數(shù)學(xué)建模常用方法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)建模常用方法層次分析法

1、問題的提出

例1購物

買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。

下館子，則要依據(jù)館子的飯菜質(zhì)量、區(qū)位條件、檔次、飯菜價格、服務(wù)質(zhì)量等方面因素來選擇。例2旅游

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)風(fēng)景、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)個人興趣、工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4科研課題的選擇

由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。

解決上述決策問題時，要考慮的因素有多有少，有大有小，并且各個因素對最終的選擇會有不同的影響。對于這類問題一般會采用層次分析法。

2、層次分析法的一般步驟—以下屬題目為例，介紹層次分析法的一般解題步驟：

題目介紹：資金分派決策

某個工廠可以使用一筆企業(yè)留成利潤，由廠領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會決定如何使用，可以選擇的方案有：發(fā)獎金、擴建福利設(shè)施和引進新的設(shè)備，為了進一步促進企業(yè)的發(fā)展，如何合理的使用這筆利潤？

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型：

一般可分為三個層次：最上層為目標(biāo)層，尋常只有一個因素；中間層尋常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層，可以有一個或幾個因素，而當(dāng)準(zhǔn)則或指標(biāo)較多時，又可以根據(jù)實際狀況進一步分解出子準(zhǔn)則層；最下層為方案或?qū)ο蠡虼胧印?/p>

對于該題目，同理可以分為三層：

通過上圖可以很明白的看到三層之間的關(guān)系：

準(zhǔn)則層即是解決“怎樣合理使用企業(yè)利潤〞，而措施層是解決準(zhǔn)則層中“如何調(diào)動職工積極性〞“如何提高企業(yè)技術(shù)水平〞“改善職工生活〞的問題。

若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。還可以建立子層次。上圖中，準(zhǔn)則層和措施層就是不完全層次結(jié)構(gòu)，例如，改進新設(shè)備對改善職工生活并沒有影響。（2）構(gòu)成對比矩陣：

從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于影響上一層每個因素的同一層的逐個因素，用成對比較法和1-9比較尺度矩陣構(gòu)造成對比較矩陣，直到最下層。也叫正互反矩陣。對于此題目，可以構(gòu)造如下對比矩陣：準(zhǔn)則層相對于目標(biāo)層的對比矩陣如下：目標(biāo)層-準(zhǔn)則層：

ZC1C2C3C1153C21/511/3C31/331a12=1/5,表示調(diào)動職工積極性C1與提高企業(yè)技術(shù)水平C2對合理利用企業(yè)利潤的重要

性之比為1：5，a23=3，表示提高企業(yè)技術(shù)水平C2與C3改善職工生活對合理利用企業(yè)利潤的重要性之比為3：1.

C1P1P2P111/3P231

C2P2P3P211/5P351

C3P1P2P111/2P221備注：其中各元素的意義與上述類似。

另外，比例尺度的確定，aij取1-9的9個等級，而aji取aij的倒數(shù)，具體見下表：

尺度13579含義第i個因素與第j個因素的影響一致第i個因素比第j個因素的影響稍強第i個因素比第j個因素的影響強第i個因素比第j個因素的影響明顯地強第i個因素比第j個因素的影響絕對地強2,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。

假使判斷矩陣的元素具有傳遞性，即滿足

aikakj?aij，則稱矩陣為一致性矩陣。

（3）相對權(quán)重向量的確定一般有三種方法：1）和法

取判斷矩陣n個向量歸一化后的算術(shù)平均值，近似作為權(quán)重。2）求根法

將矩陣的各列（或行）向量求幾何平均后歸一化，可以近似作為權(quán)重。3）特征根法

該方法是最常用的一種方法：

假定我們已知n只西瓜的重量和為1，每只西瓜的重量分別為W1，

W2，?，Wn。把這些西瓜兩兩比較，很簡單得到表示n只西瓜相對重量關(guān)系的比較矩陣：

A=

=（aij）nxn

顯然aii=1，aij=1/aji，aij=aik/ajk，i、j、k=1，2，?，n

AW=

==nW

即n是A的一個特征根，每只西瓜的重量是A對應(yīng)于特征根n的特征向量的各個分量。

顯然，矩陣A為一致性正互反矩陣，所以，其中，n對應(yīng)的特征向量

T為W??w1,w2,?wn?，即為我們所求的權(quán)重，也就是說，w1,w2,?wn分別是本層中每個元素對上層的影響度。

通過此方法可以求得上述各個矩陣所對應(yīng)的權(quán)重數(shù)值：

（4）層次單排序和一致性檢驗

層次單排序就是指根據(jù)判斷矩陣計算對于上一層某因素而言本層次與之有聯(lián)系的因素的重要性次序的權(quán)值?？梢詺w結(jié)為，求解矩陣的最大特征值和對應(yīng)的特征的向量，即對判斷矩陣B，計算滿足:

BW=?W

max的特征根與特征向量。式中，λmax為B的最大特征根；W為對應(yīng)于λmax的正規(guī)化特征向量；W的分量Wi即是相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。對判斷矩陣一致性檢驗的步驟：

1）、計算一致性指標(biāo)(ConsisteneyIndex)：CI

CI?

?max?nn?1顯然當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時，CI=0，λmax-n越大，CI越大，矩陣的一致性就越差。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均一致性指標(biāo)RI(RandomIndex)進行比較。尋常狀況下，由實際得到的判斷矩陣不一定是一致的，即不一定滿足傳遞性。此時，求得的?max與n越接近，其矩陣的一致性就越強。

2）、查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)：RI對n=1、