初中數(shù)學(xué) 教案24．3　銳角三角函數(shù)

24．銳角三角函數(shù)第1課時(shí)銳角三角函數(shù)(1)【知識與技能】了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比．【過程與方法】通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，體會數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用．【情感態(tài)度】1．通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的合作意識．2．通過探究提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【教學(xué)重點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的概念．【教學(xué)難點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的概念的理解．一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新知如圖(1)、圖(2)都可以用來測量物體的高度．這兩個(gè)問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．直角三角形中，它的邊與角有什么關(guān)系？通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，你就會明白其中的道理，并能應(yīng)用所學(xué)知識解決相關(guān)的問題．二、合作探究，理解新知1．在Rt△ABC中，介紹某個(gè)角的對邊、鄰邊的概念．2．做一做：(1)畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的對邊與斜邊的比值是多少？量一量、算一算．(2)你畫的三角形與你同伴畫的三角形全等嗎？不全等時(shí)，比值有什么關(guān)系？和你的同伴交流一下．(3)若∠A＝45°、60°時(shí)，則∠A對邊與斜邊之比＝______．說明：學(xué)生獨(dú)立思考后回答．教師強(qiáng)調(diào)：在Rt△ABC中，只要一個(gè)銳角的大小不變(如∠A＝30°)，那么不管這個(gè)直角三角形大小如何，該銳角的對邊與鄰邊的比值是一個(gè)固定的值．思考：一般情況下，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A取其他固定值時(shí)，∠A的對邊與鄰邊的比值還會是一個(gè)固定值嗎？先由學(xué)生發(fā)表意見，然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何畫板演示的過程．明確：在Rt△ABC中，對于銳角固定的一個(gè)值，它的對邊與斜邊的比都是一個(gè)固定不變的值，與Rt△ABC的大小無關(guān)．為什么是這樣呢？下面我們用相似形的知識來說明．觀察圖中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1∽Rt△________∽Rt△________．∴eq\f(B1C1,AB1)＝eq\f(B2C2,AB2)＝eq\f(B3C3,AB3)…可見，在Rt△ABC中，對于銳角A的每一個(gè)確定的值，其對邊與斜邊的比值是唯一確定的．同樣，其對邊與鄰邊，鄰邊與斜邊的比值也是唯一確定的．3．銳角三角函數(shù)的定義板書：在△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,c).同樣可得出銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝eq\f(∠A的對邊,鄰邊).我們把銳角A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角A的三角函數(shù)．想一想：當(dāng)0°<∠A<90°時(shí)，sinA、cosA的值會在什么范圍內(nèi)？為什么？這個(gè)問題對于較差學(xué)生來說有些難度，應(yīng)給學(xué)生充分思考時(shí)間，教師可適當(dāng)點(diǎn)撥：直角三角形中斜邊大于直角邊．在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，得結(jié)論0<sinA<1，0<cosA<1(∠A為銳角)．例題講解例1：求出如圖所示的Rt△ABC中，∠A的三個(gè)三角函數(shù)值．解：Rt△ABC中，AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(152＋82)＝17.∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(8,17)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(15,17)，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(8,15).【教學(xué)說明】例1的設(shè)置是為了鞏固三角函數(shù)的概念，通過教師示范，使學(xué)生會求三角函數(shù)值，經(jīng)過反復(fù)強(qiáng)化，使全體學(xué)生都達(dá)到目標(biāo)，更加突出重點(diǎn)．變式訓(xùn)練：(1)如果將題中的條件變?yōu)锳B＝15，BC＝8或AC∶BC＝1∶2，你能求出∠A的三個(gè)三角函數(shù)值嗎？(2)若將條件AB＝15，BC＝8改為tanA＝2，你能求出∠A的其余三角函數(shù)值及∠B的三個(gè)三角函數(shù)值嗎？【教學(xué)說明】通過變式訓(xùn)練讓學(xué)生明確這類題的解法：設(shè)比值法．例2：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，BC＝3，求AB、AC的值．(學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流解題思路，師生共同尋求解題方法)分析：本題已知直角三角形中銳角A的正弦值及直角邊BC的長，要求斜邊AB的長，可利用正弦函數(shù)的定義sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)求出；AC的長可利用勾股定理求出．解：∵sinA＝eq\f(BC,AB)，∴AB＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(3,\f(2,3))＝eq\f(9,2).∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（\f(9,2)）2－32)＝eq\f(3,2)eq\r(5).變式訓(xùn)練：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，求sinB的值．