物理下17習(xí)題解

本文格式為Word版，下載可任意編輯——物理下17習(xí)題解第17章量子物理基礎(chǔ)

17.1夜間地面降溫主要是由于地面的熱輻射。假使晴天夜里地面溫度為-5°C，按黑體輻射計(jì)算，每平方米地面失去熱量的速率多大？解：每平方米地面失去熱量的速率即地面的輻射出射度

M??T4?5.67?10?8?2684?292W/m2

17.2在地球表面，太陽光的強(qiáng)度是

1.0?103W/m2。地球軌道半徑以1.5?108km計(jì)，太陽半徑以7.0?108m計(jì)，并視太陽為黑體，試估算太陽表面的溫度。解：

M?4?R2EI4?R2??T4SR2T?4EIR2S??4(1.5?1011)2?1.0?103(6.7?108)2?5.67?10?8?5.3?103K17.3宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻背景輻射相當(dāng)于3K黑體輻射．求：

（1）此輻射的單色輻射強(qiáng)度在什么波長(zhǎng)下有極大值？

（2）地球表面接收此輻射的功率是多少？

[解答]（1）根據(jù)公式λmT=b，可得輻射的極值波長(zhǎng)為

λm=b/T=2.897×10-3/3=9.66×10-4(m)．（2）地球的半徑約為R=6.371×106m，表面積為S=4πR2．

根據(jù)公式：黑體表面在單位時(shí)間，單位面積上輻射的能量為M=σT4，

因此地球表面接收此輻射的功率是P=MS=5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2=2.34×109(W)．

17.4鋁的逸出功是4.2eV，今有波長(zhǎng)??200nm的光照射鋁表面，求：

（1）光電子的最大動(dòng)能；（2）截止電壓；（3）鋁的紅限波長(zhǎng)。解：（1）Ek?h??A?hc??A

6.63?10?34?3?108?200?10?9?1.6?10?19?4.2?2.0eV（2）Uc?Ek/e?2.0/1?2.0V（3）?0?c??hcA0?6.63?10?34?3?1084.2?1.6?10?2.96?10?7?19m?296nm

17.5康普頓散射中入射X射線的波長(zhǎng)是λ=0.70×10-10m，散射的X射線與入射的X射線垂直．求：

（1）反沖電子的動(dòng)能EK；（2）散射X射線的波長(zhǎng)；

（3）反沖電子的運(yùn)動(dòng)方向與入射X射線間的夾角θ．

[解答]（1）（2）根據(jù)康普頓散射公式得波長(zhǎng)變化為

???2?sin2?2?2?2.426?10?12sin2?4

=2.426×10-12(m)，

散射線的波長(zhǎng)為

λ`=λ+Δλ=0.72426×10-10(m)．反沖電子的動(dòng)能為

Ek?hc??hc?`?6.63?10?34?3?1086.63?10?34?3?0.7?10?10?1080.72426?10?10=9.52×10-17(J)．（3）由于

h/λ`tan??hc/?`hc/????`，?0.7h/λ

?0.9665，

θ0.72426所以夾角為θ=44°1`．

p

17.6求波長(zhǎng)分別為?1?7.0?10?7m的紅光和波長(zhǎng)?2?0.25?10?10m的X射線光子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量。

解：光子能量為E=hν=hc/λ，動(dòng)量為p=h/λ；

由E=hc/λ=mc2，得其質(zhì)量為m=h/cλ．

對(duì)于紅光來說，能量為

17.8設(shè)氫原子中的電子從n?2的軌道上電離出去，需多少能量?解：氫原子能級(jí)公式為

me41En??22?2,

8?0hn當(dāng)n=1時(shí)，基態(tài)能級(jí)的能量為

6.63?10?34?3?108?19E1??2.84?10J,?77.0?10

動(dòng)量為

me4E1??22??2.18?10?18J??13.6eV,8?0h

因此En?6.63?10?34?28?1p1??9.47?10kg?m?s,?77.0?10

質(zhì)量為

?13.6eV．2n當(dāng)電子從n能級(jí)躍遷到m能級(jí)時(shí)放出（正）或吸收（負(fù)）光子的能量為

6.63?10?34?36m1??3.16?10kg.8?73?10?7.0?10

對(duì)于X射線來說，能量為

?E?En?Em?E1(11?)．22nm電離時(shí)，m趨于無窮大．當(dāng)電子從n=2的

能級(jí)電離時(shí)要吸收能量

6.63?10?34?3?108?15E2??7.96?10J,?100.25?10

?E??13.6(11?)=-3.4(eV)，22?2因此需要3.4eV的能量．

動(dòng)量為

?346.63?10?23?1p2??2.65?10kg?m?s,17.9略?100.25?10

17.10質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在半徑為r的軌道

上環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，線速度為v．質(zhì)量為

（1）假定玻爾氫原子理論中關(guān)于軌道6.63?10?34?32m2??8.84?10kg.角動(dòng)量的條件對(duì)于地球衛(wèi)星同樣成立．證明

