的數(shù)列通項公式的求法種

最全的數(shù)列通項公式的求法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項nnnn(注意：求完后一定要考慮合并通項)例2．①已知數(shù)列{a}的前n項和S滿足S=2a+(一1)n,n之1．求數(shù)列{a}的通項公式.nnnnnnnnnn1nnn+1n+2nbaaa是等比數(shù)列，公比為qnn+2n+3nbaan12311baan12311n三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面四、累加(乘)法對于形如a=a+f(n)型或形如a=f(n)a型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫n+1nn+1n出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項公n1n+1nnNan1n+1nn五、取倒(對)數(shù)法a、a=par這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為a=pa+q，再利用待定系數(shù)法nnn+1n求解aa1annc、a=f(n)an解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為a=pa+q。n+1g(n)a+h(n)n+1nn例6.．設(shè)數(shù)列{a}滿足a=2,a=an(n=N),求a.n1n+1a+3nnn1nn一1nnnn12n22n1.已知數(shù)列{a}滿足：a＝3，且a＝3nan－1(n之2，n=N*)n12n2a＋n－1n－1求數(shù)列{a}的通項公式；n2、若數(shù)列的遞推公式為a=3,1=1一2(n=)，則求這個數(shù)列的通項公式。aan+1n4、已知數(shù)列{a}滿足：na=an一1,a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。n3.a+11n5、若數(shù)列{a}中，a=1，a=2ann∈N，求通項a．n1n1a2nn六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+qnn1n(p≠1，pq≠0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p(a+k)n1n與原式比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=q，從而得等比數(shù)列{a+k}。p1naaa1a+1(n≥2)，求數(shù)列{a}的通項公式。n1n2n1n說明：通過對常數(shù)1的分解，進行適當組合，可得等比數(shù)列{a－2}，從而達到解nn1n1nn2、已知數(shù)列a滿足a1，且a3a2，求a．n1n1nnn1nqn1qqnnqn從而化歸為apaq(p、q為常數(shù))型．例10．nn知數(shù)列a滿足a1，a3n2a(n2)求a．解：將a3n2a兩邊同除3n，得an12an1an12an1nn13n3n3n33n1banb2b．令bt2(bt)b2b1tn3nn3n1n3n1n3n13t3．條件可化成b32(b3)，數(shù)列b3是以b3a138為首項，n3n1n133n33n3nab3n3n(8(2)n13)a3n12n2．nn33nn1nn+1nnn1nn_1n(2x=2(x=1所以l2y所以l2y_x=_1解得ly=0，所以an+1+(n+1)=3(an+n)a+x(n+1)2+y(n+1)+c=p(a+xn2+yn+c)，與已知遞推式比較，解出x,y,z.nn1nn_1n八nnn+1ra+hnn+1ra+hnla_xJn2a}滿足性質(zhì)：對于n=n2a}滿足性質(zhì)：對于n=N,a=,且a=3,求{a}的通項公式.n九：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。1+24a)，a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。n11+24a)，a=1，求數(shù)列{a}的通項公式。n1nnn+116n解：令b=1+24a，則a=1(b21)nnn24n故a=1(b21)，代入a=1(1+4a+1+24a)得n+124n+1n+116nnb1)b1)=[1+4(b21)+b]24n+11624nnn+1nnnn+1n+1n+1nn+12n2n+12nn112n2n22n21a=()n+()n+。n3423評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將1+24a的換元為b，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化nnb=b=b+形式，從而可知數(shù)列{b3}為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列{b3}的通項公n+12n2nn式，最后再求出數(shù)列{a}的通項公式。n例18.已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=1+an，求a。n12n+12na=n+1a=n+1123總之，求數(shù)列的通項公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(或等比)數(shù)列，從而利用等差(或等比)數(shù)列的通項公式求其通項。十、雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。n1n1即a+b=1…………(1)nnnnnnnn113nn3n2