【教學(xué)說明】通過以上兩題和變式訓(xùn)練的教學(xué)，使學(xué)生會用方程思想和設(shè)參數(shù)法解題，進(jìn)一步明確銳角的三角函數(shù)值只與角的有關(guān)邊的比值有關(guān)，而與它們的長度沒有關(guān)系．思考：你能根據(jù)三角函數(shù)的定義得出sin2A＋cos2A＝1嗎？引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)定義及勾股定理解決．三、嘗試練習(xí)，掌握新知1.在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正弦值()A．沒有變化B．?dāng)U大2倍C．縮小2倍D．不能確定2.如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，那么sinA的值等于()\f(12,13)\f(13,5)\f(5,12)\f(5,13)3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，則sinB的值是()\f(\r(15),15)\f(1,4)\f(1,3)\f(\r(15),4)4.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，則BC∶AC等于()A．3∶4B．4∶3C．3∶5D．4∶55.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝1：eq\r(3)，則c＝______a，sinA＝______，sinB＝______．6．請同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“隨堂練習(xí)”部分．四、課堂小結(jié)，梳理新知本節(jié)課你學(xué)會了什么？還有什么疑問？你還想知道什么？引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法上總結(jié)．五、深入練習(xí)，鞏固新知請同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“課時(shí)作業(yè)”部分．1.教材習(xí)題第1、2題．2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(1,3)，求∠A的其余三角函數(shù)值．3.等腰△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，求∠B的三個(gè)三角函數(shù)值．第2課時(shí)銳角三角函數(shù)(2)【知識與技能】1．熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù)．2．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【過程與方法】逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力．【情感態(tài)度】經(jīng)歷觀察、操作、歸納等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程，感受數(shù)學(xué)思考過程的合理性，感受數(shù)學(xué)說理的必要性、說理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．【教學(xué)重點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【教學(xué)難點(diǎn)】與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的計(jì)算．一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求∠A、∠B的三角函數(shù)值．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，求∠A、∠B的三角函數(shù)值．說明：回顧銳角三角函數(shù)的定義；直角三角形的性質(zhì)．二、合作探究，理解新知問題1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，你能借助于常用的兩塊三角板或直接通過計(jì)算，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別求出下列∠A的三角函數(shù)值嗎？(1)∠A＝30°；(2)∠A＝45°；(3)∠A＝60°.分析：利用三角函數(shù)的定義及等腰直角三角形的兩直角邊相等，可求出45°角的各三角函數(shù)值；利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半可求出30°、60°角的各三角函數(shù)值．思考：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的多少？若設(shè)30°所對的直角邊是1，則斜邊是多少？另一條直角邊是多少？解：如圖，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，則AB＝2BC，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(3)BC，所以sin30°＝sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,2BC)＝eq\f(1,2)；cos30°＝cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3)BC,2BC)＝eq\f(\r(3),2)；tan30°＝tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BC,\r(3)BC)＝eq\f(\r(3),3).同理可求得：sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\r(3).你能仿照上面的解法，利用下圖，求出45°的各三角函數(shù)值嗎？試試看．(答案：sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝1，提示：在此三角形中，BC＝AC＝eq\f(\r(2),2)AB.)練一練：1．計(jì)算sin30°·tan45°的值為(A)\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(3),6)\f(\r(2),4)2．tan30°的值等于__eq\f(\r(3),3)__．3．等邊三角形中，一個(gè)銳角的正切值是__eq\r(3)__．問題2：在Rt△ABC中，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，則coseq\f(A,2)＝______．