3?108?0.25?10?10地球衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正

比，即r=Kn2，（式中K是比例常數(shù)）；17.7處于第四激發(fā)態(tài)上的大量氫原子，最多

（2）應(yīng)用（1）的結(jié)果求衛(wèi)星軌道和下可發(fā)射幾個(gè)線系，共幾條譜線？那一條波長(zhǎng)

一個(gè)“容許〞軌道間的距離，由此進(jìn)一步說最長(zhǎng)．

明在宏觀問題中軌道半徑試驗(yàn)上可認(rèn)為是[解答]第四激發(fā)態(tài)的氫原子處于第5個(gè)

連續(xù)變化的（利用以下數(shù)據(jù)作估算：普朗克能級(jí)，最多可發(fā)射四個(gè)線系．

常數(shù)h=6.63×10-34J·s，地球質(zhì)量M=（1）能級(jí)5到4，1條譜線；

6×1024kg，地球半徑R=6.4×103km，萬有引（2）能級(jí)5和4到3，2條譜線；

力常數(shù)G=6.7×10-11N·m2·kg-2．（3）能級(jí)5、4和3到2，3條譜線；

[解答]（1）衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力是（3）能級(jí)5、4、3和2到1，4條譜線．

萬有引力共10條譜線．從能級(jí)5躍遷到4發(fā)射的光

譜頻率最小，波長(zhǎng)最長(zhǎng)．

Mmmv2；G2?

rr根據(jù)玻爾理論，角動(dòng)量為

mvr=nh/2π．

將前式乘以mr3得

GMm2r?(mvr)2?(nh)24?2，所以r?h2n224?2GMm2?Kn，即：衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正比．

（2）假設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量m=100kg，比例系數(shù)為

K?h24?2GMm2?(6.63?10?34)24?2?6.7?10?11?6?1024?(100)2=2.77×10-87．可見：比例系數(shù)很?。?/p>

當(dāng)r=R時(shí)，地球表面的量子數(shù)為

n0?R/K?4.8?1046．

可見：地球表面處的量子數(shù)很大．

地面以上的量子數(shù)設(shè)為n`，(n`=1,2,3,…)，則總量子數(shù)可表示為兩個(gè)量子數(shù)之和：n=n0+n`．軌道間的距離為

Δr=K[(n0+n`+1)2-(n0+n`)2]=K[2(n0+n`)+1]．

由于n0>>1，所以Δr=2Kn0+2Kn`．

設(shè)n`=kn0，即：取地面以上的量子數(shù)為地球表面量子數(shù)的倍數(shù)，有n=(k+1)n0，則

r=Kn02(k+1)2，

Δr=2Kn0(k+1)=2.66×10-40(k+1)．這說明：當(dāng)?shù)孛嬉陨系牧孔訑?shù)按k+1成倍地增加時(shí)，半徑將按k+1的平方的規(guī)律增加，而軌道之間的距離只按k+1的一次方的規(guī)律增加；由于Δr的系數(shù)很小，所以軌道間距是十分十分小的，因此可認(rèn)為軌道半徑是連續(xù)變化的．

17.11電子和光子各具有波長(zhǎng)2.0×10-10m，它們的動(dòng)量和總能量各是多少？

[解答]它們的動(dòng)量都為

h6.63?10?34p???2?10?10=3.315×10-24(kg·m·s-1)．根據(jù)公式E2=p2c2+m02c4，電子的總能量為

E?cp2?m220c=3×108×[(3.315×10-24)2

+(9.1×10-31×3×108)2]1/2

=8.19×10-14(J)．

光子的靜止質(zhì)量為零，總能量為

E=cp=3×108×3.315×10-24=9.945×10-16(J)．

17.12室溫下的中子稱為熱中子

T?300K，試計(jì)算熱中子的平均德布羅意波長(zhǎng)。

解：中子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度的大小為

v?8kT?mn中子的質(zhì)量mn=1.673×10-27kg，可得平均速度為

v?2.509?104m?s?1,

平均動(dòng)量為

P?m?1nv?4.2?10?27kg?m?s.

