最后的桿端彎矩第10頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8–2多結(jié)點(diǎn)的力矩分配

第一步，在結(jié)點(diǎn)B、C加約束，阻止結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。

第二步，去掉結(jié)點(diǎn)B的約束（結(jié)點(diǎn)C仍?shī)A緊）。

第三步，重新夾緊結(jié)點(diǎn)B

，然后去掉結(jié)點(diǎn)C的約束。

■重復(fù)第二步和第三步，連續(xù)梁的內(nèi)力和變形很快達(dá)到實(shí)際狀態(tài)。

■每放松一次結(jié)點(diǎn)就相當(dāng)于進(jìn)行一次單結(jié)點(diǎn)的分配與傳遞運(yùn)算。第11頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-2作連續(xù)梁的彎矩圖。解（1）分配系數(shù)（2）固端彎矩第12頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）放松結(jié)點(diǎn)C（結(jié)點(diǎn)B仍被鎖住）（4）重新鎖住結(jié)點(diǎn)C，放松結(jié)點(diǎn)B（5）進(jìn)行第二個(gè)循環(huán)（6）進(jìn)行第三個(gè)循環(huán)（7）將固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩相加。（8）根據(jù)桿端彎矩畫(huà)M圖第13頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例8-3作圖示剛架的彎矩圖、剪力圖和軸力圖。

解（1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和分配系數(shù)（2）固端彎矩EI0=1（3）力矩分配按C、B順序分配兩輪。第14頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日■放松結(jié)點(diǎn)的順序不影響最后的結(jié)果。■先放松結(jié)點(diǎn)約束力矩大的結(jié)點(diǎn)，收斂速度快。第15頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（4）內(nèi)力圖▲由桿端彎矩作彎矩圖；▲由桿件的平衡條件作剪力圖；▲由結(jié)點(diǎn)的平衡條件作軸力圖；第16頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-4作圖示結(jié)構(gòu)的M圖。解（1）鎖住B、C兩點(diǎn)（2）放松C結(jié)點(diǎn)

（3）C結(jié)點(diǎn)不再鎖住，保持為鉸支端。放松結(jié)點(diǎn)B只分配、不傳遞。（4）畫(huà)彎矩圖分配、傳遞。第17頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日力矩分配法迭代法1計(jì)算的是桿端彎矩新添的增量。1計(jì)算的是桿端彎矩全量的新一輪近似解。不同點(diǎn)相同點(diǎn)3都是以位移法為基礎(chǔ)的漸進(jìn)解法；

4以桿端彎矩為計(jì)算對(duì)象；

5彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定相同；

6都是線性方程組迭代法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用；

7都是從開(kāi)始的近似狀態(tài)，逐步調(diào)整到真實(shí)狀態(tài)2一般只用于解無(wú)側(cè)移剛架。2可以解無(wú)側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架。第18頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日■作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載，都可分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載。§8–3對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算■對(duì)稱荷載作用下，彎矩圖和軸力圖是對(duì)稱，剪力圖是反對(duì)稱的?！龇磳?duì)稱荷載作用下，彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱，剪力圖是對(duì)稱的?！隼眠@些性質(zhì)，在對(duì)稱結(jié)構(gòu)中可取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。第19頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-5作M圖。解▲橫梁的線剛度有變化，是原來(lái)的二倍?！鴻M梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度有變化，是一倍的線剛度?！碅、C依次放松結(jié)點(diǎn)?！潭藦澗夭蛔?。第20頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第21頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例8-6試作矩形襯砌在上部土壓力作用下的彎矩圖。第22頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日討論

（1）柱子剛度比橫梁剛度大很多。

當(dāng)柱子與橫梁的線剛度比>20時(shí)，橫梁即可按固定端算，此時(shí)，梁端彎矩的誤差在5%以內(nèi)。（2）柱子剛度比橫梁剛度小很多。

當(dāng)柱子與橫梁的線剛度比<20時(shí)，橫梁即可按鉸支端算，此時(shí)，橫梁跨中彎矩的誤差在5%以內(nèi)。第23頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8–4無(wú)剪力分配法1無(wú)剪力分配法的應(yīng)用條件兩類桿件

▲兩端無(wú)相對(duì)線位移的桿件（橫梁）。

▲剪力靜定桿件（柱子）。無(wú)剪力分配法的應(yīng)用條件剛架中只包含桿端無(wú)相對(duì)線位移桿件和剪力靜定桿件。第24頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2剪力靜定桿件的固端彎矩

無(wú)剪力分配法計(jì)算剛架的步驟與力矩分配法相同，但固端彎矩、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和分配系數(shù)的求法不同鎖住結(jié)點(diǎn)（只阻止結(jié)點(diǎn)的角位移，不阻止線位移）。上邊滑動(dòng)下邊固定

（1）根據(jù)靜力條件求出桿端剪力；（2）將剪力看成桿端荷載，按該端滑動(dòng)、另端固定的桿件進(jìn)行計(jì)算。第25頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3零剪力桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)放松結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)處施加一反向的約束力矩。結(jié)點(diǎn)變形：有轉(zhuǎn)角、有側(cè)移桿件受力：剪力為零，彎矩為常數(shù)若桿端發(fā)生轉(zhuǎn)角A，則故第26頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日放松B結(jié)點(diǎn)時(shí)，AB、BC桿均為零剪力桿，故

