2022-2023學年下學期高一數(shù)學期中考試仿真模擬試卷及答案解析

-2023學年下學期高一數(shù)學期中考試仿真模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若純虛數(shù)滿足，則實數(shù)的值為（）A B. C. D.2．在中，，，，則此三角形（）A.無解 B.一解C.兩解 D.解的個數(shù)不確定3．已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.4．平面中兩個向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A.2 B. C. D.-25．圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑．1996年經(jīng)國務(wù)院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A. B. C. D.6．在銳角△ABC中，∠C為最大角，且，則實數(shù)k的取值范圍（）A. B. C. D.7．已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長為（）A. B. C.3 D.8．已知分別為的邊上的點，線段和線段相交于點，若，且，，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽為數(shù)學中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.的共軛復數(shù)為D.已知復數(shù)，，則復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，以下說法中正確的是（）A.若，則B.若，則為鈍角三角形C.若，則符合條件的三角形不存在D.若，則一定是等腰三角形11．在正方體中，如圖M，N分別是正方形，的中心．則下列結(jié)論正確的是（）A.平面與棱的交點是的三等分點B.平面與棱的交點是的中點C.平面與棱的交點是的三等分點D.平面將正方體分成前后兩部分的體積比為12．已知向量，，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.C.，有D.若，，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.14.如圖，地平面上有一根旗桿，為了測得它高度，在地面上取一基線，，在處測得點的仰角，在處測得點的仰角，又測得，則旗桿的高度是________.15.復數(shù)、滿足，，若，則的取值范圍是______.16．如圖正四棱柱中，，，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，點為交線上一動點，則從運動到時，所形成的曲面面積為____________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知，，的夾角是60°，計算（1）計算，；（2）求和的夾角的余弦值.18．已知復數(shù)滿足，的虛部為2，在復平面上所對應的點在第一象限．（1）求；（2）若，在復平面上的對應點分別為，，求．19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE體積．20．在直角梯形中，已知，對角線交于點，點在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點，求的取值范圍．21．江都種植花木，歷史悠久，相傳始于唐代，盛于清代，素有“花木之鄉(xiāng)”之稱，在國內(nèi)外有較高的知名度．某種植園準備將如圖扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半徑為米，圓心角為，動點在扇形的弧上，點在上，且．（1）當米時，求的長；（2）綜合考慮到成本和美觀原因，要使郁金香種植區(qū)的面積盡可能的大；設(shè)，求面積的最大值．22．從①②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答（注：若選擇多個條件，按第一個解答計分）.在中，分別是角的對邊，若__________.（1）求角的大小：（2）若是的中點，，求面積的最大值.（3）若為的外接圓圓心，且，求實數(shù)的值.答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若純虛數(shù)滿足，則實數(shù)的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，則，解得，故選：D.2．在中，，，，則此三角形（）A.無解 B.一解C.兩解 D.解的個數(shù)不確定【答案】C【解析】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C3．已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，是邊長為2的正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.4．平面中兩個向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A.2 B. C. D.-2【答案】B【解析】由題意得：，故在方向上的投影向量為，故選：B5．圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑．1996年經(jīng)國務(wù)院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故選：D6．在銳角△ABC中，∠C為最大角，且，則實數(shù)k的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，所以由正弦定理可得，因為∠C為最大角，所以為最大邊，所以有，因為△ABC是銳角三角形，且∠C為最大角，所以，因此，故選：A7．已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，由球的體積為可得，，解得．因為三棱錐的高為1，所以球心在三棱錐外．如圖，設(shè)點為的外心，則平面．在△中，由，且，得．因為為等邊三角形，所以，所以．故選：．8．