第2章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律3講

穩(wěn)恒磁場(chǎng)靜電場(chǎng)散度磁通連續(xù)性原理：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線是無(wú)頭無(wú)尾的閉合曲線。高斯定理：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。旋度安培環(huán)路定理：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)、電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)路定理：靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。電介質(zhì)磁介質(zhì)電位移矢量：基本方程：磁化強(qiáng)度：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：基本方程：第二章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律

第三講董亮偉

2.1靜電場(chǎng)

2.2恒定電場(chǎng)

2.3穩(wěn)恒磁場(chǎng)

2.4時(shí)變電磁場(chǎng)

2.5電磁場(chǎng)的能量和能流主要內(nèi)容

本節(jié)內(nèi)容

2.4.1電磁感應(yīng)定律

2.4.2位移電流

2.4.3麥克斯韋方程組

2.4.4電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系

電磁感應(yīng)定律：揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。

位移電流：揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。2.4時(shí)變電磁場(chǎng)2.4.1電磁感應(yīng)定律1831年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即引入場(chǎng)的概念，是法拉第的最富有獨(dú)創(chuàng)性的思想，是艾薩克·牛頓以來(lái)最重要的發(fā)現(xiàn)。邁克爾·法拉第(MichaelFaraday，1791-1867)，英國(guó)著名物理學(xué)家、化學(xué)家。在化學(xué)、電化學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn)。他家境貧寒，未受過(guò)系統(tǒng)的正規(guī)教育，但卻在眾多領(lǐng)域中作出驚人成就，堪稱刻苦勤奮、探索真理、不計(jì)個(gè)人名利的典范。

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過(guò)回路的磁通為

ner

B

CS

dlrr

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為因而有法拉第電磁感應(yīng)定律對(duì)磁場(chǎng)中的任意回路都成立。

感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有

對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律將上式寫為微分形式設(shè)回路靜止，磁通的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起由斯托克斯定理故上式對(duì)任意回路所圍面積都成立，故被積函數(shù)為零上式是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式。位移電流在電磁學(xué)里，位移電流（displacementcurrent）定義為電位移通量對(duì)于時(shí)間的變化率。位移電流的單位與電流的單位相同。如同真實(shí)的電流，位移電流也有一個(gè)伴隨的磁場(chǎng)。但是，位移電流并不是移動(dòng)的電荷所形成的電流；而是電位移通量對(duì)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)。于1861年，詹姆斯·麥克斯韋發(fā)表了一篇論文《論物理力線》，提出位移電流的概念。在這篇論文內(nèi)，他將位移電流項(xiàng)加入了安培定律[1]。修改后的定律，現(xiàn)今稱為麥克斯韋-安培方程。在麥克斯韋的1864年論文《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》內(nèi)，他用這麥克斯韋-安培方程推導(dǎo)出電磁波方程。由于這導(dǎo)引將電學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)聯(lián)結(jié)成一個(gè)統(tǒng)一理論。這創(chuàng)舉已被物理學(xué)術(shù)界公認(rèn)為物理學(xué)史的重大里程碑。位移電流對(duì)于電磁波的存在是基要的。位移電流也可以描述成:電容器充電時(shí),極板間變化的電場(chǎng)被視為等效電流。記作Id。2.4.2位移電流

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問(wèn)題：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？

靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。（恒定磁場(chǎng)）（時(shí)變場(chǎng)）而由時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用

解決辦法：對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng)，故稱“位移電流”。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。位移電流與傳導(dǎo)電流兩者相比，唯一共同點(diǎn)僅在于都可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)，但二者本質(zhì)是不同的：(1)位移電流的本質(zhì)是變化著的電場(chǎng)，而傳導(dǎo)電流則是自由電荷的定向運(yùn)動(dòng)；(2)傳導(dǎo)電流在通過(guò)導(dǎo)體時(shí)會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流則不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱；(3)位移電流也即變化著的電場(chǎng)可以存在于真空、導(dǎo)體、電介質(zhì)中，而傳導(dǎo)電流只能存在于導(dǎo)體中(4)位移電流的磁效應(yīng)服從安培環(huán)路定理。全電流定律——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。

例海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故

例2-4銅的電導(dǎo)率、相對(duì)介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無(wú)線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說(shuō)的無(wú)線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為2.4.3麥克斯韋方程組積分形式穿過(guò)任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。穿過(guò)任意閉合曲面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量恒等于0。電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過(guò)以該閉合曲線為周界的任一曲面的磁通量變化率的負(fù)值。磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過(guò)以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流之和。微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)

靜態(tài)場(chǎng)和恒定場(chǎng)是時(shí)變場(chǎng)的兩種特殊形式。電流連續(xù)性方程可由麥?zhǔn)戏匠虒?dǎo)出。媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為均勻電介質(zhì)：介電常數(shù)ε處處相等，與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)。非均勻電介質(zhì)：ε是空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)。線性電介質(zhì)：介電常數(shù)ε與電場(chǎng)E的大小無(wú)關(guān)。非線性電介質(zhì):ε與電場(chǎng)E的大小有關(guān)。各向同性電介質(zhì)：介電常數(shù)ε與電場(chǎng)E的方向無(wú)關(guān)，ε是標(biāo)量，電位移矢量D

與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E方向相同。各向異性電介質(zhì)：介電常數(shù)ε是張量，電位移矢量D

與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E方向不同。時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開(kāi)輻射源（如天線）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。2.4.4電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場(chǎng)問(wèn)題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用積分形式求解邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。邊界條件的推證（1）電磁場(chǎng)量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即

在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個(gè)包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S，如圖表示?；蚧蛲恚桑?）電磁場(chǎng)量的切向邊界條件

在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2故得或同理得或邊界條件的一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度2.5電磁場(chǎng)的能量和能流電磁場(chǎng)具有能量。其中S是包圍任意空間區(qū)域V的閉合曲面。V為全空間時(shí)：w

就是電磁場(chǎng)的能量密度。電磁場(chǎng)對(duì)電荷做功的總功率電磁場(chǎng)能量的減少率電磁場(chǎng)的能量密度一般情況下：線性各向同性介質(zhì)滿足：則電磁場(chǎng)的能量密度的表達(dá)式為：電磁能量及守恒關(guān)系

進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。

電磁能量守恒關(guān)系：電磁場(chǎng)的能流密度坡印廷定理單位時(shí)間穿過(guò)閉合面s進(jìn)入體積的電磁場(chǎng)能量體積內(nèi)單位時(shí)間電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的增加單位時(shí)間體積內(nèi)電磁場(chǎng)對(duì)電荷做功的總功率坡印廷矢量能流密度矢量（坡印廷矢量）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過(guò)與能量流動(dòng)方向垂直的單位面積的能量，大小為電磁場(chǎng)中某點(diǎn)的功率密度，方向?yàn)樵擖c(diǎn)能量流動(dòng)方向。

進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量坡印廷矢量

定義：

(W/m2

)

的方向

——電磁能量傳輸?shù)姆较颉?/p>

的大小

——通過(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率。

描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量。

物理意義：

例同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線選一圓柱面做高斯定理

例2-5：同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，