放松結(jié)點(diǎn)時(shí)，剛架中靜定剪力桿都是在零剪力的條件下，得到分配彎矩和傳遞彎矩的，故稱無(wú)剪力分配法。第27頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-7試作剛架的彎矩圖解（1）固端彎矩（2）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和分配系數(shù)第28頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第29頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-8作圖示剛架的彎矩圖解固端彎矩分配系數(shù)第30頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第31頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8–5力矩分配法與位移法的聯(lián)合應(yīng)用（1）基本體系只取線位移作基本未知量。（2）位移法方程（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)，解方程用力矩分配法求（4）第32頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-9求剛架內(nèi)力。解

（1）基本體系：取D點(diǎn)水平線位移作為基本未知量

（2）位移法方程（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)▲作?1=1時(shí)的彎矩圖

因?yàn)閭?cè)移是已知的，可用力矩分配法計(jì)算。第33頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日▲作MP圖

因?yàn)闆](méi)有側(cè)移，可用力矩分配法計(jì)算。（4）作彎矩圖第34頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日若有兩個(gè)線位移時(shí)，計(jì)算步驟如下：（1）基本體系：取兩個(gè)線位移作為基本未知量。（2）位移法基本方程：（3）求系數(shù)和自由項(xiàng)，解方程▲用力矩分配法作出?1=1時(shí)的彎矩圖，并求出▲用力矩分配法作出?2=1時(shí)的彎矩圖，并求出▲用力矩分配法作出荷載時(shí)的彎矩圖，并求出（4）作彎矩圖第35頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8–6近似法1忽略剪力和軸力引起的變形▲計(jì)算梁和剛架的位移時(shí)，經(jīng)常略去剪力和軸力的產(chǎn)生的變形，計(jì)算拱的位移時(shí)，也常略去剪切變形?！o定梁和剛架的內(nèi)力計(jì)算，由于只考慮彎曲變形而大為簡(jiǎn)化。通常在位移法、力矩分配法中都采用這個(gè)假定。否則，計(jì)算將極為復(fù)雜?！?jì)算時(shí)忽略軸向變形和剪切變形，實(shí)際上就是假設(shè)桿件的抗拉和抗剪剛度無(wú)窮大?！诟邔咏ㄖ?，軸力引起的變形將不能忽略，在截面尺寸大、桿長(zhǎng)很小的粗桿中，剪力引起的變形也不容忽視。第36頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2在豎向荷載作用下忽略剛架的側(cè)移▲有結(jié)點(diǎn)線位移的剛架，雖然在豎向荷載作用下也可以引起側(cè)移，但數(shù)值一般比較小?！謱佑?jì)算法假定

第一：忽略側(cè)移的影響，用力矩分配法計(jì)算；

第二：忽略每層梁的豎向荷載對(duì)其他各層的影響，把多層剛架分解成一層一層地單獨(dú)計(jì)算。

荷載對(duì)其它層的影響要經(jīng)過(guò)分配——傳遞——再分配的過(guò)程，因而可以忽略

因?yàn)榧俣ㄖ倪h(yuǎn)端為固定端，而實(shí)際各柱都是彈性固定端，因此將上層各柱的線剛度乘以折減系數(shù)0.9，傳遞系數(shù)由1/2變?yōu)?/3。

分層計(jì)算的結(jié)果在結(jié)點(diǎn)上是不平衡的，但誤差一般不會(huì)很大。如需要，可對(duì)結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩在進(jìn)行一次分配。第37頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3在水平荷載作用下忽略剛架的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角▲如果梁的剛度與柱子的線剛度大很多，在水平荷載作用線位移是主要位移，轉(zhuǎn)角位移可以忽略。▲反彎點(diǎn)法假定：將橫梁簡(jiǎn)化為剛性梁。各柱的剪力為k1、k2——柱子的側(cè)移剛度。第38頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由平衡條件，得

荷載FP按剪力分配系數(shù)分配給各柱剪力分配系數(shù)

利用反彎點(diǎn)在柱子中點(diǎn)的性質(zhì)，可得到柱子兩端彎矩。

注：在多層剛架中，通常將底層反彎點(diǎn)設(shè)在柱子2/3高度處。第39頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8-10作剛架彎矩圖。

解設(shè)柱的反彎點(diǎn)在柱子中點(diǎn)高度處。（1）求各柱的剪力分配系數(shù)頂層底層第40頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）計(jì)算各柱剪力（3）計(jì)算桿端彎矩（以E點(diǎn)為例）第41頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日梁端彎矩：將柱端彎矩之和按梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分配。第42頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§8–7超靜定結(jié)構(gòu)各類解法的比較和合理選用1基本方程直接解法和漸進(jìn)解法的比較基本方程直接解法：力法和位移法。漸進(jìn)解法：力矩分配法和無(wú)剪力分配法。

漸進(jìn)法的每一步都滿足變形協(xié)調(diào)條件，平衡條件則在最后一步在允許誤差內(nèi)得到滿足。2手算方法和計(jì)算機(jī)方法的比較手算方法：用來(lái)理解和掌握結(jié)構(gòu)力學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容；計(jì)算機(jī)方法：用于解決大型結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題。第43頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3超靜定結(jié)構(gòu)中計(jì)算方法的合理選用（1）超靜定桁架

超靜定桁架由于結(jié)點(diǎn)位移多，宜于使用力法。但計(jì)算次應(yīng)力時(shí)，以力矩分配法為宜。（2）超靜定拱