平均德布羅意波長(zhǎng)為

??hp?1.58?10?10m?0.158nm．17.13假定對(duì)粒子動(dòng)量的測(cè)定可以確切到千分之一，試確定下述粒子位置的不確定量。（1）該粒子質(zhì)量為5.0?10?3kg，以2m·s-1的速度運(yùn)動(dòng)；

（2）該粒子是速度為1.8?108m·s-1的電子．解：粒子的動(dòng)量為p=mv，動(dòng)量的不確定量為Δp=p/1000，

根據(jù)動(dòng)量和位置的不確定關(guān)系Δp·Δx≧?/2，位置的不確定量為Δx=?/2Δp．

?1000h?x??2?p4?p1000?6.63?10?34??5.28?10?30m?34?3.14?5?10?2

熒光屏上亮斑直徑為d?2?pypxl??l?l??ypx?y2meE??x??1000h?2?p4?p1.05?10?34?0.300.5?10?3?2?9.1?10?31?9?103?1.6?10?19?1.2?10?9m?1.2nm此亮斑的大小不會(huì)影響當(dāng)前電視圖像的明了度。

又，亮斑直徑也可用波的衍射來求，即

1000?6.63?10?34??3184?3.14?9.1?10?1.8?10?3.22?10?10m

17.14一束動(dòng)量為P的電子通過寬度為a的狹縫發(fā)生單縫衍射，設(shè)縫與屏之間的距離為R，試求

屏上所觀測(cè)到的單縫衍射中央明紋寬度。解：根據(jù)動(dòng)量和位置的不確定關(guān)系

d?2?l?2?1.22?l2.44hl??y?yp令dw/dt=0，得概率最大的位置為x??1.a?x?px??/2，

其中位置不確定量為Δx=a，動(dòng)量的不確定量為Δpx=psinθ．

設(shè)電子衍射圖樣的中央明紋寬度為d，則sin??tan??d，2R可得

?Rpda?.?,d?pa2R217.15電視機(jī)顯象管中電子的加速電壓為

9kV，電子槍槍口直徑取0.5mm，槍口離熒光屏距離為0.30m，求熒光屏上一個(gè)電子形成的亮斑直徑。這樣大小的亮斑影響電視圖像的明了度嗎？

解：取?y?0.50mm，則由不確定關(guān)系得

17.16一寬度為a的一維無限深勢(shì)阱，試用不確定關(guān)系估算阱中質(zhì)量為m的粒子最低能量為多少？

[解答]粒子坐標(biāo)的不確定范圍是

Δx≦a，

動(dòng)量的不確定范圍是

Δp≧h/Δx≧h/a．

這也就是動(dòng)量p的范圍．因此能量為E=p2/2m≧h2/2ma2，最低能量可估計(jì)為

Emin=h2/2ma2．

17.17設(shè)有一寬度為a的一維無限深勢(shì)阱，粒子處于第一激發(fā)態(tài)，求在x=0至x=a/3之間找到粒子的幾率？

[解答]粒子在一維無限深勢(shì)阱中的定態(tài)波函數(shù)為

2n?x(0?x?a)?n(x)?sin,，

aa(n?1,2,3,...)Ψ(x)=0，(xa)．

當(dāng)粒子處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)，n=2，在x=0至x=a/3之間被發(fā)現(xiàn)的幾率為

a/3a/3?py??2?y而

?0|?2(x)|dx?2?0222?xsindxaapx?2meE

?23?32?=0.391．17.18設(shè)粒子在寬度為a的一維無限深勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)時(shí)，其德布羅意波在阱內(nèi)形成駐波，試?yán)眠@一關(guān)系導(dǎo)出粒子在阱中的能量計(jì)算式．

[解答]當(dāng)粒子在勢(shì)阱中形成穩(wěn)定駐波時(shí)，勢(shì)阱寬度必然為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即

n(λ/2)=a，(n=1,2,3,…)．根據(jù)德布羅意假設(shè)λ=h/p，可得粒子的動(dòng)量為

p?h??nh2a能量為E?p22m?h28ma2n2．

17.19設(shè)有某線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)，其波函數(shù)為

?2a322?ax1?2?1/2xe．

4式中a?mkh2，k為常數(shù)，則該諧振子在何處出現(xiàn)的概率最大？

[解答]第一激發(fā)態(tài)的概率為

w?|?22a32x21|??x2e?a1/2，

對(duì)x求導(dǎo)得

dwdt?2a3?1/2[2xe?a2x2?x2(?2a2x)e?a2x2]?2a3a2x2?1/22x(1?x2a2)e?，

令dw/dt=0，得概率最大的位置為

x=±1/a．

17.20一維運(yùn)動(dòng)的粒子，處于如下的波函數(shù)所描述的狀態(tài)

?(x)???Axe??x,(x?0);?0,(x?0).式中λ>0，A為常數(shù)．

（1）將此波函數(shù)歸一化；

（2）求粒子位置的概率分布函數(shù)；（3）粒子在在何處出現(xiàn)的概率最大？[解答]（1）歸一化得

??1?|?|2dx?2x2e?2?xdx

????A0??A2?12?2?x2??xde0???A2?12?2?x?x2?{xe?2dx}

0?xe?20???2A2(?1)2?xde?2?x2?

0????2A2(?1)2{xe?2?x2?x2??dx}

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