分析：逆用特殊角的三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值，可求出相應(yīng)的特殊角．解：由sinA＝eq\f(\r(3),2)，得∠A＝60°，所以coseq\f(A,2)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).練一練：已知α是銳角，coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),2)，則α等于(C)A．30°B．45°C．60°D．90°問題3：你能求出tan15°的值嗎？如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至D，使BD＝AB，則∠D＝15°.設(shè)AC＝k，則AB＝2k，BC＝eq\r(3)k，所以CD＝BC＋BD＝BC＋AB＝(2＋eq\r(3))k，所以tan15°＝eq\f(AC,CD)＝eq\f(k,（2＋\r(3)）k)＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3).仿照上面的解題方法，你能求出°的值嗎？分析：構(gòu)造含°的直角三角形，利用三角函數(shù)的定義求．解：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CB，延長CB到D，使BD＝AB，則∠D＝eq\f(1,2)∠ABC＝°.在Rt△ACD中，設(shè)AC＝BC＝1，則BD＝AB＝eq\r(2)，DC＝1＋eq\r(2).所以tan∠ADC＝eq\f(AC,DC)＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1.探究：下列式子成立嗎？1．sin75°＝sin45°＋sin30°；2．sin60°＝2sin30°.(答案：都不成立．)3．計(jì)算：sin30°＋cos245°＋tan60°.4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，求sinA的值．三、嘗試練習(xí)，掌握新知1．化簡eq\r(（tan30°－1）2)等于()A．1－eq\f(\r(3),3)\r(3)－1\f(\r(3),3)－1\r(3)＋12．點(diǎn)M(－sin60°，cos60°)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))B．(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))C．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))D．(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))3．在△ABC中，若cosA＝eq\f(\r(2),2)，tanB＝eq\r(3)，則此三角形一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．計(jì)算eq\f(sin60°,cos30°)－tan45°的值是______．5．已知△ABC中，(1)若∠C＝90°，∠B＝60°，a＋b＝6，求S△ABC；(2)若tanA＝eq\f(\r(3),3)，∠B－∠C＝90°，求∠B、∠C的度數(shù)．6．請同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“隨堂練習(xí)”部分．四、課堂小結(jié)，梳理新知通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？五、深入練習(xí)，鞏固新知請同學(xué)們完成《探究在線·高效課堂》“課時(shí)作業(yè)”部分．1．計(jì)算：tan30°＝________．2．△ABC中，∠C＝90°，cosB＝eq\f(\r(3),2)，a＝eq\r(3)，則b＝________．3．計(jì)算：sin45°＋cos30°·tan60°－eq\r(（－3）2).(應(yīng)有必要的運(yùn)算步驟)4．若α為銳角，且eq\r(3)tan2α－(1＋eq\r(3))tanα＋1＝0，求α的度數(shù)．5．教材第109頁練習(xí)第3題，第111頁習(xí)題第3題．24．用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值【知識與技能】1．會使用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)的值．2．會使用計(jì)算器根據(jù)銳角三角函數(shù)的值求對應(yīng)的銳角．【過程與方法】在做題、計(jì)算的過程中，逐步熟練計(jì)算器的使用．【情感態(tài)度】經(jīng)歷計(jì)算器的使用過程，熟悉其按鍵順序．【教學(xué)重點(diǎn)】利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)的值．【教學(xué)難點(diǎn)】計(jì)算器的按鍵順序．一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知填表：三角函數(shù)銳角αsinαcosαtanα30°45°60°從這張表格中你看出了什么？由上表我們可以直接寫出30°、45°、60°角的三角函數(shù)值及由特殊值寫出相應(yīng)的銳角．對一些非特殊的角(如32°)，怎樣求它的四個(gè)三角函數(shù)值？這一節(jié)課我們就學(xué)習(xí)用計(jì)算器來完成這個(gè)任務(wù)．二、合作探究，理解新知1．求銳角三角函數(shù)值(1)例題講解例1：求sin63°52′41″的值(精確到．分析：由于計(jì)算器在計(jì)算角的三角函數(shù)值時(shí)，角的單位用的是度，所以我們必須先把角63°52′41″轉(zhuǎn)換為“度”．解：如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：eq\x(SHIFT)eq\x(菜單)(設(shè)置)eq\x(2)(角度單位)eq\x(1)(度)，屏幕顯示eq\x(D)再按下列順序依次按鍵：eq\x(sin)eq\x(63)eq\x(°′″)eq\x(52)eq\x(°′″)eq\x(41)eq\x(°′″)eq\x(＝)，顯示結(jié)果為.∴sin63°52′41″≈.例2：求tan19°15′的值(精確到．解：在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下(屏幕顯示出eq\x(D))，按下列順序依次按鍵：eq\x(tan)eq\x(19)eq\x(°′″)eq\x(15)eq\x(°′″)eq\x(＝)，顯示結(jié)果為.∴tan19°15′≈.以下部分學(xué)生完成．(2)針對練習(xí)教材練習(xí)第1題．2．由銳角三角函數(shù)值求銳角(1)例題講解例3：已知tanx＝，求銳角x.(精確到1′