電動(dòng)力學(xué)課件鏡象法

電動(dòng)力學(xué)課件鏡象法第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§2.4鏡象法重點(diǎn)掌握：1、鏡象法的基本概念2、求解電勢(shì)的基本方法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

求解泊松方程的難度、電象法的概念和適用條件一般靜電問(wèn)題可以通過(guò)求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場(chǎng)。但是，在許多情況下非常困難。例如，對(duì)于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點(diǎn)電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解的困難主要是介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場(chǎng)缺乏對(duì)稱性。QQ2.以唯一性定理為依據(jù)在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。特別是對(duì)于只有幾個(gè)自由點(diǎn)電荷時(shí)，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布等效地看作一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)給出嘗試解。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

電象法概念、適用情況電象法：用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。適用情況：

所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替。b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。c)給定邊界條件注意：a）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點(diǎn)電荷位置、Q大小不能變）。所以假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。b）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假想電荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一格林等效層定理（不證明）*（1）等勢(shì)面包圍的體積V內(nèi)的電荷在V外產(chǎn)生的電勢(shì)與在此等勢(shì)面上置一導(dǎo)體面，并將V內(nèi)電荷都搬到導(dǎo)體上所產(chǎn)生的電勢(shì)完全一樣。（2）相反，帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電勢(shì)也可以用導(dǎo)體面內(nèi)一定等效電荷分布來(lái)代替，只要它產(chǎn)生與導(dǎo)體表面完全重合的等勢(shì)面。

等勢(shì)面VQP導(dǎo)體面QPQQ’機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、應(yīng)用舉例接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。QQ/Pz解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點(diǎn)，電勢(shì)滿足泊松方程。邊界上從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間z軸上。設(shè)電量為，位置為（0，0，）

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由邊界條件確定和、唯一解是

因?yàn)橄箅姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào)解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（b）電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在右半空間完全相同。

（c）

與位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對(duì)電荷Q的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：（1）分析：因?qū)w球接地故球的電勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心a

>R0

處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球坐標(biāo)系PROZ第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）由邊界條件確定和設(shè)

因任意的解得①

②機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一①

，因此Q發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。②球面感應(yīng)電荷分布（3）討論：導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷

移到地中去了。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）若導(dǎo)體不接地，可視為分布在導(dǎo)體面上。不接地導(dǎo)體已為等勢(shì)體，加上還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體，必須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量（因?yàn)榫鶆蚍植记蛎嫔峡墒箤?dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)）。（5）若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，?dǎo)體上總電荷為，此時(shí)要保持導(dǎo)體為等勢(shì)體，也應(yīng)均勻分布在球面上。等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或一個(gè)帶電體系，而不一定就是一個(gè)點(diǎn)電荷。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（6）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷時(shí)所受到的作用力可以看作與及位于球心處的等效電荷的作用力之和。設(shè)，，第一項(xiàng)為排斥力，第二項(xiàng)為吸引力（與無(wú)關(guān)，與正負(fù)無(wú)關(guān)）。當(dāng)時(shí)，F(xiàn)<0，即正電荷與帶正電導(dǎo)體球在靠的很近時(shí)會(huì)出現(xiàn)相互吸引。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．有一點(diǎn)電荷位于兩個(gè)互相垂直的半無(wú)限大接地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b，求空間的電勢(shì)。假想電荷應(yīng)在第I象限之外。要保證互相垂直的兩個(gè)接地導(dǎo)體板的電勢(shì)同時(shí)為零，應(yīng)當(dāng)放幾個(gè)電荷？解：（1）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一S2S1Q（2）電勢(shì)分布放在處用鏡象法求解的條件是什么？

（3）若兩平面