已知分別為的邊上的點，線段和線段相交于點，若，且，，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，，所以，，又，，三點共線，所以，化簡得到，，當且僅當時取等號，故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽為數(shù)學中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.的共軛復數(shù)為D.已知復數(shù)，，則復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱【答案】ABC【解析】A選項：，故A正確；B選項：，為純虛數(shù)，故B正確；C選項：，的共軛復數(shù)為，故C正確．D選項：，，所以與實部相等，虛部互為相反數(shù)，故復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實部對稱，故D錯誤．故選：ABC．10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，以下說法中正確的是（）A.若，則B.若，則為鈍角三角形C.若，則符合條件的三角形不存在D.若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若，則，所以由正弦定理可得，故A正確；若，，，則，即，所以角為銳角，即為銳角三角形，故B錯誤；若，，，根據(jù)正弦定理可得所以符合條件的三角形不存在，即C正確；若，則，即,因為,所以或，即或，所以為等腰或直角三角形，故D錯誤.故選：AC11．在正方體中，如圖M，N分別是正方形，的中心．則下列結(jié)論正確的是（）A.平面與棱的交點是的三等分點B.平面與棱的交點是的中點C.平面與棱的交點是的三等分點D.平面將正方體分成前后兩部分的體積比為【答案】ACD【解析】如圖，取的中點，延長，并交于點，連接并延長，設(shè)，，連接并延長交于點，連接，，則四邊形就是平面與正方體的截面，是平面的中心，是中點，，則，可得點是線段靠近點的三等分點，由對稱性知點是線段靠近點的三等分點，點是線段靠近點的三等分點，故A正確，B錯誤，C正確；作出線段的另一個三等分點，作出線段靠近的三等分點，連接，，，，可知．，從而平面將正方體分成兩部分的體積比為，故D正確．故選：ACD．12．已知向量，，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.C.，有D.若，，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，，所以，所以，所以，故A正確；對于B，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以又，則由得，解得，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.【答案】【解析】設(shè)，因為和分別是邊和的中點，可得,又因為，所以，因為，所以，所以.故答案為：.14.如圖，地平面上有一根旗桿，為了測得它高度，在地面上取一基線，，在處測得點的仰角，在處測得點的仰角，又測得，則旗桿的高度是________.【答案】【解析】在中，；在中，；在中，由余弦定理得：，即，，即旗桿的高度是.故答案為：.15.復數(shù)、滿足，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，則，所以，，，故.故答案為：.16．如圖正四棱柱中，，，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，點為交線上一動點，則從運動到時，所形成的曲面面積為____________.【答案】【解析】由題意可知，以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線為，那么交線是一段圓弧，即平面截球所得的截面圓上的一段弧，由于平面,該截面圓的圓心是點C，截面圓的半徑等于，故從運動到時，所形成的曲面是繞DC旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面的一部分，該圓錐的母線長等于，由于,,,所以,而,故是正三角形，則,所以所形成的曲面面積為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知，，的夾角是60°，計算（1）計算，；（2）求和的夾角的余弦值.【答案】（1），（2）【解析】（1）由題可得，，所以；（2），設(shè)和的夾角為，所以.18．已知復數(shù)滿足，的虛部為2，在復平面上所對應的點在第一象限．（1）求；（2）若，在復平面上的對應點分別為，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因在復平面上所對應的點在第一象限，設(shè)，則，有，因的虛部為2，即，解得，，所以.（2）由(1)知，，，，則點，，，因此，，所以.19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的邊長均為，E，F(xiàn)分別是線段AC1和BB1的中點．（1）求證：EF平面ABC；（2）求三棱錐C﹣ABE體積．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】（1）證明：取AC的中點為G，連結(jié)GE，GB，在△ACC1中，EG為中位線，所以EGCC1，，又因為CC1BB1，CC1＝BB1，F(xiàn)為BB1中點，所以EGBF，EG＝BF，所以四邊形EFBG為平行四邊形，所以EFGB，又EF平面ABC，GB平面ABC，所以EF平面ABC．（2）因為E為AC1的中點，所以E到底面ABC的距離是C1到底面ABC的距離的一半，即三棱錐E﹣ABC的高h＝CC1＝，又△ABC的面積為，所以．20．在直角梯形中，已知，對角線交于點，點在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（1）因為，所以以為坐標原點，分別為軸，建立平面直角坐標系如下圖：因為，所以．又因為對角線交于點，所以由得，即，因此，而，所以，解得，因此．又因為點在上，所以設(shè)，因此，而，所以，解得，即，因此，而，所以，即的值為；（2）因為線段上任意一點，所以由（1）知：可設(shè)（包括端點），因此，所以．因為函數(shù)的圖象開口上，對稱軸為，而，所以函數(shù)的值域為，即的取值范圍是．